1、第7讲机械能守恒定律功能关系1.机械能守恒定律：(1)守恒条件。只有_做功。虽受其他力，但其他力_。重力或系统内弹簧弹力不做功或做的总功为零(2)三种表达式。守恒的观点：_。转化的观点：_。转移的观点：_。Ek1+Ep1=Ek2+Ep2Ep=-EkEA增=EB减2.几种常见的功能转化关系：(1)合力的功影响_，关系式为_。(2)重力的功影响_，关系式为_。(3)弹簧弹力的功影响_，关系式为_。(4)分子力的功影响_，关系式为_。动能W合=Ek重力势能WG=-Ep弹性势能WH=-Ep分子势能W分=-Ep(5)电场力的功影响_，关系式为_。(6)滑动摩擦力的功影响_，关系式为_。(7)除重力和弹力
2、之外的其他力的功影响_，关系式为_。(8)克服安培力的功影响_，关系式为_。电势能W电=-Ep内能Ffl相对=E内机械能W其=E机电能W克安=E电1.(多选)(2011新课标全国卷)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是()A.运动员到达最低点前重力势能始终减小B.蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加C.蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒D.蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关【解析】选A、B、C。运动员在下落过程中，重力做正功，重力势能减小，故A正确
3、。蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力向上，位移向下，弹性力做负功，弹性势能增加，故B正确。选取运动员、地球和蹦极绳为一系统，在蹦极过程中，只有重力和系统内弹力做功，这个系统的机械能守恒，故C正确。重力势能改变的表达式为Ep=mgh，由于h是绝对的，与选取的重力势能参考零点无关，故D错。2.(多选)(2013大纲版全国卷)如图，一固定斜面倾角为30，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度，沿斜面向上做匀减速运动，加速度的大小等于重力加速度的大小g。若物块上升的最大高度为H，则此过程中，物块的()A.动能损失了2mgH B.动能损失了mgHC.机械能损失了mgH D.机械能损失了【解析】选A、C
4、。小物块向上做匀减速直线运动，合外力沿斜面向下，由牛顿第二定律得F合=mg=ma，根据动能定理损失的动能等于F合s=2mgH,A对,B错；小物块在向上运动过程中，重力势能增加了mgH，而动能减少了2mgH，故机械能损失了mgH，C对，D错。3.(多选)(2013山东高考)如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮。质量分别为M、m(Mm)的滑块，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行。两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动。若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中()A.两滑块组成系统的机械能守恒B.重力对M做
5、的功等于M动能的增加C.轻绳对m做的功等于m机械能的增加D.两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功【解析】选C、D。对于M和m组成的系统，除了重力、轻绳弹力做功外，摩擦力对M做了功，系统机械能不守恒，选项A错误；对于M，合外力做的功等于其重力、轻绳拉力及摩擦力做功的代数和，根据动能定理可知，M动能的增加等于合外力做的功，选项B错误；对于m，只有其重力和轻绳拉力做了功，根据功能关系可知，除了重力之外的其他力对物体做的正功等于物体机械能的增加量，选项C正确；对于M和m组成的系统，系统内轻绳上弹力做功的代数和等于零，只有两滑块的重力和M受到的摩擦力对系统做了功，根据功能关系得，M的摩擦力对
