1、31.5空间向量的数量积学习目标1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题知识链接空间两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规定？答：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b规定：0a，b.预习导引1空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a，b的夹角记法a，b范围a，b0，当a，b时，a_b2.空间向量的数量积(1)定义已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的
2、数量积，记作ab.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(a)b(ab)(R)交换律abba分配律a(bc)abac(3)数量积的性质两个向量数量积的性质若a，b是非零向量，则abab0若a与b同向，则ab|a|b|；若反向，则ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|若为a，b的夹角，则cos|ab|a|b|要点一空间向量的数量积运算例1已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点试计算：(1)；(2)；(3).解如图，设a，b，c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)b(ca)b|b|24216.(2)(ac)
3、|c|2|a|222220.(3)(abc)|a|2|b|22.规律方法计算两个向量的数量积，可先将各向量用同一顶点上的三条棱对应向量表示，再代入数量积公式进行运算跟踪演练1已知空间向量a，b，c满足abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca的值为_答案13解析abc0，(abc)20，a2b2c22(abbcca)0，abbcca13.要点二利用数量积求夹角例2如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC所成角的余弦值解因为，所以|cos，|cos，84cos13586cos1201624.所以cos，.即OA与BC所成角的余
4、弦值为.规律方法利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；利用向量的数量积求角的大小；证两向量垂直可转化为数量积为零跟踪演练2如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MNAB，MNCD.证明()()()a2a2cos120a2cos60a2cos600，所以，即MNAB.同理可证MNCD.要点三利用数量积求距离例3正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，求EF的长解如图所示，设a，b，c.由题意知|a|b|c|2，且a，b60
5、，a，cb，c90.因为abc，所以EF2|22a2b2c22222222222cos6011415，所以EF.规律方法利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|求解即可跟踪演练3如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的长解因为，所以2()22222()因为BAD90，BAA1DAA160，所以，90，60.所以21492(13cos6023cos60)23.因为
6、|22，所以|223，|，即AC1.1若a，b均为非零向量，则ab|a|b|是a与b共线的_条件答案充分不必要解析ab|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b1a，b0，当a与b反向时，ab|a|b|不能成立2已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|等于_答案解析|a3b|2(a3b)2a26ab9b216cos60913.|a3b|.3对于向量a、b、c和实数，下列命题中的真命题是_若ab0，则a0或b0；若a0，则0或a0；若a2b2，则ab或ab；若abac，则bc.答案解析对于，可举反例：当ab时，ab0；对于，a2b2，只能推得|a|b|，而不能推出ab；对于，a
7、bac可以移项整理推得a(bc)4如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是_2222答案解析2a2，故错；2a2，故错；2a2，故错，只有正确空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的模一、基础达标1已知a(cos，1，sin)，b(sin，1，cos)，则向量ab与ab的夹角是_答案90解析|a|b|，(ab)(ab)a2b20.故向量ab与ab的夹角是90.2已知
8、a，b是空间两个向量，若|a|2，|b|2，|ab|，则cosa，b_.答案解析将|ab|化为(ab)27，求得ab，再由ab|a|b|cosa，b求得cosa，b.3已知|a|2，|b|3，a，b60，则|2a3b|等于_答案解析|2a3b|24a212ab9b24221223cos6093261，|2a3b|.4已知向量a和b的夹角为120，且|a|2，|b|5，则(2ab)a等于_答案13解析(2ab)a2a2ba2|a|2|a|b|cos120242513.5已知|a|1，|b|，且ab与a垂直，则a与b的夹角为_答案45解析ab与a垂直，(ab)a0，aaab|a|2|a|b|cos
9、a，b11cosa，b0，cosa，b.0a，b180，a，b45.6设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足0，0，0，则BCD是_三角形答案锐角解析()()20，同理，可证0，0，三角形的三个内角均为锐角7.如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD60.求证：CC1BD.证明设a，b，c，则|a|b|.ba，(ba)cbcac|b|c|cos60|a|c|cos600，即CC1BD.二、能力提升8已知向量a，b满足|a|1，|b|2，且a与b的夹角为，则|ab|_.答案解析|ab|2a22abb21212cos227，|ab|.9已知
10、a、b是异面直线，A、Ba，C、Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，则a与b所成的角是_答案60解析，()201201，又|2，|1.cos，.，0，180，a与b所成的角是60.10已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60，则此平行六面体的对角线AC1的长为_答案解析2()22222221112(cos60cos60cos60)6，|.11如图所示，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABBC，ABAD，且PAABBCAD1，求PB与CD所成的角解由题意知|，|，PA平面ABCD，0，ABAD，0，ABBC，0，()()2|2
11、1，又|，|，cos，0，180，60，PB与CD所成的角为60.12已知四面体OABC的棱长均为1.求：(1)；(2)()()；(3)|.解(1)|cosAOB11cos60.(2)()()()()()(2)1211cos60211cos6011cos6012211cos601.(3)|.三、探究与创新13在棱长为1的正方体ABCDABCD中，E，F分别是DD，BD的中点，G在棱CD上，且CGCD，H为CG的中点(1)求EF，CG所成角的余弦值；(2)求FH的长解设a，b，c，则abbcca0，|a|2a21，|b|2b21，|c|2c21.(1)c(ab)(abc)，ca，(abc)(ca)(a2c2)，|2(abc)2(a2b2c2)，|2(ca)2c2a2，|，|，cos，EF，CG所成角的余弦值为.(2)(ab)bc(ab)bc(ca)abc，|2(abc)2a2b2c2，FH的长为.
