1、第十一章计数原理、随机变量及分布列第1课时分类加法计数原理与分步乘法 计数原理(对应学生用书(理)165166页)考情分析考点新知近几年高考两个基本计数原理在理科加试部分考查，预测以后高考将会结合概率统计进行命题，考查对两个基本计数原理的灵活运用，以实际问题为背景，考查学生学习基础知识、应用基础知识、解决实际问题的能力，难度将不太大理解两个基本计数原理.能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.1. (选修23P8练习3改编)某班级有男生5人，女生4人，从中任选一人去领奖，有_种不同的选法答案：9解析：不同选法种数共有N549种2. (选修23P8例4
2、改编)书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从中任取数学书与语文书各一本，有_种不同的取法答案：30解析：共有5630种不同取法3. (选修23P8练习5改编)5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有_种答案：32解析：每位同学有2种不同的报名方法，故5位同学有2532种不同的报名方法4. (选修23P9习题3改编)从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通则从甲地到丙地共有_种不同的走法答案：14解析：共有234214种不同的走法5. 如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块
3、，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为_答案：84解析：分两类：A、C种同种花有43336种不同的种法； A、C种不同种花有432248种不同的种法故共有364884种不同的种法1. 分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法2. 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同
4、的方法3. 分类和分步区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理，分步后要将种数相乘备课札记题型1分类计数原理例1满足AB1，2的集合A、B共有多少组？解：集合A、B均是1，2的子集：，1，2，1，2，但不是随便两个子集搭配都行，本题尤如含A、B两元素的不定方程，其全部解分为四类： 当A时，只有B1，2，得1组解； 当A1时，B2或B1，2，得2组解； 当A2时，B1或B1，2，得2组解； 当A1，2时，B或1或2或1，2，得4组解根据分类计数原理，共有12249组解如下图，共有多少个不同的三角形？解：
5、所有不同的三角形可分为三类：第一类：其中有两条边是原五边形的边，这样的三角形共有5个；第二类：其中有且只有一条边是原五边形的边，这样的三角形共有5420个；第三类：没有一条边是原五边形的边，即由五条对角线围成的三角形，共有5510个由分类计数原理得，不同的三角形共有5201035个题型2分步计数原理例2用五种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色(1) 共有多少种不同的涂色方法？(2) 若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么有多少种不同的涂色方法？1234解：(1) 每一个区域都有5种不同的涂色的方法，所以涂完四个区域共有5555625种不同的涂色方法(2) 若2号，4号区域同色，有
6、54360种涂法；若2号，4号区域异色，有5432120种涂法所以共有60120180种涂法用三种不同的颜色填涂下图33方格中的9个区域，要求每行、每列的三个区域都不同色，则不同的填涂方法共有_种分析：将9个区域顺次标号，利用分步计数原理求解答案：12解析：可将9个区域标号如图：123456789用三种不同颜色为9个区域涂色，可分步解决：第一步，为第一行涂色，有3216种方法；第二步，用与1号区域不同色的两种颜色为4、7两个区域涂色，有212种方法；剩余区域只有一种涂法综上由分步计数原理可知共有6212种涂法题型3两个基本原理的联系例3某同学有12本课外参考书，其中有5本不同的外语书，4本不同
7、的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆去阅读(1) 若从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？(2) 若带外语、数学、物理参考书各一本，有多少种不同的带法？(3) 若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？解：(1) 完成的事情是带一本书，无论是带外语书，还是带数学书、物理书，事情都已经完成，从而应用加法原理，结果为54312种(2) 完成的事情是带三本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理中各选一本后，才能完成这件事，因此应用乘法原理，结果为54360种(3) 要完成的这件事是带2本不同的书，先乘法原理，再用加法原理，结果为54533447种