6、系统做的功等于系统机械能的损失量，选项D正确。热点考向1 机械能守恒定律的应用【典例1】(2013芜湖一模)如图所示，质量分别为2m和m的A、B两物体用不可伸长的轻绳绕过轻质定滑轮相连，开始两物体处于同一高度，绳处于绷紧状态，轻绳足够长，不计一切摩擦。现将两物体由静止释放，在A落地之前的运动中，下列说法中正确的是()A.A物体的机械能增大B.A、B组成系统的重力势能增大C.下落时间t过程中，A的机械能减少了D.下落时间t时，B所受拉力的瞬时功率为【解题探究】(1)分别以A、B为研究对象，由静止释放后：轻绳对A物体做_，A物体机械能_(选填“增加”或“减少”)。轻绳对B物体做_，B物体机械能_(
7、选填“增加”或“减少”)。负功减少正功增加(2)对于A、B组成的系统，由静止释放后：系统机械能_(选填“守恒”或“不守恒”)。整体加速度大小为，绳子的拉力为。时间t内下落的高度为,此时A、B速度的大小为。守恒【解析】选C。在A下降的过程中，拉力对A做负功，对B做正功，A的机械能减小，B的机械能增大，A、B系统的机械能守恒，所以A、B错误。释放后，A、B物体都做初速度为零的匀加速直线运动。由牛顿第二定律得2mg-mg=3ma，故加速度t时间内A物体下降高度为绳子拉力大小为拉力对A物体所做负功为A物体机械能减少C对。下落时间t时，B物体的运动速度为拉力功率大小为D错。【总结提升】应用机械能守恒定律
8、解题时的三点注意(1)注意研究对象的选取：研究对象的选取是解题的首要环节,有的问题选单个物体(实为一个物体与地球组成的系统)为研究对象机械能不守恒,但选此物体与其他几个物体组成的系统为研究对象,机械能却是守恒的。如该例题中，A或B机械能不守恒，但A、B组成的系统机械能守恒。(2)注意研究过程的选取：有些问题研究对象的运动过程分几个阶段,有的阶段机械能守恒,而有的阶段机械能不守恒。因此，在应用机械能守恒定律解题时要注意过程的选取。(3)注意机械能守恒表达式的选取：守恒观点的表达式适用于单个或多个物体机械能守恒的问题，解题时必须选取参考平面。而后两种表达式都是从“转化”和“转移”的角度来反映机械能
9、守恒的，不必选取参考平面。【变式训练】(多选)(2013长春二模)如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，通过轻绳连接在一起，跨过光滑的定滑轮，圆环套在光滑的竖直杆上，设杆足够长。开始时连接圆环的绳处于水平，长度为l，现从静止释放圆环。不计定滑轮和空气的阻力，以下说法正确的是()A.当M=2m时，l越大，则圆环m下降的最大高度h越大B.当M=2m时，l越大，则圆环m下降的最大高度h越小C.当M=m时，且l确定，则圆环m下降过程中速度先增大后减小到零D.当M=m时，且l确定，则圆环m下降过程中速度一直增大【解析】选A、D。由系统机械能守恒可得mgh=当M=2m时，所以A选项正确；当M=m时
10、，对圆环受力分析如图，可知故圆环在下降过程中系统的重力势能一直在减少，则系统的动能一直在增加，所以D选项正确。【变式备选】如图所示，一玩滚轴溜冰的小孩(可视作质点)质量为m=30 kg，他在左侧平台上滑行一段距离后做平抛运动，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑，A、B为圆弧两端点，其连线水平。已知圆弧半径为R=1.0 m，对应圆心角为=106，平台与AB连线的高度差为h=0.8 m(计算中取g=10 m/s2，sin53=0.8，cos53=0.6)求：(1)小孩做平抛运动的初速度；(2)小孩运动到圆弧轨道最低点O时对轨道的压力。【解析】(1)由于小孩无碰撞进入圆弧
