1、物理总复习：电磁感应中的能量问题 编稿：李传安 审稿：【考纲要求】理解安培力做功在电磁感应现象中能量转化方面所起的作用。【考点梳理】考点、电磁感应中的能量问题要点诠释：电磁感应现象中出现的电能，一定是由其他形式的能转化而来的，具体问题中会涉及多种形式能之间的转化，如机械能和电能的相互转化、内能和电能的相互转化。分析时应当牢牢抓住能量守恒这一基本规律，分析清楚有哪些力做功就可以知道有哪些形式的能量参与了相互转化，如有摩擦力做功，必然有内能出现；重力做功就可能有机械能参与转化；安培力做负功就是将其他形式的能转化为电能，做正功就是将电能转化为其他形式的能，然后利用能量守恒列出方程求解。电能求解的主要
2、思路：（1）利用克服安培力做功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功。（2）利用能量守恒求解：机械能的减少量等于产生的电能。（3）利用电路特征求解：通过电路中所产生的电流来计算。【典型例题】类型一、根据能量守恒定律判断有关问题例1、光滑曲面与竖直平面的交线是抛物线，如图所示，抛物线的方程是yx2，下半部处在一个水平方向的匀强磁场中，磁场的上边界是ya的直线（图中的虚线所示）一个小金属块从抛物线上yb（ba）处以速度v沿抛物线下滑假设抛物线足够长，金属块沿抛物线下滑后产生的焦耳热总量是 ( )Amgb BC D【思路点拨】小金属块在进出磁场的过程中，磁通量发生变化，金属块内部产生感应电
3、流，其机械能转化为电热，根据能量守恒定律分析初态的机械能和末态的机械能，减少的机械能转化为内能。【答案】D【解析】小金属块在进出磁场的过程中，金属块内部产生感应电流，其机械能转化为电热，在磁场内运动，没有感应电流，没有内能产生，不损失机械能，最终，小金属块在光滑曲面上（）往返运动，在y=a处，速度为零。初态的机械能：，末态的机械能：，由能量守恒定律，产生的焦耳热即减少的机械能：， D选项正确。【总结升华】始终抓住能量守恒定律解决问题，金属块（圆环等）在穿越磁场时有感应电流产生，电能转化为内能，消耗了机械能，机械能减少，可以类比：在磁场中运动相当于力学部分的光滑问题，不消耗机械能。举一反三【变式
4、】如图所示，闭合线圈abcd用绝缘硬杆悬于O点，虚线表示有界磁场B，把线圈从图示位置释放后使其摆动，不计其它阻力，线圈将（ ）A.往复摆动 B.很快停在竖直方向平衡而不再摆动C.经过很长时间摆动后最后停下 D.线圈中产生的热量小于线圈机械能的减少量【答案】B【解析】当线圈进出磁场时，穿过线圈的磁通量发生变化，从而在线圈中产生感应电流，机械能不断转化为电能，直至最终线圈不再摆动。根据能量守恒定律，在这过程中，线圈中产生的热量等于机械能的减少量。拓展：上述线圈所出现的现象叫做电磁阻尼。用能量转化和守恒定律解决此类问题往往十分简便。磁电式电流表、电压表的指针偏转过程中也利用了电磁阻尼现象，所以指针能
5、很快静止下来。类型二、“杆”+水平导轨（竖直导轨）问题例2、如图，ef,gh为水平放置的足够长的平行光滑导轨，导轨间距为L=1m，导轨左端连接一个R=2的电阻，将一根质量为0.2kg的金属棒cd垂直地放置导轨上，且与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻均不计，整个装置放在磁感应强度为B=2T的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。现对金属棒施加一水平向右的拉力F，使棒从静止开始向右运动。（1）若施加的水平外力恒为F=8N，则金属棒达到的稳定速度v1是多少？（2）若施加的水平外力的功率恒为P=18W，则金属棒达到的稳定速度v2是多少？（3）若施加的水平外力的功率恒为P=18W，则金属棒从开始运动到
6、速度v3=2m/s的过程中电阻R产生的热量为8.6J，则该过程所需的时间是多少？【思路点拨】（1）做匀速运动的条件是水平外力等于安培力；（2）安培力的功率根据公式求解；（3）根据能量守恒定律求解，外力的所做的功等于动能的变化与产生的热量之和。【答案】（1）v1=4m/s（2）v2=3m/s （3）0.5s【解析】（1）由E=BLv、和知金属棒达到匀速运动的速度 （2）由，解得（3）根据能量守恒定律 【总结升华】（1）中R是电路的总电阻，对于选择题就要快速准确地应用。（2）匀速运动时外力的功率等于安培力的功率。（3）能量守恒定律要用熟。举一反三【变式】如图所示，两条平行的光滑水平导轨上，用套环连
7、着一质量为0.2kg、电阻为2的导体杆ab，导轨间匀强磁场的方向垂直纸面向里。已知R1=3，R2= 6，电压表的量程为010 V，电流表的量程为03 A（导轨的电阻不计）。求：（1）将R调到30时，用垂直于杆ab的力F=40 N，使杆ab沿着导轨向右移动且达到最大速度时，两表中有一表的示数恰好满量程，另一表又能安全使用，则杆ab的速度多大？（2）将R调到3时，欲使杆ab运动达到稳定状态时，两表中有一表的示数恰好满量程，另一表又能安全使用，则拉力应为多大？（3）在第（1）小题的条件下，当杆ab运动达到最大速度时突然撤去拉力，则电阻R1上还能产生多少热量？ 【答案】（1）1 m/s（2）60N（3
