1、第29讲平面向量的数量积夯实基础【p67】【学习目标】1理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系5会用向量方法解决一些简单的平面几何问题【基础检测】1在四边形ABCD中，0，且，则四边形ABCD是()A平行四边形 B菱形C矩形 D正方形【解析】在四边形ABCD中，0，ABBC，AB綊DC，四边形ABCD是矩形故选C.【答案】C2已知向量a(1，)，b(t，2)，若向量b在a方向上的投影为，则实数t()A1 B1 C3 D5【解析】根据一个向量在另一个
2、向量方向上的投影的定义，可得，解得t1，故选A.【答案】A3已知a，b，c都是单位向量，且abc，则ac的值为_【解析】由abc得acb，两边平方得a22acc2(b)2，又a，b，c都是单位向量，所以有12ac11，所以ac.【答案】4已知向量a，b满足|a|b|2且(a2b)(ab)2，则向量a与b的夹角为_【解析】设a与b的夹角为.依题意得a22b2ab2，484cos 2，cos .又0，因此，即向量a与b的夹角为.【答案】【知识要点】1两向量的夹角已知非零向量a，b，作a，b，则AOB叫作a与b的夹角a与b的夹角的取值范围是_0，_当a与b同向时，它们的夹角为_0_；当a与b反向时，
3、它们的夹角为_；当夹角为90时，我们说a与b垂直，记作ab.2向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，我们把_|a|b|cos_叫作a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos .规定：零向量与任何向量的数量积为0，即0a0.3向量数量积的几何意义向量的投影：|a|cos 叫作向量a在b方向上的投影，当为锐角时，它是正值；当为钝角时，_它是负值_；当为直角时，它是零ab的几何意义：数量积ab等于_a的长度|a|_与b在a方向上的投影|b|cos 的乘积4平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角.结论几何表示坐标表示模|a|
4、a|_数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2|5.平面向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(R)(3)(ab)cacbc.典 例 剖 析【p68】考点1数量积的运算(1)已知向量a(3，1)，b(1，m)，a(a2b)0，则m()A2 B1C1 D2【解析】根据向量的坐标运算，代入坐标得(3，1)(3，1)2(1，m)0，312m0，解得m2，所以选A.【答案】A(2)已知四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若
5、点M，N满足3，2，则等于()A20 B15 C9 D6【解析】，(43)(43)(16292)(1662942)9，故选C.【答案】C(3)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_【解析】以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设E(t，0)，t0，1，则(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因为(1，0)，所以(t，1)(1，0)t1，故的最大值为1.【答案】11【小结】(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义(2)解决涉
6、及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补考点2向量的模与夹角(1)已知向量m与n满足|m|1，|n|2，且m(mn)，则向量m与n的夹角为_【解析】设m，n的夹角为，因为m(mn)，所以m(mn)m2mn112cos 0，所以cos ，又0，所以120.【答案】120(2)已知向量a，b都是单位向量，且ab，则|2ab|的值为_【解析】|2ab|.【答案】(3)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足|1，则|的最大值是_【解析】设D(x，y)，由(x3，
7、y)及|1知(x3)2y21，即动点D的轨迹是以点C为圆心的单位圆又(1，0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.问题转化为圆(x3)2y21上的点与点P(1，)之间距离的最大值圆心C(3，0)与点P(1，)之间的距离为，故的最大值为1.【答案】1【小结】(1)根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角(2)求向量模的最值(范围)的方法：代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解考点3平面向量的垂直(1)已知e1与e2为两个夹角为的单位向量， ae12e2, bke1e2.若ab0，则实数k的值为_
8、【解析】因为e1与e2为两个夹角为的单位向量， ae12e2, bke1e2，ab0，所以(e12e2)(ke1e2)ke2ee1e22k0，所以k.【答案】(2)已知向量，的夹角为120，|5，|2，.若，则_【解析】向量，则0，即()()0，整理可得2(1)20，其中225，52cos 1205，24，据此有：25(1)(5)40，解得.【答案】【小结】平面向量的垂直关系利用向量数量积等于零，但要灵活选择数量积的形式【能力提升】在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值【解析】(1)因为m，n(s
9、in x，cos x)，mn.所以mn0，即sin xcos x0，所以sin xcos x，所以tan x1.(2)因为|m|n|1，所以mncos ，即sin xcos x，所以sin，因为0x，所以x，所以x，即x.方 法 总 结【p69】1要准确理解两个向量的数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的五个重要性质及三个运算规律向量的数量积的运算不同于实数乘法的运算律，数量积不满足结合律：(ab)ca(bc)；消去律：abac/bc；ab0/a0或b0，但满足交换律和分配律2公式ab|a|b|cos ；abx1x2y1y2；|a|2a2x2y2的关系非常密切，必须能够灵活综合运用3通过
10、向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断相应的两直线是否垂直4abx1y2x2y10与abx1x2y1y20要区分清楚走 进 高 考【p69】1(2018北京)设向量a(1，0)，b(1，m)，若a(mab)，则m_【解析】由题意得，mab(m1，m)，根据向量垂直的充要条件可得1(m1)0(m)0，所以m1.【答案】12(2018天津)在如图的平面图形中，已知OM1，ON2，MON120，2，2，则的值为()A15 B9C6 D0【解析】由2，可知2，3.由2，可知2，3，故3，连接MN，则BCMN且|3|.33()，3()3(2)3(|cos 120|2)6.故选C.【答案】C