8、选法三边长均为整数，且最大边长为7的三角形的个数为_答案：16解析：另两边长用x、y表示，且不妨设1xy7，要构成三角形，必须有xy8.当y取值7时，x1，2，3，7，可有7个三角形；当y取值6时，x2，3，4，5，6，可有5个三角形；当y取值5时，x3，4，5，可有3个三角形；当y取值4时，x4，可有1个三角形，所求三角形的个数合计为16个1. (2013山东理)用0，1，9这十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为_答案：252解析：组成三位数的个数为91010900.没有重复数字的三位数有CA648，所以有重复数字的三位数的个数为900648252.2. (2013福建理)满足a、b
9、1，0，1，2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为_答案：13解析：方程ax22xb0有实数解，分析讨论 当a0时，很显然为垂直于x轴的直线方程，有解此时b可以取4个值故有4种有序数对； 当a0时，需要44ab0，即ab1.显然有3个实数对不满足题意，分别为(1，2)，(2，1)，(2，2) (a，b)共有16种实数对，故答案应为16313.3. 将字母a、a、b、b、c、c，排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有_种答案：12解析：第一步先排第一列有A6，再排第二列，当第一列确定时，第二列有2种方法，如图abbcca a
10、cbacb，所以共有6212种4. (2013四川理)从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lgalgb的不同值的个数是_答案：18解析：首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有5420种排法因为，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a、b，共可得到lgalgb的不同值的个数是20218.1. 某赛季足球比赛的规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分一球队打完15场，积33分若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有_种答案：3解析：利用加法原理，考虑胜11场、胜10场、胜9场等情况2. 一栋7层的楼
11、房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有_答案：65解析：分两类：第一类，甲上7楼，有52种；第二类：甲不上7楼，有425种故5242565.3. 现有5位同学准备一起做一项游戏，他们的身高各不相同现在要从他们5个人当中选择出若干人组成A、B两个小组，每个小组都至少有1人，并且要求B组中最矮的那个同学的身高要比A组中最高的那个同学还要高则不同的选法共有_种答案：49解析：给5位同学按身高的不同由矮到高分别编号为1，2，3，4，5，组成集合M1，2，3，4，5 若小组A中最高者为1，则能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是2，
12、3，4，5的非空子集，这样的子集有CCCC24115个， 不同的选法有15个；若A中最高者为2，则这样的小组A有2个：2、1，2，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是3，4，5的非空子集，这样的子集(小组B)有2317个， 不同的选法有2714个；若A中最高者为3，则这样的小组A有4个：3、1，3、2，3、1，2，3，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是4，5的非空子集，这样的子集(小组B)有2213个， 不同的选法有4312个；若A中最高者为4，则这样的小组A有8个：4、1，4、2，4、3，4、1，2，4、1，3，4、2，3，4、1，2，3，4，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B只有5
13、 1个， 不同的选法有8个 综上，所有不同的选法是151412849个4. 75 600有多少个正约数？有多少个奇约数？解：75 600的约数就是能整除75 600的整数，所以本题就是分别求能整除75 600的整数和奇约数的个数由于 75 6002433527.(1) 75 600的每个约数都可以写成2i3j5k7l的形式，其中0i4，0j3，0k2，0l1.于是，要确定75 600的一个约数，可分四步完成，即i，j，k，l分别在各自的范围内任取一个值，这样i有5种取法，j有4种取法，k有3种取法，l有2种取法，根据分步计数原理得约数的个数为5432120个(2) 奇约数中不含有2的因数，因此
14、75 600的每个奇约数都可以写成3j5k7l的形式，同上奇约数的个数为43224个在应用两个计数原理解决具体问题时，常用以下几种方法技巧：(1) 建模法：建立数学模型，将所给问题转化为数学问题，这是计数方法中的基本方法(2) 枚举法：利用枚举法(如树状图，表格)可以使问题的分析更直观、清楚，便于发现规律，从而形成恰当的分类或分步的设计思想(3) 直接法和间接法：在实施计算中，可考虑用直接法或间接法(排除法)，用不同的方法，不同的思路来验证结果的正误(4) 分类计数原理和分步计数原理多数情形下是结合使用的，根据问题特点，一般是先分类再分步，某些复杂情形下，也可先分步再分类分类要“不重不漏”，分步要“连续完整”