8、）0.03J.【解析】（1）当R=30时，R与R2并联，有设电流表满偏，则1=3 A，电压表的示数为 与题意不符，故应是电压表满偏，此时电路中的电流，设导体杆ab电阻为r，则电路中的总电阻为当ab杆具有最大速度时有 所以BL=20 N/A由闭合电路欧姆定律，得，解得v=1 m/s（2）当R=3时，R与R2的并联电阻值为设电流表满偏， 则电压表的示数 故满偏电表为电流表，此时，得 （3）撤去外力时ab杆具有动能，最后ab杆停下，具有的动能转化为内能，由串联电路的功率分配有所以.例3、如图所示，足够长的光滑金属框竖直放置，框宽L0.5 m，框的电阻不计，匀强磁场磁感应强度B1 T，方向与框面垂直，
9、金属棒MN的质量为100 g，电阻为1 现让MN无初速地释放并与框保持接触良好的竖直下落，从释放到达到最大速度的过程中通过棒某一横截面的电量为2 C，求此过程中回路产生的电能（空气阻力不计，g10 m/s2） 【思路点拨】在竖直导轨中能量守恒的关系一般是：重力势能转化为动能和电能（内能）。“从释放最大速度的过程中通过棒某一横截面的电量”要用感应电动势平均值公式，化简后得，即电量等于磁通量的变化量除以总电阻。【答案】3.2J【解析】金属棒下落过程中所受安培力大小为F = BIL其中通过金属棒的电流强度为金属棒下落过程做加速度逐渐减小的加速运动，加速度减小到零时速度达到最大，根据平衡条件得在下落过
10、程中，金属棒减小的重力势能转化为它的动能和电能E，由能量守恒定律得通过导体某一横截面的电量为，得由以上各式解得.【总结升华】在竖直导轨中能量守恒的关系一般是：重力势能转化为动能和电能（内能）。熟练应用这一关系，是解题的关键。同时要注意电量的求法，是磁通量的变化量除以总电阻。举一反三【变式】如图金属棒MN，在竖直放置的两根平行导轨上无摩擦地下滑，导轨间串联一个电阻，磁感强度垂直于导轨平面，棒和导轨的电阻不计，MN下落过程中，电阻R上消耗的最大功率为P，要使R消耗的电功率增大到4P，可采取的方法是（ ）A、使MN的质量增大到原来的2倍；B、使磁感强度B增大到原来的2倍；C、使MN和导轨间距同时增大
11、到原来的2倍；D、使电阻R的阻值减到原来的一半.【答案】A类型三、“杆”+倾斜导轨问题例4、如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为，上端接有定值电阻，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B。将质量为m的导体棒由静止释放，当速度达到v时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，并保持拉力的功率为P，导体棒最终以2v的速度匀速运动。导体棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g，下列选项正确的是（ ）ABC当导体棒速度达到时加速度为D在速度达到2v以后匀速运动的过程中，R上产生的焦耳热等于拉力所做的功【思路点拨】求“杆”+倾斜导轨问题的
12、能量问题的基本方法，仍然是受力分析、运动分析，关键是安培力的大小和方向，安培力做的功转化为内能，再应用能量守恒定律。【答案】AC【解析】由题意可知导体棒以v匀速运动时,，此时,当导体棒最终在拉力作用下达到2v时，而，则，又，A选项正确，B选项错误；当导体棒速度达到时， ,由牛顿第二定律，C选项正确；速度达到2v后电阻R上产生的热量等于克服安培力做的功，此时，故该热量数值上大于外力F所作的功，D选项错误.【总结升华】处理“杆”+倾斜导轨问题的能量问题时，首先进行受力分析，特别要注意安培力的方向及大小的描写；其次是运动分析；第三，安培力做的功转化为内能；第四，正确应用能量守恒定律。举一反三【变式】
13、如图所示，平行金属导轨与水平面成角，R1R22R，匀强磁场垂直穿过导轨平面，有一导体棒ab质量为m，棒的电阻为2R，棒与导轨之间的动摩擦因数为。导体棒ab沿导轨向上滑动，当上滑的速度为v时，定值电阻R2消耗的电功率为P，下列说法正确的是（ ）A整个装置因摩擦而产生的热功率为 B整个装置消耗的机械功率为 C导体棒受到的安培力的大小为 D导体棒受到的安培力的大小为【答案】AC【解析】棒ab上滑速度为v时，切割磁感线产生感应电动势，棒电阻为2R，R1R22R，回路的总电阻，通过电阻R1的电流与通过电阻R2的电流相等，通过棒ab的电流等于通过电阻R2的电流的2倍，导体棒ab功率是电阻R2的4倍，即，总
