1、选修4-5 不等式选讲第一节绝对值不等式1.绝对值不等式形式等号成立的条件定理|a+b|_ab0几个结论|a|-|b|_ab0且|a|b|a-b|_（a-c）（c-b）0|a+b+c|_a，b，c同号|a|+|b|a+b|a-c|+|c-b|a|+|b|+|c|2.绝对值不等式的解法（1）|x|a绝对值不等式的解法.(2)|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型绝对值不等式的解法.|ax+b|c_;|ax+b|c_.不等式a0a=0a0|x|a_x|-axax|xa或x-axR|x0R-cax+bcax+bc或ax+b-c3.平均值不等式（1）定理1：对任意实数a,b，有a2+b2_2
2、ab（此式当且仅当a=b时取“=”号）.（2）定理2：对任意两个_a,b，有_ （此式当且仅当_时取“=”号）.我们称为正数a与b的_，为正数a与b的_.可叙述为两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.正数算术平均值几何平均值a=b(3)定理3：对任意三个_a,b,c，有a3+b3+c33abc(此式当且仅当_时取“=”号).(4)定理4:对任意三个_a,b,c，有_ (此式当且仅当_时取“=”号).又可叙述为：三个正数的算术平均值_它们的几何平均值.正数a=b=c正数a=b=c不小于（5）一般地，对n个正数a1,a2,an（n2），有_ （此式当且仅当_时取“=”号）.又可叙述为：n个正
3、数的算术平均值_它们的几何平均值.（6）利用平均值不等式求最值对两个正实数x,y,a1=a2=an不小于如果它们的和S是定值，则当且仅当_时，它们的积P取得最_值；如果它们的积P是定值，则当且仅当_时，它们的和S取得最_值.x=y大x=y小判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）若ab,则一定有()（2）若则n1.()（3）|x-1|-|x-5|b|.()（5）函数的最小值是2.()【解析】(1)错误.当ab0时，有当ab0,b0）和函数f（x）=ax+1+1（a0且a1）的图像恒过同一个定点，求的最小值.（2）若0 x0,y0,且9x+y-xy=0,求x+y的最小值.【思路点拨
4、】（1）先由直线ax-by+2=0(a0,b0)和函数f（x）=ax+1+1恒过同一个定点，得出a,b所满足的等量关系，然后变形，构造出“和”或“积”为定值的形式.（2）可根据题目条件，变形构造出“和”或“积”为定值的形式，利用平均值不等式求解.（3）应将已知条件变形并建立与x+y的关系，然后再利用平均值不等式求解.【规范解答】（1）函数f（x）=ax+1+1的图像恒过定点(-1，2),代入ax-by+2=0，得（2）0 x0,f(x)=2x(3-x)=2x(3-x)当且仅当x=3-x,即时等号成立.函数f(x)=2x(3-x)的最大值为（3）方法一：x0,y0,9x+y-xy=0，9x+y=
5、xy,即当且仅当时，“”成立，又即x=4,y=12时，上式取等号.故当x=4,y=12时，x+y取最小值16.方法二：由9x+y-xy=0，得(x-1)(y-9)=9（定值）可知x1,y9.x+y=(x-1)+(y-9)+10当且仅当x-1=y-9=3,即x=4,y=12时，“”成立.故当x=4,y=12时，x+y取最小值16.【互动探究】若将本例题（3）中“y0”改为“y18”,其他条件保持不变，求x+y的最小值.【解析】9x+y-xy=0,方法一：设18y1y2,则y2y118,y2-y10,(y2-9)(y1-9)-90,f(y2)-f(y1)0,即f(y2)f(y1),f(y)在18，
6、+)上为增函数，f(y)min=f(18)=20.即x+y的最小值为20.方法二：y18,f(y)0,f(y)在18,+)上是增函数，f(y)minf(18)=20,即x+y的最小值为20.【拓展提升】利用平均值不等式求最值的一般步骤【变式备选】（2013渭南模拟）设实数a，b满足2a+b=9.(1)若|9-b|+|a|3，求a的取值范围.（2）若a，b0，且z=a2b，求z的最大值.【解析】(1)由2a+b=9,得9-b=2a，即|9-b|=2|a|，所以|9-b|+|a|3可化为3|a|3，即|a|1，解得-1a1，所以a的取值范围为-1a1.(2)因为a，b0，所以z=a2b=aab=3
7、3=27，当且仅当a=b=3时，等号成立，故z的最大值为27.考向 2绝对值不等式的解法【典例2】解下列不等式：(1)|4x+5|25.(2)|2x-1|2.【思路点拨】（1）（2）可利用绝对值的定义转化为不含绝对值的不等式求解.对（2）也可采用两边平方法求解.（3）可采用“零点分段法”，也可构造函数，利用分段函数的图像进行求解.【规范解答】（1）|4x+5|25,4x+525或4x+5-254x20或4x-30,x5或原不等式的解集为x|x5或.(2)方法一：|2x-1|2-3x解得原不等式的解集为方法二：|2x-1|2,解得x-3,x4；当时，（2x+1）+(x-4)2,解得-(2x+1)
