1、考向一 函数的图象和性质1.讲高考（2）命题规律 函数是高考数学考查的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型,每年都有函数试题，而且常考常新以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势在大题中以导数为工具研究讨论函数的性质、不等式求解等综合问题.纵观近几年的高考题，函数问题的考查，往往是小题注重基础知识基本方法，突出重点知识重点考查，大题则注重在知识的交汇点命题，与不等式、导数、解析几何等相结合，综合考查函数方程思想及数学应用意识，考查转化与化归思想、分类讨论思想及数形结合思想的理解运用；例1【20
2、14高考北京版文第2题】下列函数中，在区间为增函数的是（ ）A B C D例2【2014高考福建卷第4题】若函数的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）例3. 【2014高考安徽卷文第14题】若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则.2.讲基础2函数的性质(1)函数的奇偶性如果对于函数yf(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)(或f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数)(2)函数的单调性函数的单调性是函数的又一个重要性质给定区间D上的函数f(x)，若对于任意，当时，都有 (或)，则称f(x)在区间D上为单调增(或减)函数反映在图象上，若函数f(x)是区间
3、D上的增(减)函数，则图象在D上的部分从左到右是上升(下降)的如果函数f(x)在给定区间(a，b)上恒有f (x)0(f (x)0时转化为不等式f(x)0.数列是自变量为正整数的函数直线与二次曲线位置关系问题常转化为二次方程根的分布问题立体几何中有关计算问题，有时可借助面积、体积公式转化为方程或函数最值求解3.讲典例【例1】【2014高考江苏第19题】已知函数，其中是自然对数的底数.（1）证明：是上的偶函数；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）已知正数满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论.【趁热打铁】【江苏省南通第一中学2015届高三上学期期中】已知奇函数的
4、定义域为,当时,.(1) 求函数在上的值域；(2) 若,y=的最小值为,求实数的值.【例2】【江苏省泰兴市2015届高三（上）期中，文18】已知奇函数的定义域为,当时,.(1) 求函数在上的值域；(2) 若,y=的最小值为,求实数的值.【趁热打铁】【吉林省实验中学2015届高三上学期第三次质量检测，文21】已知函数是定义在上的偶函数，其中均为常数.(1)求实数的值；(2)试讨论函数的奇偶性；(3)若，求函数的最小值.4.讲方法 (1)求解函数的定义域一般应遵循以下原则：f(x)是整式时，定义域是全体实数；f(x)是分式时，定义域是使分母不为零的一切实数；f(x)为偶次根式时，定义域是使被开方数
5、为非负值时的实数的集合；对数函数的真数大于零，且当对数函数或指数函数的底数中含变量时，底数需大于0且不等于1；零指数幂的底数不能为零；若f(x)是由有限个基本初等函数运算合成的函数，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集；对于求复合函数定义域的问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为a，b，其复合函数fg(x)的定义域应由不等式ag(x)b解出；对于含字母参数的函数求其定义域，根据具体情况需对字母参数进行分类讨论；由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（3）求函数最值常用的方法有单调性法、图象法、基本不等式法、导数法和换元法分段函数求值或解不等式时，一定
6、要依据条件分清利用哪一段求解，对于具有周期性的函数要用好其周期性（4）形如f(g(x)的函数求值应遵循先内后外的原则（5）新定义题型要准确理解把握新定义的含义，发掘出其隐含条件（6）恒成立问题要注意恒成立的临界点及特值法应用（7）分段函数的单调性和最值问题，一般是在各段上分别讨论（8）函数奇偶性判定方法：紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域关于坐标原点对称、函数图象的对称性等对问题进行分析转化，特别注意“奇函数若在x0处有定义，则一定有f(0)0，偶函数一定有f(|x|)f(x)”在解题中的应用规律方法(9)判断函数的单调性的一般思路：对于选择、填空题，若能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基
7、本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式较复杂的，用导数法或定义法函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标. (10)作图、识图、用图技巧(a)作图：常用描点法和图象变换法图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行(b)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系(c)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质
8、的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究(11)讨论方程的解的范围或个数，讨论函数的零点(特别是含参数的指数、对数、根式、三角函数式等)，可构造函数，利用函数图象交点的讨论来求解，图象交点的个数就是方程解的个数，正确作出函数的图象是解决此类问题的关键，要注意图形的准确全面(12)熟练掌握基本初等函数的图象和性质，善于利用函数的性质来作图象，要合理运用三种图象变换的技巧(13)在研究函数性质时，注意结合图象；在解有些方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的效果，但要注意：求交点个数或解的个数问题时，作图要十分准确，否则容易错解解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点
