1、第七节双 曲 线1.双曲线的定义平面内的动点M与两定点F1,F2_=2a (a为正常数)2a _0，b0)_(a0，b0)性质对称性对称轴：_对称中心：_对称轴：_对称中心：_范围_顶点顶点坐标：A1_,A2 _顶点坐标：A1_,A2_渐近线_坐标轴原点坐标轴原点xa或x-ay-a或ya(-a,0)(a,0)(0，-a)(0，a)性质离心率e=_,e(1,+)a,b,c的关系_实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|=_；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|=_；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长2a2b判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1
2、）平面内到点F1(0，4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的集合是双曲线.()（2）平面内到点F1（0，4）,F2（0，-4）距离之差的绝对值等于8的点的集合是双曲线.()（3）方程（mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()（4）双曲线方程（m0,n0,0）的渐近线方程是即()（5）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()（6）若双曲线(a0,b0)的离心率分别是e1,e2,则（此结论中两条双曲线为共轭双曲线）.()【解析】（1）错误.由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.（2）错误.因为|MF1|-|MF2|=8=|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.（3）错误.当m0,
3、n0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m0,n0,b0)的渐近线方程为 当0时，的渐近线方程为即同理当0)的渐近线方程为x2-y2=0即y=x，显然两直线互相垂直，其实轴、虚轴长均为2a,（6）正确.双曲线(a0,b0)的离心率同理答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)1.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0)，动点M满足|MA|-|MB|=6，则点M的轨迹方程是()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.由|MA|-|MB|=6，且60,b0)的离心率e=2,且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为_.【解析】由已知c=2a.又一个顶点到相应焦点的距离为1，即c-a=1.由
4、得a=1,c=2,b2=c2-a2=4-1=3,双曲线C的方程为答案：考向 1 双曲线的定义【典例1】（1）（2012辽宁高考）已知双曲线x2-y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|+|PF2|的值为_.（2）（2013宝鸡模拟）已知定点A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一个焦点F的轨迹方程.【思路点拨】（1）解题关键是根据双曲线的定义及勾股定理构建关于|PF1|,|PF2|的方程，进而求解.（2）先根据椭圆的定义得出动点F满足的等式，再根据三定点间关系，探究出动点F与两定点A，B的差为常数，从而用定
5、义法求轨迹方程.【规范解答】（1）不妨设|PF1|PF2|.由双曲线方程x2-y2=1知a=b=1，c=，由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=2 由已知条件PF1PF2及勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=8 上述两式联立，解得|PF1|=+1,|PF2|=-1,故|PF1|+|PF2|=2 .答案：2（2）由椭圆的定义知:|AC|+|AF|=|BC|+|BF|，又因为A(0,7),B(0,-7),C(12,2),所以|AC|=13,|BC|=15,因此|AF|-|BF|=2,所以F的轨迹是双曲线的一支，其中c=7,a=1,b2=48,因此所求轨迹方程为：
6、【互动探究】本例题（1）中“PF1PF2”改为“F1PF2=60”，结果如何？【解析】不妨设|PF1|PF2|，由双曲线方程x2-y2=1,知a=b=1,由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=2,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4 又F1PF2=60,由余弦定理得：|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=|F1F2|2=(2c)2=8 -得|PF1|PF2|=4 代入得：|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1|PF2|=4+24=12.|PF1|+|PF2|=【拓展提升】1.“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧（1）常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、
7、余弦定理、双曲线的定义经常使用.（2）技巧：经常结合|PF1|-|PF2|2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|PF2|的联系.2.利用双曲线定义求点的轨迹方程的注意点特别注意条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整个双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，并且要在其方程中准确限定变量x(y)的范围.【变式备选】过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ交左支于P，Q两点，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长为_.【解析】因为x2-y2=8，所以2a=由题设及双曲线的定义得:|PF2|-|PF1|=|QF2|-|QF1|=所以|PF2|+|QF2|-|PF1|-|QF
8、1|=即|PF2|+|QF2|-|PQ|=又因为|PQ|=7，所以|PF2|+|QF2|=7+因此,PF2Q的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|=14+答案：14+考向 2双曲线的标准方程和简单性质【典例2】（1）（2012湖南高考）已知双曲线C：(a0,b0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()(A)(B)(C)(D)（2）（2012浙江高考改编）如图，F1,F2分别是双曲线C：(a0,b0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是_.【思路点拨】（1