14、功率为，则有，所以导体棒受到的安培力的大小，C对D错；杆与导轨的摩擦力，故摩擦消耗的热功率为，A对；整个装置消耗的机械功率为摩擦消耗的热功率与三部分导体的热功率之和，B错。故正确选项为AC。类型四、“杆”+导轨+弹簧的问题例5、如图所示，固定的水平金属导轨，间距为L，左端接有阻值为R的电阻，处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略。初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。（1）求初始时刻导体棒受到的安培力；（2）若导体棒从初始时刻到速度第一次为零
15、时，弹簧的弹性势能为，在这一过程中安培力所做的功W1和电阻上产生的焦耳热Q1分别为多少？（3）导体棒往复运动，最终将静止于何处？从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q为多少？【思路点拨】（3）棒最终静止于初始位置，初态的动能全部转化为内能，可以与力学部分的能量守恒定律、电场部分的能量守恒定律进行类比。【答案】（1） 水平向左（2） （3）棒最终静止于初始位置 【解析】导体棒以初速度做切割磁感线运动而产生感应电动势，回路中的感应电流使导体棒受到安培力的作用，安培力做功使系统机械能减少，最终将全部机械能转化为电阻R上产生的焦耳热。由平衡条件知，棒最终静止时，弹簧的弹力为零，即
16、此时弹簧处于初始的原长状态。（1）初始时刻棒中产生的感应电动势 棒中产生的感应电流 作用于棒上的安培力 联立，得，安培力方向：水平向左（2）由功和能的关系，安培力做功 电阻R上产生的焦耳热 （3）由能量转化及平衡条件等，可判断：棒最终静止于初始位置。根据能量守恒定律，电阻R上产生的焦耳热为 【总结升华】解题的关键仍然是运动分析和能量分析。（1）很常规，不会有什么问题；（2）能量分析：初态只有动能，末态只有弹性势能，弹性势能必然小于初态的动能，还有能量呢？克服安培力做功了，所以安培力做的功等于弹性势能减去动能（为负数）。能量守恒定律是很有用的。举一反三【变式】两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为
17、L ，底端接阻值为R 的电阻。将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为B 的匀强磁场垂直，如图所示。除电阻R 外其余电阻不计。现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放则（ ）A释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度g B金属棒向下运动时，流过电阻R 的电流方向为abC金属棒的速度为v时所受的安培力大小为D电阻R上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少。【答案】AC类型五、矩形线圈穿越磁场问题例6、如图所示，将边长为a、质量为m、电阻为R的正方形导线框竖直向上抛出，穿过宽度为b、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里其中a b，线框向上离开磁
18、场时的速度刚好是进入磁场时速度的一半，线框离开磁场后继续上升一段高度，然后落下并匀速进入磁场整个运动过程中始终存在着大小恒定的空气阻力f且线框不发生转动，求：（1）线框在下落阶段匀速进入磁场时的速度v2；（2）线框在上升阶段刚离开磁场时的速度v1；（3）线框在上升阶段通过磁场过程中产生的焦耳热Q 【思路点拨】（1）理解“下落阶段匀速进入磁场”的意思，受力平衡，受力分析，列出平衡方程求解；（2）理解“上升阶段刚离开磁场时”的意思，再进行运动分析，离开磁场后上升到最大高度后再落回的速度已知了，应用动能定理即可求解；（3）在线框向上刚进入磁场到刚出磁场的过程中应用能量守恒求解。【答案】（1）（2）（
19、3） 【解析】（1）重力竖直向下，阻力向上，安培力向上， 则安培力线框下落到能匀速进入磁场则满足受力平衡 （2）线框出磁场向上运动的初速度为，线框离开磁场能上升的最大高度为h，则从刚离开磁场到刚落回磁场的过程中，由动能定理： 联立可得出 。（3）已知线框向上离开磁场时的速度刚好是进入磁场时速度的一半，速度关系、几何关系如图所示，在线框向上刚进入磁场到刚出磁场的过程中，由能量守恒【总结升华】（1）受力平衡问题，较简单。（2）运动分析：对上升、下落两个过程分别应用动能定理，求出，可见正确进行运动分析仍然是解题的关键。（3）正确运用能量守恒定律也是解题的关键。此外还要正确分析几何关系，画出线圈的位置
