1、浙江省宁波市余姚中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、选择题1.函数在上取最大值时，的值为（）A. 0B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：函数的导数为，令得，又因为，所以，当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以使得函数取得最大值的的值为，故选B.考点：利用导数研究函数在闭区间上的最值.【点晴】本题主要考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，属于基础题.函数在闭区间上的最值一般从极值点和区间端点处取得，解答的基本思路是先利用导数研究函数在给定区间上的单调性，看能否找到所需要的最值点，否则求出极值和区间端点的函数值进行比较，来找到所需要的
2、最值点和最值,本题中只需要研究在上的单调性，就能找到极大值点也就是最大值点.2.函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出函数的定义域，利用导数研究函数的单调性，从而得解.【详解】函数的定义域为，解得，所以函数的单调递减区间为.故选：C.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.函数与导数的问题中，要注意定义域优先法则的应用.3.用数学归纳法证明命题“当是正奇数时，能被整除”，在第二步时，正确的证法是（ ）A. 假设，证明命题成立B. 假设（是正奇数），证明命题成立C. 假设，证明命题成立D. 假设（是正奇数），证明命题成立【答案】D【解析】【
3、分析】根据是正奇数的条件，依次判断选项中的假设是否满足正奇数，由此得到结果.【详解】对于，当时，表示除以外的所有正整数， 错误；对于，当（是正奇数）时，表示正偶数，错误；对于，当时，不包含，且表示正偶数，错误；对于，当（是正奇数）时，表示下一个正奇数，正确.故选：.【点睛】本题考查数学归纳法的应用，属于基础题.4.被9除的余数为（ ）A. B. 1C. 8D. 【答案】C【解析】【分析】将转化为，利用二项式定理，即可得解.【详解】 可以被9整除，所以被9除的余数为8.故选：C.【点睛】本题考查利用二项式定理解决余数问题，将原式变形为是本题的解题关键，属于中档题.5.6名同学合影留念，站成两排三
4、列，则其中甲乙两人不在同一排也不在同一列的站队种数为（ ）A. 288B. 144C. 360D. 180【答案】A【解析】【分析】由题意可知，分三步完成：第一步先排甲，第二步在与甲所选位置不在同一排也不在同一列的位置中，任选一个安排乙，第三步将剩下4 人安排其余的位置上，再由分步原理可求得结果.【详解】解：由题意知分三步：第一步，先安排甲，在6个位置中任选一个即，有种选法；第二步，在与甲所选位置不在同一排也不在同一列的位置中，任选一个安排乙，有种选法；第三步，将剩下4 人安排其余的位置上，有种安排方法由分步原理可知，甲乙两人不在同一排也不在同一列的站队种数为种故选：A【点睛】此题考查排列、组
5、合的综合应用，注意要优先分析受限制的元素，属于基础题.6.在的展开式中常数项为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】，故可通过求展开式中的的系数来求常数项.【详解】因为，故，又的展开式中的系数为，故选A.【点睛】三项展开式的指定项的系数，可以利用二项式定理的推导方法求出指定项的系数，也可以把三项代数式变形为两项代数式，再利用二项式定理求出指定项的系数.7.已知函数，则、与1的大小关系为（ ）A. 没有一个小于1B. 至多有一个不小于1C. 都不小于1D. 至少有一个不小于1【答案】D【解析】【分析】通过反例可排除；采用反证法，利用和，结合不等式的性质可证得，由此知正确.【详解
6、】当，时，则，可知错误；当时，则，可知错误；假设，由得：，即，由得：，即，由得：，由得：，由得：，由得：，与矛盾，可知至少有一个不小于，正确.故选：.【点睛】本题考查利用不等式的性质判断大小关系的问题；解决此类问题比较快捷的方法是采用排除法得到正确结果；解题关键是能够熟练应用绝对值不等式的解法和不等式的性质，采用反证法的方式确定正确结论.8.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P 移动5次后位于点的概率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位
7、于点的概率为9.设函数是定义在上奇函数，且，当时，有恒成立.则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据当时，可知在上单调递减，结合可确定在上的解集；根据奇偶性可确定在上的解集；由此可确定结果.【详解】，当时，在上单调递减，在上的解集为，即在上解集为；又为上的奇函数，为上的偶函数，在上的解集为，即在上的解集为；当时，不合题意；综上所述：的解集为.故选：.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够通过构造函数的方式，确定所构造函数的单调性和奇偶性，进而根据零点确定不等式的解集.10.若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（ ）A.