11、轨道，即小孩落到A点时速度方向沿A点切线方向，则tan=又由得t=0.4 s，而vy=gt=4 m/s，解得v0=3 m/s。(2)设小孩到最低点的速度为v3，由机械能守恒得在最低点，根据牛顿第二定律，有代入数据解得FN=1 290 N，由牛顿第三定律可知，小孩对轨道的压力为1 290 N。答案：(1)3 m/s (2)1 290 N热点考向2 功能关系的综合应用【典例2】(12分)(2013南昌一模)某人通过定滑轮将一物体提升。第一次，此人竖直向下拉绳，如图甲所示，使物体匀速上升高度h，该过程人对物体做功为W1。第二次，此人以速度v匀速向左拉着绳运动，如图乙所示，使物体上升相同的高度，此时绳
12、子与水平面夹角为，已知重力加速度为g。求第二次人对物体做的功。【解题探究】(1)第一次拉升物体，动能_，重力势能_，故拉力做的功等于_。(2)第二次拉升物体，当人的速度为v时，物体的速度大小也是v吗？为什么？提示：物体的速度大小不是v。对人拉绳的末端速度分解如图所示，此时物体的速度为v,故v=vcos。不变增加物体重力势能的增加量【解析】设物体的质量为m，第一次人做的功为W1=mgh (3分)第二次物体升高h时的速度为v=vcos (3分)第二次人对物体做的功为 (3分)解得(3分)答案：【总结提升】解决功能关系问题应该注意的三个方面(1)分清是什么力做功，并且分析该力做正功还是做负功；根据功
13、能之间的对应关系，判定能的转化形式，确定能量之间的转化情况。(2)也可以根据能量之间的转化情况，确定是什么力做功，尤其可以方便计算变力做功的多少。(3)功能关系反映了做功和能量转化之间的对应关系，功是能量转化的量度和原因，在不同问题中的具体表现不同。【变式训练】(多选)(2013玉林一模)升降机底板上放有一质量为100 kg的物体，物体随升降机由静止开始竖直向上移动5 m时速度达到4 m/s，则此过程中(g取10 m/s2)()A.升降机对物体做功5 800 JB.合外力对物体做功5 800 JC.物体的重力势能增加5 000 JD.物体的机械能增加5 000 J【解析】选A、C。物体重力势能
14、的增加量Ep=mgh=100105 J=5 000 J,故C正确。动能的增加量Ek=10042 J=800 J,机械能的增加量E=Ep+Ek=5 800 J，故D错误。由功能关系知，升降机对物体做功WF=E=5 800 J，故A正确。合外力对物体做功W合=Ek=800 J，故B错误。热点考向3 机械能守恒定律与力学规律的综合应用【典例3】(14分)(2013南京一模)光滑水平面上有质量为M、高度为h的光滑斜面体A，斜面顶部有质量为m的小物体B，开始时都处于静止状态。从某时刻开始释放物体B，在B沿斜面下滑的同时斜面体A沿水平方向向左做匀加速运动。经过时间t，斜面体水平移动s，小物体B刚好滑到底端
15、。(1)求运动过程中斜面体A所受的合力FA；(2)分析小物体B做何种运动，并说明理由；(3)求小物体B到达斜面体A底端时的速度vB的大小。【解题探究】(1)斜面体A所受合力FA的求解：研究对象：_。物理学方程。a.s=。b.F合=_。光滑斜面体AMa(2)物体B运动性质的判断：物体B的运动性质：_。判断依据是什么？提示：物体A做匀加速直线运动，故B对A的作用力恒定，由牛顿第三定律知，A对B的作用力是恒力，又由于B受到的重力也是恒力，故B受到的合力是恒力，又由于B的初速度为零，故B做匀加速直线运动。匀加速直线运动(3)在求解小物体B到达斜面体A底端时的速度vB时如何选取研究对象？请写出该过程机械
16、能守恒的表达式。提示：选A、B组成的系统为研究对象，机械能守恒方程为【解析】(1)对A，在匀加速运动过程中(2分)由牛顿第二定律得FA=Ma (2分)由得(1分)(2)物体B做匀加速直线运动。因为A做匀加速运动，B对A的作用力一定，由牛顿第三定律知，A对B的作用力也一定，B受到的重力也是恒力，所以B受到的合力是恒力，又由于B的初速度为零，故B做匀加速运动。(4分)(3)对A、B组成的系统，由机械能守恒定律得 (2分)(2分)由得(1分)答案：(1)(2)见解析(3)【拓展延伸】在该题中，(1)若斜面体A斜面的倾角为，则B对A作用力FBA的大小是多少？提示：由第(1)问求得A所受的合力 对A进行