9、，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答规律方法(14)函数的知识常与导数、三角函数、数列、不等式、概率等知识结合命题，是重要的知识交汇点，解答此类问题时一定要先判明是以函数为主还是以其他知识为主，结合条件找准解题切入点. 要注意转化与化归和分类讨论思想在这些题目中的应用5.讲易错1画函数的图象或研究函数的性质时，一定要注意定义域的限制2判断函数yf(x)的奇偶性时，注意观察函数的定义域是否关于原点对称，同时注意“函数的定义域关于原点对称”与“奇函数的图象关于原点对称”的内涵是不同的3应注意区别“
10、f(x)在区间M上单调递增(减)”与“f(x)的单调递增(减)区间为M”4函数的图象一般可以由两种方法得到：(1)描点法；(2)利用基本函数图象的平移、对称、翻折、伸缩等变换用描点法画图象时，可结合函数的性质，比如奇偶性、周期性、单调性等5会“画图”，还要会“识图”，能根据函数的图象研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质6注意对抽象函数yf(x)的对称性与周期性的识别，如f(ax)f(ax)和f(xa)f(xa)在形式上相近，有时难以区分，可以对比学习【题目】(2014东北三省四市联考)函数的奇偶性是()A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既奇又偶函数错解选B.为偶函数 警示研究函数
11、必须遵循“定义域优先”的原则，先考虑定义域，实施数学式子变形，应注意变量取值范围的变化考向二 导数及其几何意义1.讲高考（1）考纲要求 （a）导数概念及其几何意义了解导数概念的实际背景.理解导数的几何意义.（b）导数的运算能根据导数定义，求函数的导数.能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.（2）命题规律高考对导数的考查，主要是考查导数的概念、计算、几何意义以及导数在研究函数中的应用；从考查形式上看，基本上是以一道小题和一道大题形式出现，其中导数的几何意义考查，试题难度较低，有选择题、填空题，有时作为解答题中的关键一步,常常与直线的斜率、倾斜角、直线的方程、三角函
12、数等相结合.例1【2014高考广东卷文第11题】曲线在点处的切线方程为_.例2【2014高考江苏卷第11题】在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则 .2.讲基础（1）导数的定义：.（2）导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即.（3）基本初等函数的导数公式函数导数f(x)C(C为常数)f(x)f(x)sin xf(x)cos xf(x)ln x（4）导数的四则运算法则3.讲典例【例1】【2014高考山东文第20题】设函数（1） 若，求曲线处的切线方程；（2） 讨论函数的单调性.【趁热打铁】【2014高考全国2文第21题】已知函数，曲线在
13、点处的切线与轴交点的横坐标为.（）求；（）证明：当时，曲线与直线只有一个交点.【例2】【江苏省南通第一中学20142015学年度上学期期中】已知函数f（x）=ln(2x-e), 点P(e,f(e)为函数的图像上一点.（1）求导函数的解析式；（2）求f（x）=ln(2x-e)在点P(e,f(e)处的切线的方程.【趁热打铁】【改编自曾都、枣阳、襄阳、宜城一中2015届高三上学期期中，文20】设函数，为曲线在点处的切线.（）求L的方程； （）当时，证明：除切点之外，曲线C在直线L的下方；4.讲方法（1）求曲线切线方程的步骤是：（i）求曲线yf(x)的切线方程的类型及方法(a)已知切点P，求yf(x)
14、过点P的切线方程：求出切线的斜率，由点斜式写出方程；(b)已知切线的斜率为k，求yf(x)的切线方程：设切点P，通过方程解得，再由点斜式写出方程；(c)已知切线上一点(非切点)，求yf(x)的切线方程：设切点P，利用导数求得切线斜率，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得，再由点斜式或两点式写出方程(ii)若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由求出切点坐标，最后写出切线方程5.讲易错(1)明确函数导数的几何意义，即曲线yf(x)在处切线的斜率是(2)熟练掌握导数公式及导数的四则运算，特别是涉及正弦与余弦函数、幂函数与指数函数、对数函数的
15、导数公式，要注意加以区分(3)注意曲线与直线相切并不一定只有一个公共点不能随意将直线和圆锥曲线相切时仅有一个公共点迁移过来求过某点的曲线的切线方程与求在某点处的切线方程应注意区分.【题目】已知曲线，求曲线过点的切线方程； 错解 因为在曲线上，且，在点处的切线的斜率k=4;曲线在点处的切线方程为即警示 该曲线过点的切线方程”与“该曲线在点处的切线方程”是有区别的：过点的切线中，点不一定是切点；在点处的切线，点是切点.考向三 导数的综合应用1.讲高考（1）考纲要求（a）导数的综合应用是高考的重点必考内容，利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生活中的优化问题，已成为近几年高考的命题热点(b)
16、 利用微积分基本定理求定积分和曲边平面图形面积为主，考查较少.（2）命题规律导数的应用涉及的知识点多，综合性强，要么直接求极值或最值，要么利用极值或最值求参数的取值范围，常与函数的单调性，函数的零点，不等式及实际问题，形成知识的交汇问题选择题、填空题往往侧重于利用导数确定函数的单调性和极值，一般属于低档题目；解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识的综合应用，一般难度较大，属于中高档题预测2015年的高考，不但出现考查求导法则、导数的几何意义等问题的小题，还必有考查导数的综合应用大题 例1【2014高考全国2卷文第11题】若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）（A） （B） （