8、B. C. D. 【答案】A【解析】设公切线与函数切于点，则切线方程；设公切线与函数切于点，则切线方程为，所以有，又，令，设，则，在(0，2)上为减函数，则，故选A【点睛】本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力，运算能力，创新意识，考查了函数与方程，分类与整合，转化与化归等数学思想方法，属于难题，由切线方程可得，分离参数，得到关于的函数，求出的取值范围即可，因此正确运用导数的性质是解决问题的关键.二、填空题11.如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 ；函数在处的导数 【答案】2 ；-2【解析】；12.在二项式的展开式中，含项的系数为_；各项系数之和为_.（用数字作
9、答）【答案】 (1). (2). 0【解析】【分析】二项式的展开式中的通项公式为，可得含项的系数，令可得各项系数之和.【详解】二项式的展开式中的通项公式为所以含项的系数为设令得所以各项系数之和为0故答案为：(1). (2). 0【点睛】本题考查二项式定理的指定项的系数和所有项的系数之和，属于基础题.13.某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过5个红绿灯路口如果他恰好遇见2次红灯，则这2次红灯的不同的分布情形共有_种；如果他在每个路口遇见红灯的概率均为，用示他遇到红灯的次数，则_.（用数字作答）【答案】 (1). 10 (2). 【解析】【分析】先用组合数表示出所有的分布情况，计算出结果即可；随
10、机变量，再利用二项分布求数学期望的方法求解即可.【详解】解：经过5个红绿灯路口，恰好遇见2次红灯的分布情形有种；因为随机变量，所以故答案为：10；【点睛】此题考查了组合数的应用和二项分布的数学期望，考查学生的运算能力，属于基础题.14.已知，则_；_（用数字作答）【答案】 (1). 16 (2). 81【解析】【分析】将转化为，再利用二项式定理，即可求得；将已知等式两边分别求导，令，即可求出的值.【详解】，展开后含有的项为，所以；，等号两边分别求导，得，令，得，即.故答案为：16；81.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，其中涉及到导数问题，属于中档题.“赋值法”是一种处理二项展开式系数和的
11、常用方法，根据题意给变量合理赋值是本题的解题关键.15.北京财富全球论坛期间，某高校有8名志愿者参加接待工作若每天排早、中、晚三班，每班至少2人，每人每天必须值一班且只值一班，则开幕式当天不同的排班种数为_.【答案】2940【解析】【分析】根据题意，有两类分配方案，第一类：2，2，4三组，第二类：2，3，3三组，分别求得排班种数，再利用分类计数原理求解.【详解】由8名志愿者，根据早、中、晚三班，且每班至少2人，分为3组.第一类：2，2，4三组，共有种，第二类：2，3，3三组，共有种，所以每人每天必须值一班且只值一班，则开幕式当天不同的排班种数.故答案为：2940【点睛】本题主要考查排列组合中的
12、分组分配问题，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.16.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有_种.（用数字作答）【答案】120【解析】【分析】由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花，从同颜色的花入手分类来求，最后利用分类加法计数原理得到结果.【详解】由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花，若2、5同色，则3、6同色或4、6同色，所以共有种栽种方法；若2、4同色，则3、6同色，所以共有种栽种方法；若3、5同色，则2、4同色或4、6同色，所以共有种栽
13、种方法；所以共有种栽种方法.故答案为：120【点睛】本题主要考查分类加法计数原理和排列组合的应用，考查学生的分析能力和分类讨论的思想，属于中档题.17.已知，函数，若存在三个互不相等的实数，使得成立，则的取值范围是_【答案】【解析】若存在三个互不相等的实数，使得成立，则方程存在三个不相等的实根，当时，解得，所以当时，有两个不等的实根，即 令 在 当时， 所以要有两个交点则故答案为点睛：本题考查了分段函数零点问题，考查了转化思想，函数与方程思想，转化为函数图像的交点，参数分离是常用的处理方法,属于中档题.三解答题18.设数列满足，（1）求，的值，并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜
