1、习题课直线的方程目标定位1.了解直线和直线方程之间的对应关系.2.掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式，能根据条件熟练地求出直线的方程.3.能将直线方程的点斜式、斜截式、两点式等几种形式转化为一般式，知道这几种形式的直线方程的局限性.1.经过M(3，2)与N(6，2)两点的直线方程为()A.x2 B.y2 C.x3 D.x6解析由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y2，故选B.答案B2.直线(2m25m2)x(m24)y5m0的倾斜角为45，则m的值为()A.2 B.2 C.3 D.3解析由已知得m240，且1，解得：m3或m2(舍去).答案D3.直线l的方程为AxByC
2、0，若直线l过原点和二、四象限，则()A.C0，B0 B.A0，B0，C0C.AB0，C0解析通过直线的斜率和截距进行判断.答案D4.直线ax3my2a0(m0)过点(1，1)，则直线的斜率k等于()A.3 B.3 C. D.解析由点(1，1)在直线上可得a3m2a0(m0)，解得ma，故直线方程为ax3ay2a0(a0)，即x3y20，其斜率k.答案D5.已知直线(a2)xay10与直线2x3y50平行，则a的值为()A.6 B.6 C. D.解析直线2x3y50的斜率为k，则a0，直线(a2)xay10的斜率为k1，解得a6.答案B6.直线l：ax(a1)y20的倾斜角大于45，则a的取值
3、范围是_.解析当a1时，直线l的倾斜角为90，符合要求；当a1时，直线l的斜率为，只要1或者0即可，解得1a或者a0.综上可知，实数a的取值范围是(，)(0，).答案(，)(0，)题型一由含参一般式方程求参数的值或取值范围【例1】 (1)若方程(m25m6)x(m23m)y10表示一条直线，则实数m满足_.(2)当实数m为何值时，直线(2m2m3)x(m2m)y4m1.倾斜角为45；在x轴上的截距为1.(1)解析若方程不能表示直线，则m25m60且m23m0.解方程组得m3.所以m3时，方程表示一条直线.答案m3(2)解因为已知直线的倾斜角为45，所以此直线的斜率是1，所以1，所以解得所以m1
4、.因为已知直线在x轴上的截距为1，令y0得x，所以1，所以解得所以m或m2.规律方法已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤【训练1】 已知直线l：kxy12k0(kR).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围.(1)证明直线l的方程是k(x2)(1y)0，令解得无论k取何值，直线总经过定点(2，1).(2)解由方程知，当k0时直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，要使直线不经过第四象限，则必须有解之得k0；当k0时，直线为y1，符合题意，故k0.故k的取值范围为k|k0.题型二利用直线系方程求直线方程【例2】 已知直线l的方程为3x4y120，求
5、满足下列条件的直线l方程，(1)过点(1，3)，且与l平行；(2)过点(1，3)，且与l垂直.解法一由题设l的方程可化为yx3，l的斜率为.(1)由l与l平行，l的斜率为.又l过(1，3)，由点斜式知方程为y3(x1)，即3x4y90.(2)由l与l垂直，l的斜率为，又过(1，3)，由点斜式可得方程为y3(x1)，即4x3y130.法二(1)由l与l平行，可设l方程为3x4ym0.将点(1，3)代入上式得m9.所求直线方程为3x4y90.(2)由l与l垂直，可设其方程为4x3yn0.将(1，3)代入上式得n13.所求直线方程为4x3y130.规律方法一般地，直线AxByC0中系数A、B确定直线
6、的斜率，因此，与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBym0(mC)，与直线AxByC0垂直的直线方程可设为BxAyn0.这是经常采用的解题技巧.【训练2】 已知A(2，2)和直线l：3x4y200.求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程.解(1)将与直线l平行的方程设为3x4yC10，又过点A(2，2)，所以3242C10，所以C114.所求直线方程为3x4y140.(2)将与l垂直的直线方程设为4x3yC20，又过点A(2，2)，所以4232C20，所以C22，所以直线方程为4x3y20.题型三直线的平行与垂直问题【例3】 a为何值时，直线(a1)x
7、2y40与xay10.(1)平行；(2)垂直.解当a0或1时，两直线既不平行，也不垂直；当a0且a1时，直线(a1)x2y40的斜率为k1，b12；直线xay10的斜率为k2，b2.(1)当两直线平行时，由k1k2，b1b2，得，a，解得a1或a2.(2)当两直线垂直时，(a1)1(2)(a)0，解得a.规律方法1.根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1k2且b1b2；若都不存在，则还要判定不重合.(2)可直接采用如下方法：一般地，设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.l1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10，
8、或A1C2A2C10.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性.2.根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k21.(2)一般地，设l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20.第二种方法可避免讨论，减小失误.【训练3】 (1)直线l1：2x(m1)y40与直线l2：mx3y20平行，求m的值.(2)已知直线(a2)x(1a)y30与直线(a1)x(2a3)y20互相垂直，则a为()A.1 B.1 C.1 D.(1)解法一l1：2x
