1、第二节参 数 方 程1.参数方程参数方程的概念一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x,y）都是某个变数t的函数，并且对于t取的每一个允许值，由这个方程组所确定的点P(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x,y之间关系的变数t叫作_，简称_.相对于参数方程，我们把直接用坐标（x,y）表示的曲线方程f(x，y)0叫作曲线的普通方程.参变数参数2.直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y-y0=tan(x-x0)(点斜式)x=_,y=_.（t为参数）圆(x-a)2+(y-b)2=r2x=_,y=_.（为参数）椭圆(ab0)x=_,y
2、=_.（为参数）x0+tcos y0+tsin a+rcos b+rsin acos bsin 3参数方程与普通方程普通方程与参数方程普通方程用_直接表示点的坐标之间的关系；参数方程是借助于_间接地反映点的坐标之间的关系.代数式参数判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）曲线的参数方程中的参数都有实际意义.()（2）参数方程与普通方程互化后表示的曲线是一致的.()（3）圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的几何意义相同.()（4）普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一.()【解析】（1）错误.曲线的参数方程中的参数，可以具有物理意义，可以具有几何意义，也可以没有明显的
3、实际意义.（2）错误.把普通方程化为参数方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致.（3）错误.圆的参数方程中的参数表示半径的旋转角，而椭圆的参数方程中的参数表示对应的大圆或小圆半径的旋转角，即离心角.（4）正确.用参数方程解决转迹问题，若选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式就不同.答案：（1）（2）（3）（4）考向 1参数方程与普通方程的互化【典例1】已知参数方程：(1)若t为常数，为参数，判断方程表示什么曲线？(2)若为常数，t为参数，方程表示什么曲线？【思路点拨】将参数方程消去参数化为普通方程F(x,y)=0，再判断曲线形状.【规范解答】(1)当t1
4、时，由得由得它表示中心在原点，长轴长为短轴长为焦点在x轴上的椭圆；当t=1时，y=0，x=2sin,x2,2,它表示在x轴上2,2的线段.(2)当时，由得由得平方相减得即它表示中心在原点，实轴长为4|sin|，虚轴长为4|cos|，焦点在x轴上的双曲线；当=k(kZ)时，x=0，它表示y轴；当时，y=0，由于当t0时，当t0时，于是|x|2.方程y=0（|x|2）表示x轴上以（2，0）和（2，0）为端点的向左和向右的两条射线【拓展提升】将参数方程化为普通方程时消参的常用方法(1)代入法:先由一个方程求出参数表达式(用直角坐标变量表示）,再代入另一方程.(2)利用代数或三角函数中的恒等式消参.【
5、变式训练】已知椭圆方程为写出参数方程.【解析】即为所求参数方程.考向 2 圆的参数方程与应用【典例2】已知直线的极坐标方程为圆M的参数方程为（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程.（2）求圆M上的点到直线的距离的最小值.【思路点拨】（1）利用三角函数恒等式化简后得到直线的直角坐标方程.（2）利用直线与圆的位置关系以及几何性质计算最小值.【规范解答】（1）sin+cos=1，所以直线的直角坐标方程为x+y-1=0.（2）圆M的普通方程为x2+(y+2)2=4，圆心M(0,-2)到直线x+y-1=0的距离所以直线与圆相离，圆M上的点到直线的距离的最小值为【拓展提升】直线与圆的位置关系（1）设圆的
6、半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆的普通方程联立所得的一元二次方程的根的判别式为，则（2）当直线与圆相离时，圆上的点到直线的距离的最大值为d+r，最小值为d-r.位置关系几何性质判别式相交dr0相切d=r=0相离dr0【提醒】判断直线与圆的位置关系有几何法和解析法（即判别式法）两种，解题时要灵活选取不同的方法.【变式训练】已知圆的方程为x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程.【解析】把x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程为:(x+1)2+(y-3)2=1.参数方程为考向 3 极坐标方程与参数方程的综合题【典例3】（2012辽宁高考）在直角坐标系xOy中，圆C1:x2+y2
7、=4，圆C2:(x-2)2+y2=4.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1,C2的极坐标方程，并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示).(2)求出C1与C2的公共弦的参数方程.【思路点拨】（1）由公式求得极坐标方程，再将极坐标方程联立方程组求交点坐标.（2）将两圆交点的极坐标化为直角坐标，再求公共弦的参数方程.【规范解答】(1)由公式得x2+y2=2，所以圆C1:x2+y2=4的极坐标方程为=2，圆C2:(x-2)2+y2=4的极坐标方程为=4cos.解所以圆C1,C2的交点的极坐标为(2)由（1）知，圆C1,C2的交点的直角坐标为所以圆C1,C2的公共弦的参数
8、方程为【拓展提升】圆与圆的位置关系以及应用(1)两圆的位置关系以及意义（两圆的半径分别为R,r，且Rr,d为圆心距）位置图形几何性质交点个数外离dR+r0个外切d=R-r1个位置图形几何性质交点个数相交R-rdR+r2个内切d=R-r1个内含dR-r0个(2)若圆C1与圆C2外离，圆心距为d,两圆的半径分别为R1,R2，动点A在圆C1上，动点B在圆C2上，则A，B之间距离的最小值为d-R1-R2，最大值为d+R1+R2.(3)若两圆相交，则公共弦所在直线的方程可直接由两圆的直角坐标方程相减得到.【变式训练】（1）（2012湖南师大附中模拟）在极坐标系中，圆C1的方程为以极点为坐标原点，极轴为x
9、轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为若圆C1与圆C2外切，求实数a的值.（2）(2012湖北高考改编)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线与曲线相交于A，B两点，求线段AB的中点的直角坐标.【解析】(1)圆C1的方程化为即x2+y2-4x-4y=0，其圆心C1（2,2），半径圆C2的参数方程化为普通方程为(x+1)2+(y+1)2=a2，其圆心C2（-1,-1），半径r2=|a|，因为两圆外切，所以（2）射线在直角坐标系下的直角坐标方程为y=x(x0)，将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程为y=(t-1)2=(x-1-1)2=（x-2）2，表示一条抛物线，联立上面两个方程，消去y有x2-5x+4=0，设A,B两点及其中点的横坐标分别为xA,xB,x0，则由根与系数的关系，得又由于中点在直线y=x上，因此AB的中点坐标为
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