14、想.【答案】（1），猜想；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据递推公式即可得，的值，根据，的值可猜想的通项公式；（2）根据数学归纳法的步骤证明即可.【详解】解:（1）由题可得；，猜想（2）下面用数学归纳法证明当时，猜想成立；假设时，等式也成立，即则时即时也猜想成立.由知等式成立.【点睛】本题主要考查用数学归纳法证明等式成立，考查学生对数学归纳法的掌握程度，属于基础题.19.已知a是实数，函数.（1）若，求a的值及曲线在点处的切线方程.（2）求在区间上的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求函数的导数，由，计算可得和，根据点斜式即得在点处的切线方程；（2）由导数，令，可得
15、，讨论的取值范围，利用函数单调性即得.【详解】（1）.因为，所以.又当时，则切点坐标，斜率为3，所以曲线在处的切线方程为化简得.（2），令，解得，.当，即时，在上单调递增，从而.当，即时，在上单调递减，从而.当，即，在上单调递减，在单调递增，从而.综上所述，.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线，以及研究含参数的函数的最大值，属于中档题.20. 由0，1，2，3，4，5这六个数字（1）能组成多少个无重复数字的四位数？（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（3）能组成多少个无重复数字且被25个整除的四位数？（4）组成无重复数字四位数中比4032大的数有多少个？【答案】解：（1）；(2)；(3)
16、；(4)【解析】（1）由题意知，因为数字中有0，0不能放在首位，先安排首位的数字，从五个非0数字中选一个，共有种结果，余下的五个数字在五个位置进行全排列，共有种结果，根据乘法原理得到结果（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数,只要末尾是偶数，首位不能为零，对于特殊位置优先安排可得（3）被25整除的数字包括两种情况，一是最后两位是25，需要先从余下的非0数字中选一个做首位，剩下的三个数字选一个放在第二位，二是最后两位数字是50，共有种结果，根据加法原理得到结果（4）当首位是5时，其他几个数字在三个位置上排列，当首位是4时，第二位从1，2，3，5四个数字中选一个，后两位没有限制，当前两位是40时，
17、当前三位是403时，分别写出结果数，相加得到结果解：（1）3分(2)6分(3)9分(4)12分21.某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为，求的分布列和期望【答案】（1）（2）【解析】【详解】（1）若该生被录取，则前四项最多有一项不合格，并且第五项必须合格记A=前四项均合格，B=前四项中仅有一项不合格则
18、又A、B互斥，故所求概率为，所以该生被录取的概率是；（2）该生参加考试的项数可以是2，3，4，5.， 2345 考点：本题考查了随机变量的概率与期望点评：本题考查了随机事件的概率及随机变量的分布列、期望的综合运用，考查了学生的计算能力及解决实际问题的能力，掌握求分布列的步骤及期望公式是解决此类问题的关键22.已知函数（1）若为的极值点，求实数的值；（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；（3）当时，方程有实根，求实数的最大值【答案】（1）；（2）；（3）0.【解析】分析】（1）根据建立关于的方程求出的值.（2）本小题实质是在区间上恒成立，进一步转化为在区间上恒成立,然后再讨论和两种情况研究.（
19、3）时，方程可化为,问题转化为在上有解，利用导数研究函数的单调区间极值最值，从而求出值域，问题得解.【详解】解：（1）因为为的极值点，所以，即，解得.又当时，从而为的极值点成立 （2）因为函数在上为增函数，所以在上恒成立.当时，在上恒成立，所以在上为增函数，故符合题意.当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，所以在上恒成立.令函数，其对称轴为，因为，所以，要使在上恒成立，只要即可，即，所以.因为，所以.综上所述，的取值范围为.（3）当时，方程可化为.问题转化为在上有解，即求函数的值域.因为函数，令函数，则，所以当时，从而函数在上为增函数，当时，从而函数在上为减函数，因此.而，所以，因此当时，取得最大值0【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，函数的最值，构建函数是关键，还考查恒成立问题，正确分离参数是关键.