17、受力分析如图FBAsin=FA 由得(2)B的机械能减少了多少？提示：B的动能增加，重力势能减少，故B的机械能减少了EB减【总结提升】解决机械能守恒综合题目的一般方法(1)对物体进行运动过程的分析，分析每一运动过程的运动规律。(2)对物体进行每一过程中的受力分析，确定有哪些力做功，有哪些力不做功，哪一过程中满足机械能守恒定律的条件。(3)分析物体的运动状态，根据机械能守恒定律及有关的力学规律列方程求解。【变式训练】(多选)(2013钦州一模)如图所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体A、B的质量分别为m、2m。开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长，且A与地面的距离为h
18、，物体B静止在地面上。放手后物体A下落，与地面即将接触时速度为v，此时物体B对地面恰好无压力。若在物体A下落的过程中，弹簧始终处在弹性限度内，则A接触地面前的瞬间()A.物体A的加速度大小为g，方向竖直向下B.弹簧的弹性势能等于C.物体B有向上的加速度D.弹簧对物体A拉力的瞬时功率大小为2mgv【解析】选B、D。当A即将接触地面时，物体B对地面无压力，对B受力分析可知，细绳拉力等于轻弹簧弹力F=2mg，选项C错误；然后对A受力分析可得：F-mg=ma，可得a=g,方向竖直向上，选项A错误；A下落过程中，A与弹簧整体机械能守恒，可得弹簧的弹性势能选项B正确；拉力的瞬时功率为P=Fv=2mgv，选
19、项D正确。1.(2013沈阳一模)如果一个物体在运动的过程中克服重力做了80 J的功，则()A.物体的重力势能一定增加80 JB.物体的机械能一定增加80 JC.物体的动能一定减少80 JD.物体的机械能一定减少80 J【解析】选A。物体重力势能的改变量由重力做功决定，克服重力做了80 J的功，即重力做了80 J的负功，重力势能增加80 J，A正确。机械能的变化量由除重力之外的力做功决定，动能的变化量由合外力做功决定，由于本题除重力之外的力未知，故B、C、D均错。2.(多选)(2013盐城一模)如图所示，离水平地面一定高处水平固定一内壁光滑的圆筒，筒内固定一轻质弹簧，弹簧处于自然长度。现将一小
20、球从地面以某一初速度斜向上抛出，刚好能水平进入圆筒中，不计空气阻力。下列说法中正确的是()A.弹簧获得的最大弹性势能小于小球抛出时的动能B.小球从抛出到将弹簧压缩到最短的过程中小球的机械能守恒C.小球抛出的初速度大小仅与圆筒离地面的高度有关D.小球从抛出点运动到圆筒口的时间与小球抛出时的角度无关【解析】选A、D。小球从抛出到弹簧压缩到最短的过程中，只有重力和弹力做功，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，即所以EpEk0，故A对、B错。运用逆向思维分析小球的斜上抛过程，即分析小球的平抛运动。设平抛时的初速度为v1,则由机械能守恒得故v0与v1、h有关,C错。在竖直方向t与h有关,D对。3.(2013
21、西安一模)如图所示，用轻弹簧将质量均为m=1 kg的物块A和B连接起来，将它们固定在空中，弹簧处于原长状态，A距地面的高度h1=0.90 m。同时释放两物块，A与地面碰撞后速度立即变为零，由于B压缩弹簧后被反弹，使A刚好能离开地面(但不继续上升)。若将B物块换为质量为2m的物块C(图中未画出)，仍将它与A固定在空中且弹簧处于原长，从A距地面的高度为h2处同时释放，C压缩弹簧被反弹后，A也刚好能离开地面，已知弹簧的劲度系数k=100 N/m，求h2的大小。【解析】设A物块落地时，B物块的速度为v1,则有：设A刚好离地时，弹簧的形变量为x,对A物块有：mg=kx从A落地后到A刚好离开地面的过程中，