8、+(x-4)2，解得x-7,x2的解集为（-,-7）(+).【互动探究】将本例题（3）的不等式改为“|2x+1|+|x-4|2”，试求该不等式的解集.【解析】当时，-(2x+1)+4-x2,当时，2x+1+4-x2，解得x-3,当x4时，2x+1+x-42，解得x4.综上可知不等式的解集为R.【拓展提升】用“零点分段法”解|x-a|+|x-b|c或|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的四个步骤（1）令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根.（2）将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间.（3）由所分区间去掉绝对值符号可得若干个不等式，解这些不等式，求出解集.（4）
9、取各个不等式解集的并集即原不等式的解集.【变式备选】解下列不等式.（1）（2）|x+3|+|x-3|8.【解析】（1）原不等式等价于不等式组解得x0且x1,原不等式的解集为x|x0且x1.（2）当x8,解得x-4,此时不等式的解集为x|x-4;当-3x8，此时不等式无解;当x3时，x+3+x-38，即x4,此时不等式的解集为x|x4.综上,不等式的解集为x|x4.考向 3含有参数的绝对值不等式的解法【典例3】（2012新课标全国卷）已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.（1）当a=-3时，求不等式f(x)3的解集.（2）若f(x)|x-4|的解集包含1，2，求a的取值范围.【思路点拨】（1
10、）将a=-3代入函数f(x)，然后通过零点分区间讨论不等式f(x)3的解集.（2）解不等式f(x)|x-4|的解集，由区间1，2是解集的子集确立a的取值范围.【规范解答】（1）当a=-3时，当x2时，由f(x)3，得-2x+53，解得x1.当2x3时，f(x)3无解.当x3时，由f(x)3，得2x-53，解得x4.综上所述：不等式f(x)3的解集为（-,14,+).(2)由f(x)|x-4|，得|x+a|+|x-2|x-4|即|x-4|-|x-2|x+a|，当x1,2时，|x-4|-|x-2|x+a|4-x-(2-x)|x+a|-2-ax2-a.由条件得-2-a1且2-a2，即-3a0.故满足
11、条件的a的取值范围为-3,0.【拓展提升】含有参数的不等式的解法若不等式中有两个或两个以上含有未知数的绝对值的项，一般采用数形结合法（包括几何法、图像法）和区间讨论法，数形结合法是根据绝对值意义在数轴上找对应满足题意的数，直接写出解集，或构造函数画出图像，由图像直接写出未知数的取值范围得出解集.区间讨论法是先求出每个含绝对值符号的代数值等于零时未知数的值.将这些值依次标在数轴上，这样数轴被分成若干个区间，这些区间内的不等式的解集的并集即为不等式的解集.分段讨论时，注意不要遗漏区间的端点.【变式训练】设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.(1)若a=-1，解不等式f(x)3.(2)如果对于xR
12、，f(x)2恒成立，求a的取值范围.【解析】（1）当a=-1时，f(x)=|x-1|+|x+1|，由f(x)3得|x-1|+|x+1|3，当x-1时，不等式化为1-x-1-x3,即-2x3,不等式组当-11时，不等式化为x-1+x+13,即2x3,不等式组的解集为综上得f(x)3的解集为(-,+).(2)若a=1,f(x)=2|x-1|，不满足条件;若a1，f(x)的最小值为a-1,所以对于xR，f(x)2恒成立的充要条件是|a-1|2，即a3或a-1,a的取值范围为（-,-13,+).考向 4 含绝对值不等式的恒成立问题【典例4】（1）若不等式|x+1|+|x-3|a的解集为R，求a的取值范
13、围.（2）（2013济宁模拟）不等式|x+3|-|x-1|a2-3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.【思路点拨】（1）求出|x+1|+|x-3|的取值范围，只要a小于|x+1|+|x-3|的最小值即可.（2）求出|x+3|-|x-1|的取值范围，只要使其最大值小于或等于a2-3a即可.【规范解答】（1）因为|x+1|+|x-3|表示数轴上的点P(x)与两定点A（-1），B（3）距离的和，即|x+1|+|x-3|=|PA|+|PB|.由绝对值的几何意义知，|PA|+|PB|的最小值为|AB|=4，无最大值，不等式|x+1|+|x-3|a的解集为R，a的取值范围为am的解集为，则f(x)m恒成立.【变式训练】（2013福州模拟）已知函数f(x)=log2(|x+1|+|x-2|-m).(1)当m=5时，求函数f(x)的定义域.(2)若关于x的不等式f(x)1的解集是R，求m的取值范围.【解析】（1）由题意|x+1|+|x-2|-50.令g(x)=|x+1|+|x-2|=解g(x)-50得x3或x3或x-2.(2)f(x)1,即log2(|x+1|+|x-2|-m)1=log22,即|x+1|+|x-2|-m2.由题意，不等式|x+1|+|x-2|-m2的解集是R，则m|x+1|+|x-2|-2在R上恒成立.而|x+1|+|x-2|-23-2=1，故m1.