20、，线圈上升的高度为。举一反三【高清课堂：电磁感应综合应用一 例4】【变式1】如图，单匝线圈ABCD在外力作用下以速度v匀速进入磁场，第二次以速度2v匀速进入磁场。则第一次和第二次：线圈中感应电流之比为 ；外力做功功率之比为 ；回路中产生的焦耳热之比为 ；通过导体截面的电量之比为 ；【答案】1:2；1:4；1:2；1:1.【变式2】如图所示，质量为m，边长为L的正方形线框，在有界匀强磁场上方h高处由静止自由下落，线框的总电阻为R，磁感应强度为B的匀强磁场宽度为2L。线框下落过程中，ab边始终与磁场边界平行且处于水平方向。已知ab边刚穿出磁场时线框恰好做匀速运动，求:（1）cd边刚进入磁场时线框的
21、速度.（2）线框穿过磁场的过程中，产生的焦耳热。【答案】（1）（2）【解析】（1）已知ab边刚穿出磁场时线框恰好做匀速运动，设速度为v，安培力， 则安培力重力等于安培力，ab边刚穿出时速度取cd边刚进入磁场时为初态，速度为，ab边刚穿出时为末态，速度为，线圈下落的高度为L，线圈全部在磁场中，没有安培力， 根据动能定理，解得（2）线框穿过磁场的过程中，取线圈由静止下落时为初态，cd边刚穿出磁场时为末态，线圈下落的高度为（h+3L），根据能量守恒定律所以产生的焦耳热。类型六、“双杆”+滑轨及电磁感应与动量能量的综合应用例7、如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B=0.50T
22、的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离l=0.20m。两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50。在t=0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过t=5.0s，金属杆甲的加速度为a=1.37m/s2，问此时两金属杆的速度各为多少？【思路点拨】金属杆甲在恒定外力作用下，回路中产生感应电流，乙杆受到安培力作用向右运动，甲杆受到安培力作用加速度减小，根据牛顿第二定律写出方程，显然要求感应电流即要求感应电动势，只能用
23、法拉第电磁感应定律公式求，又要求面积的变化量。【答案】【解析】设任一时刻t两金属杆甲、乙之间的距离为x，速度分别为v1和v2，经过很短的时间t，杆甲移动距离v1t，杆乙移动距离v2t，回路面积改变由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势回路中的电流 ，杆甲的运动方程由以上各式得，代入数据得。由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反，所以两杆的动量时为0）等于外力F的冲量。代入数据解得【总结升华】本题是两杆都做同方向上的加速运动问题。“双杆”中的一杆在外力作用下做加速运动，另一杆在安培力作用下做加速运动，最终两杆以同样加速度做匀加速直线运动。解析中再求回路的面积变化量时用到了“微元法”
24、，注意理解。举一反三【高清课堂：电磁感应综合应用一 例 7 】【变式1】如图所示，光滑水平导轨间距为L，电阻不计，处在竖直方向的匀强磁场中，磁感应强度为B，质量均为m，电阻均为R的导体棒ab和cd静止于导轨上，若给ab棒一个水平向右的瞬时冲量，求两导体棒最终的运动速度。【答案】【变式2】两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd
25、的初速度v0若两导体棒在运动中始终不接触，求：（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少（2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？【答案】（1）（2）【解析】ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流ab棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd棒则在安培力作用下作加速运动在ab棒的速度大于cd棒的速度时，回路总有感应电流，ab棒继续减速，cd棒继续加速两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v作匀速运动（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，根据动量守恒定律有 根据能量守恒，整个过程中产生的总热量等于机械能的减少量（损失的机械能） （2）设ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的速度为v1，则由动量守恒可知：。此时回路中的感应电动势 ，感应电流。此时棒所受的安培力：，所以棒的加速度为，。