22、A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，则有：换成C后，设A落地时，C的速度为v2，则有：从A落地后到A刚好离开地面的过程中，A、C及弹簧组成的系统机械能守恒，则有：联立解得：h2=0.5 m。答案：0.5 m4.如图所示,将一质量为m=0.1 kg的小球自水平平台右端O点以初速度v0水平抛出,小球飞离平台后由A点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC,并沿轨道恰好通过最高点C,圆轨道ABC的形状为半径R=2.5 m的圆截去了左上角127的圆弧,CB为其竖直直径(sin53=0.8,cos53=0.6,重力加速度g取10 m/s2)。求:(1)小球经过C点的速度大小;(2)小球运动到轨道最低点B时小球对轨道
23、的压力大小;(3)平台末端O点到A点的竖直高度H。【解析】(1)小球沿轨道恰好通过最高点C,仅由重力提供向心力,即解得vC=5 m/s。(2)从B点到C点,取B点为参考面,由机械能守恒定律得在B点对小球受力分析,由牛顿第二定律得解得FN=6.0 N。据牛顿第三定律,小球对轨道的压力大小也为6.0 N。(3)从A点到B点,取B点为参考面,由机械能守恒定律得解得在A点进行速度的分解有vy=vAsin53所以答案:(1)5 m/s (2)6.0 N (3)3.36 m七力学综合问题的规范求解【案例剖析】(18分)(2013牡丹江一模)如图所示，x轴与水平传送带重合，坐标原点O在传送带的左端，传送带长
24、L=8 m，匀速运动的速度v0=5 m/s。一质量m=1 kg 的小物块，轻轻放在传送带上xP=2 m的P点。小物块随传送带运动到Q点后冲上光滑斜面且刚好到达N点(小物块到达N点后被收集，不再滑下)。若小物块经过Q处无机械能损失，小物块与传送带间的动摩擦因数=0.5，重力加速度g=10 m/s2。求：(1)N点的纵坐标；(2)小物块在传送带上运动产生的热量；(3)若将小物块轻轻放在传送带上的某些位置，最终均能沿光滑斜面越过纵坐标yM=0.5 m的M点，求这些位置的横坐标范围。【审题】抓住信息，准确推断关键信息信息挖掘题干轻轻放在传送带上小物块初速度为零冲上光滑斜面且刚好到达N点斜面上没有摩擦力
25、,vN=0小物块与传送带间的动摩擦因数=0.5考虑小物块在传送带上的摩擦力问题在传送带上运动产生的热量该热量为摩擦生热横坐标范围可求刚好能越过M点的小物块的横坐标【破题】精准分析,无破不立(1)N点纵坐标yN的求解。小物块在传送带上是否一直加速，并说出判断依据：小物块先做_，然后与传送带一起做_；依据：小物块加速到v0=5 m/s时运动的位移x=2.5 m(L-xP)=6 m。小物块在Q点的速度为v0=_。匀加速运动匀速运动5 m/s小物块冲上光滑斜面的过程中满足何种规律，请写出物理学方程。提示：小物块冲上光滑斜面的过程中满足机械能守恒，物理学方程为(2)摩擦生热的计算公式为Q=_。(3)使小
26、物块能越过M点应具备什么条件？提示：应使小物块到达Q点时获得足够的动能，该动能由传送带做功提供。mgx相对【解题】规范步骤，水到渠成(1)小物块在传送带上做匀加速运动的加速度a=g=5 m/s2。(1分)小物块与传送带共速时，所用时间(2分)运动的位移(2分)故小物块与传送带共速后以v0=5 m/s的速度匀速运动到Q，然后冲上光滑斜面到达N点，由机械能守恒定律得(2分)解得yN=1.25 m (1分)(2)小物块在传送带上相对传送带滑动的位移x相对=v0t-x=2.5 m (2分)产生的热量Q=mgx相对=12.5 J (2分)(3)设在坐标为x1处轻轻将小物块放在传送带上，最终刚好能到达M点，由能量守恒得mg(L-x1)=mgyM (2分)代入数据解得x1=7 m (2分)故小物块在传送带上的位置横坐标范围0 x7 m (2分)答案：(1)1.25 m (2)12.5 J (3)0 x7 m【点题】突破瓶颈，稳拿满分(1)常见的思维障碍：在求小物块冲上斜面的初速度时，误认为小物块一直加速至Q处，错误求出在求摩擦生热时，误认为相对滑行的距离为L-xP=6 m，这样求忽视了相对静止的一段距离。(2)因解答不规范导致失分：将Q=mgx相对写成Q=mg(L-xP)，书写不规范而失分。坐标范围写成x7 m或0 x7，不够准确而失分。A组B组
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