1、专题47 以函数为背景的等腰三角形的存在性问题 【题型演练】一、解答题1已知抛物线经过，两点，直线l是抛物线的对称轴(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标以及这个最小周长；(3)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由2如图，已知抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点(1)求抛物线的解析式及点的坐标；(2)若为抛物线上一点，连接，是否存在以为底的等腰？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由3如图，抛物线：与x轴交于点A，顶点为点P(1)直接写出抛物线的对称轴是_，用含a的代数式
2、表示顶点P的坐标_；(2)把抛物线绕点旋转180得到抛物线（其中），抛物线与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q当时，求线段AB的长：在的条件下，是否存在为等腰三角形，若存在请求出a的值，若不存在，请说明理由4如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线轴交于，两点，与轴交于点(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的对称轴及顶点坐标(3)在坐标轴是否存在一点使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由；5如图，已知抛物线经过，三点，直线是抛物线的对称轴(1)求抛物线的函数关系式及对称轴；(2)设点为直线上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标？(3)在直线上是否存在点，使为等腰三角形
3、？若存在，求出点的坐标；不存在，说明理由6如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的对称轴上是存在点K，使为等腰三角形，若存在，请求出K点坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图2，若点P是二次函数图象上位于下方的一个动点，作交于M，设点P的横坐标为t，求的最大值7如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为(1)求抛物线的解析式；(2)求线段所在直线的解析式；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由8如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛
4、物线的对称轴交轴于点，已知，(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由9如图，抛物线经过，两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)如图1，点E在抛物线上，连接并延长交x轴于点F，连接，若是以为底的等腰三角形，求点E坐标(3)如图2，连接、，在抛物线上是否存在点M，使，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由10如图1，直线与抛物线交于，两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，顶点为D(1)求直线及抛物线的解析式(2)M是第二象限内抛物线上的一个动点，过点M作
5、于N，当最大时，求点M的坐标(3)如图2，将抛物线沿射线AC方向以每秒个单位的速度平移，平移后抛物线的顶点为，设平移时间为t秒，当为等腰三角形时，求t的值11综合与探究如图，抛物线经过，三点，与y轴交于点C，作直线(1)求抛物线和直线的函数解析式(2)D是直线上方抛物线上一点，求面积的最大值及此时点D的坐标(3)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以点P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由12如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为(1)求该抛物线的解析式；(2)如图，若点为抛物线上
6、第二象限内的一点，且到轴的距离是2.点为线段上的一个动点，求周长的最小值；(3)如图，将原抛物线绕点旋转，得新抛物线，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得为等腰三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由13在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴的交点为，两点，与轴交于点，顶点为，其对称轴与轴交于点(1)求二次函数解析式；(2)连接，试判断的形状，并说明理由；(3)点为第三象限内抛物线上一点，的面积记为，求的最大值及此时点的坐标；(4)在线段上，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由14已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有
7、一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点D的横坐标为m(1)求抛物线的解析式；(2)连接、，当四边形的面积最大时，求点D的坐标及最大面积；(3)D点在运动过程中，是否存在三角形为等腰三角形，若存在，直接写出m值，若不存在，说明理由15如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点(1)求这个二次函数的表达式(2)过点A作交抛物线于点M，求四边形的面积(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由16如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点A，点P是
8、线段上方抛物线上的一个动点(1)求抛物线的解析式；(2)当点P运动到什么位置时，的面积最大？(3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由17抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，连接，M为线段上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q(1)求抛物线的表达式；(2)设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，有最大值，最大值是多少？(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存
9、在，请说明理由(4)在（2）的条件下，直线上有一动点R，连接，将线段绕点R逆时针旋转90度，使点O的对应点T恰好落在该抛物线上，直接写出点R的坐标18如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点为直线下方抛物线上的一动点，过点作交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)如图2，将该抛物线先向左平移4个单位，再向上移3个单位，得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，点为轴左侧新抛物线上一点，过作轴交射线于点，连接，当为等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点的横坐标19如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个
10、交点为，对称轴为直线(1)求抛物线的表达式；(2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，点的坐标是_；(3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由20如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过，与y轴交于点C，经过点C的直线与抛物线交于另一点，点M为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D(1)求直线的解析式；(2)如图2，点P为直线上方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标以及面积的最大值；(3)如图3，将点D右移一个单位到点N，连接，将（1）中抛物线沿射线平移得到新抛物线，经过点N，的顶点为点G，在新抛物线的对称轴上是否存在点H，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点H的坐标：若不存在，请说明理由