9、(m1)y40，l2：mx3y20，当m0时，显然l1不平行于l2.当m0时，若l1l2，则有，即m2m60.解得m2或m3.显然m2或m3符合条件.法二若l1l2，则23m(m1)0，解得m2或m3.当m2或m3时，(m1)(2)342m140，m2或m3为所求.(2)解析两直线垂直，(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得a1.答案C课堂小结1.直线方程五种形式的比较名称方程常数的几何意义适用条件点斜式一般情况yy0k(xx0)(x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率直线不垂直于x轴斜截式ykxbk是斜率，b是直线在y轴上的截距直线不垂直于x轴两点式一般情况(x1，y1)，(x2，y2
10、)是直线上的两个定点直线不垂直于x轴和y轴截距式1a，b分别是直线在x轴、y轴上的两个非零截距直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式AxByC0(A，B不同时为0)A，B为系数任何情况特殊直线xa(y轴：x0)垂直于x轴且过点(a，0)斜率不存在yb(x轴：y0)垂直于y轴且过点(0，b)斜率k02.关于五种形式的直线方程及其转化形式要注意：(1)直线斜率往往是求直线的关键，若不能断定直线有无斜率，必须分两种情况讨论；(2)在直线的斜截式或截距式中，其“截距”不等于“距离”；(3)当斜率不存在时，会正确选择直线的表示形式，同时注意直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式表示直线的局限性.基 础
11、过 关1.已知直线(2mm2)x(4m2)ym240的斜率不存在，则m的值是()A.1 B. C.2 D.2解析由题意得解得m2.答案C2.已知直线axby10在y轴上的截距为1，且它的倾斜角是直线xy0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为()A.，1 B.，1C.，1 D.，1解析原方程化为1，1，b1.又axby10的斜率ka，且xy0的倾斜角为60，ktan 120，a，故选D.答案D3.过点(1，0)且与直线x2y20平行的直线方程是()A.x2y10 B.x2y10C.2xy20 D.x2y10解析设所求直线方程为x2yC0，又经过(1，0)，10C0，故C1，所求直线方程为x2y10
12、.答案A4.在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：x2y10和直线l2：2xaya0平行，则常数a的值为_.解析由于l1l2，所以1(a)(2)20且2(a)(a)(1)0，得a4.答案45.若直线x2y50与直线2xmy60互相垂直，则实数m_.解析由已知，得122m0，解得m1.答案16.已知直线l1：(k3)x(4k)y10与l2：2(k3)x2y30.(1)若这两条直线垂直，求k的值；(2)若这两条直线平行，求k的值.解(1)根据题意，得(k3)2(k3)(4k)(2)0，解得k.若这两条直线垂直，则k.(2)根据题意，得(k3)(2)2(k3)(4k)0，解得k3或k5.经检测，均符
13、合题意.若这两条直线平行，则k3或k5.7.已知在ABC中，A，B的坐标分别为(1，2)，(4，3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上.(1)求点C的坐标；(2)求直线MN的方程.解(1)设顶点C(m，n)，AC中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，由中点坐标公式解得C点的坐标为(1，3).(2)由(1)知：点M，N的坐标分别为M，N，由直线的截距式方程得直线MN的方程是1，即yx，即2x10y50.能 力 提 升8.两条直线l1：1和l2：1在同一直角坐标系中的图象可以是()解析化为截距式1，1.假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合.答案A9.两条直线mxyn0和xmy
14、10互相平行的条件是()A.m1 B.m1C. D.或解析令mm11，得m1.当m1时，要使xyn0与xy10平行，需n1.当m1时，要使xyn0与xy10平行，需n1.答案D10.垂直于直线3x4y70，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是_.解析设直线方程是4x3yd0，分别令x0和y0，得直线在两坐标轴上的截距分别是，6，d12，则直线在x轴上的截距为3或3.答案3或311.直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)AOB的周长为12；(2)AOB的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由
15、.解设所求直线方程为1(a0，b0).若满意条件(1)，由题意可知，ab12.直线过点P，1.由可得5a232a450，解得或所求直线的方程为1或1，即满足条件(1)的直线方程为：3x4y120或15x8y360.若满足条件(2)，由题意知ab12，1.整理，得a26a80，解得或所求直线的方程为1或1，即满足条件(2)的直线方程为：3x4y120或3xy60.故同时满足(1)(2)的直线方程为：3x4y120.探 究 创 新12.某小区内有一块荒地ABCDE，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发(如图所示).问如何设计才能使开发的面积最大？最大开发面积是多少？(已知BC210 m，CD240 m，DE300 m，EA180 m)解以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，由已知可知A(0，60)，B(90，0)，AB所在直线的方程为1，即y60(1).y60x.从而可设P(x，60x)，其中0x90，所开发部分的面积为S(300x)(240y).故S(300x)(24060x)x220x54 000(0x90)，当x15且y601550时，S取最大值为152201554 00054 150(m2).因此点P距AE 15 m，距BC 50 m时所开发的面积最大，最大面积为54 150 m2.