17、C） （D）例2 【2014高考全国1卷文第12题】已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ） （B） （C） （D）例3【2014高考广东卷文第21题】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，试讨论是否存在，使得.例4【2014高考江苏第19题】已知函数，其中是自然对数的底数.（1）证明：是上的偶函数；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）已知正数满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论.2.讲基础（1）函数的单调性与导数的关系一般地，在某个区间(a，b)内：如果，函数f(x)在这个区间内单调递增如果，函数f(x)在这个区间内单调递减如果，函数f
18、(x)在这个区间内是常数函数（2）函数的极值与导数的关系一般地，对于函数yf(x)，若在点xa处有f(a)0，且在点xa附近的左侧，右侧，则称xa为f(x)的极小值点；叫函数f(x)的极小值若在点xb处有f(b)0，且在点xb附近的左侧，右侧，则称xb为f(x)的极大值点，叫函数f(x)的极大值（3）求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤：求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值3.讲典例【例1】【2014高考陕西文第21题】设函数.（1） 当（为自然对数的底数）时，求的最小值；（
19、2） 讨论函数零点的个数；（3）若对任意恒成立，求的取值范围.【趁热打铁】【2014高考四川文第21题】已知函数，其中，为自然对数的底数。（）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（）若，函数在区间内有零点，证明：.例2【2014高考江西文第18题】 已知函数，其中. （1）当时，求的单调递增区间; （2）若在区间上的最小值为8，求的值.【趁热打铁】【2014高考全国2第21题】已知函数=.（）讨论的单调性；（）设，当时，,求的最大值；（）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）【例3】【2014高考浙江文第21题】已知函数，若在上的最小值记为.（1）求；（2）证明：当时，恒有.【趁热
20、打铁】【2014高考山东卷第20题】设函数（为常数，是自然对数的底数）.（）当时，求函数的单调区间；（）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.例3【2014高考四川第21题】已知函数，其中，为自然对数的底数.（）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（）若，函数在区间内有零点，求的取值范围【趁热打铁】【2014高考天津第20题】已知函数，已知函数有两个零点，且（）求的取值范围；（）证明随着的减小而增大；（）证明随着的减小而增大例4【2014高考辽宁文第21题】已知函数，.证明：（）存在唯一，使；（）存在唯一，使，且对（1）中的.【趁热打铁】【四川省成都市新都一中2015届高三10月考，文
21、21】已知函数f(x)满足2f(x2)f(x)，当x(0，2)时，f(x)lnxax ()，当x(4，2)时，f(x)的最大值为4() 求x(0，2)时，f(x)的解析式；() 是否存在实数b使得不等式对于恒成立？若存在，求出实数b的取值集合；若不存在，请说明理由4.讲方法 (1)利用导数研究函数的单调性的一般思路：(i)确定函数的定义域(ii)求导数f(x)(iii)若求单调区间或证明单调性，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0.若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题求解(2)若已知函数的单调性求参数的值或取值范围，
22、只需转化为不等式f (x)0或f (x)0在单调区间内恒成立的问题求解，解题过程中要注意分类讨论；函数单调性问题以及一些相关的逆向问题，都离不开分类讨论思想(3)利用导数研究函数最值的一般步骤(i)求定义域；(ii)求导数f (x)；(iii)求极值，先解方程f (x)0，验证f (x)在根左右两侧值的符号确定单调性，若在左侧f (x)0，右侧f (x)g(x)时，可构造函数h(x)f(x)g(x)，转化为h(x)的最小值问题等等（7）应用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题，是多元问题中的常见题型，常见的解题思路有以下两种：(i)分离变量，构造函数，将不等式恒成立、方程求解等转化为求函数
23、的最值(或值域)，然后求解(ii)换元，将问题转化为一次不等式、二次不等式或二次方程，进而构造函数加以解决5.讲易错 (1)明确函数的极值表示函数yf(x)在一点附近的情况，即极值是在局部对函数值的比较，函数在区间上的极大值(或极小值)可有若干个，而且有时某个极小值会大于它的某个极大值导数为零的点，不一定是极值点.(2)在一般情况下，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值(3)能根据函数的图象确定函数的单调区间和函数的极值或最值，反之，能根据函数的单调性与极值等画出函数的草图【题目】函数在上为单调减函数，则a的取值范围是_错解1，由已知得. 警示若f(x)的单调减区间为m，n，则在xm(xn)两侧函数值异号，f (m)0(f (n)0)；若f(x)在区间m，n上单调递减，则f (x)0在m，n上恒成立【题目】已知在处有极值为，则_.错解 或.，由已知或，所以等于或. 警示对于给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑，又要考虑在两侧的导数值符号不同，否则容易产生增根