9、）利用待定系数法.先根据双曲线的几何性质，由焦距为10，求出c=5,再将P(2,1)代入渐近线方程，得a=2b，从而由a2+b2=c2，求出a，b，得方程.（2）利用双曲线的简单性质，结合图形的特征，通过求PQ的中点，再由|MF2|=|F1F2|构建关于a,b,c的方程，进而求解.【规范解答】（1）选A.的焦距为10，又双曲线渐近线方程为且P(2,1)在渐近线上，=1，即a=2b 由解得a=2 ，b=，所以方程为（2）设双曲线的焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0);B(0,b),点F1，B所在直线为双曲线渐近线方程为由得Q()，由得P(),线段PQ的中点坐标为().由a2+b2=c2得，
10、线段PQ的中点坐标可化为()，直线F1B的斜率为线段PQ的垂直平分线为令y=0，得由|MF2|=|F1F2|得答案：【拓展提升】1.利用待定系数法求双曲线方程的三种常见类型及相应技巧(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2+By2=1(AB 0)，这种形式在解题时更简便.(2)当已知双曲线的渐近线方程bxay=0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为 b2x2-a2y2=(0)，再根据其他条件确定的值.(3)与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程可设为（0），再根据其他条件确定的值.2.双曲线的简单性质的三大关注点（1）“六点”:两焦点、
11、两顶点、两虚轴端点.（2）“四线”：两对称轴（实、虚轴），两渐近线.（3）“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点（不包括顶点）与两焦点构成的焦点三角形.3.双曲线的离心率与渐近线斜率的关系(1)已知双曲线的离心率e求渐近线方程时要注意及判断焦点的位置.(2)已知渐近线方程y=mx(m0)求离心率时，当焦点不确定时，因此离心率有两种可能.【提醒】双曲线中a，b，c之间的关系为c2=a2+b2,不要和椭圆之间的关系混淆.【变式训练】已知双曲线的渐近线方程为2x3y=0.（1）求该双曲线的离心率.（2）若双曲线经过点P（），求双曲线的方程.【解析】（1）当焦点在x轴上时，所以当焦
12、点在y轴上时，所以即双曲线的离心率为或.（2）由双曲线的渐近线方程为2x3y=0,可设双曲线方程为4x2-9y2=(0).双曲线过点P(),46-94=,=-12,故所求双曲线方程为4x2-9y2=-12,即考向 3双曲线与直线、其他圆锥曲线的综合【典例3】（1）（2013景德镇模拟）设离心率为e的双曲线C：（a0，b0）的右焦点为F，直线l过焦点F且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是()(A)k2-e21 (B)k2-e21(C)e2-k21 (D)e2-k21（2）（2013蚌埠模拟）已知双曲线（a0,b0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，且双曲
13、线与椭圆：有相同的焦点，则该双曲线的标准方程为_.【思路点拨】（1）将直线l的方程与双曲线C的方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，只要保证其有相异的两实根即可求解.（2）先写出渐近线方程，利用其和圆相切，构建关于a,b的方程，再利用与椭圆有相同的焦点得c,从而得解.【规范解答】（1）选C.设双曲线C的右焦点为F（c，0），（其中c2=a2+b2），则直线l的方程为y=k（x-c），将其代入双曲线C的方程（a0，b0），并整理得（b2-a2k2）x2+2a2k2cx-a2（k2c2+b2）=0由已知直线l与双曲线C的左、右两支都相交，所以有b2-a2k20,且即：b2-a2k20，又b2=
14、c2-a2，所以有c2-a2-a2k20，即：c2（1+k2）a2，e21+k2，得：e2-k21.（2）圆C：x2+y2-6x+5=0可化为：(x-3)2+y2=4.所以其圆心C(3,0),半径r=2,双曲线的渐近线方程是：bxay=0,又渐近线与圆相切，所以 又椭圆的焦点为(-3,0),(3,0),双曲线的焦点为(-3,0),(3,0),即a2+b2=c2=9 由得b=2,c=3,a2=5.双曲线的标准方程为：答案：【拓展提升】1.解决简单直线与双曲线位置关系问题的方法及相应的技巧（1）通法：将直线l的方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0）代入双曲线E的方程F（x,y)=0，消去y（也
15、可以消去x）得到一个关于变量x（或变量y）的一元二次方程.解此方程或利用根与系数的关系整体代入的思想解题.（2）点差法：在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问题时，常把直线与圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线方程，作差后结合已知条件进行转化求解.【提醒】利用点差法时，对求出的结果要验证其是否满足相交的要求，即0.2.解决双曲线与圆、椭圆、双曲线交汇问题的两大策略（1）以图助解，数形结合.（2）各个击破.【变式训练】(2013陕西师大附中模拟)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0）是E的一个焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且A与B的中点为N(-12，-15），则E的方程为()(A)(B)(
16、C)(D)【解析】选B.方法一：设双曲线的方程为(a0,b0)，由题意知直线l的斜率为可知直线l的方程为y=x-3.联立方程得整理得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=又A与B中点N（-12,-15）,=-24,5a2=4b2,又c=3,a2+b2=9,可得a2=4,b2=5.故双曲线的方程为方法二：设双曲线的方程为(a0,b0)，由题意知c=3,a2+b2=9，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有：两式作差得：又直线AB的斜率是所以4b2=5a2，将4b2=5a2与a2+b2=9联立，解得a2=4,b2=5，所以双曲线
17、的方程为【易错误区】忽略讨论双曲线的焦点位置致误【典例】（2013淮南模拟）已知双曲线(mn0)的一条渐近线方程为则该双曲线的离心率e为_.【误区警示】本题易出现的错误是误认为焦点在x轴上，不讨论焦点位置而丢解.【规范解答】当m0,n0时，当m0，n0)的两顶点为A1,A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A,B,C,D.则（1）双曲线的离心率e=_.（2）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=_.【解析】（1）如题干图：化简得：c4-3a2c2+a4=0，即e4-3e2+1=0，又e1,则（2）由
18、题意知：S1=2bc,在OF2B2中连接OA,则AF2=b，矩形ABCD边长答案：1.如图1所示，一平面曲边四边形ABCD中，曲边BC是某双曲线的一部分，该双曲线的虚轴所在直线为l，边AD在直线l上，四边形ABCD绕直线l旋转得到一个几何体.若该几何体的三视图及其部分尺寸如图2所示，其中俯视图中小圆的半径为1，则该双曲线的离心率是()(A)3 (B)4 (C)(D)2【解析】选D.由题意，不妨设双曲线方程为（a0，b0），则根据三视图可得a=1，（2，3）在双曲线上，代入双曲线方程可得b2=3，c2=a2+b2=4，c=2，双曲线的离心率是故选D.2.以双曲线(a0,b0)的左焦点F为圆心，作半径为b的圆F，则圆F与双曲线的渐近线()(A)相交(B)相离(C)相切(D)不确定【解析】选C.由已知双曲线的左焦点F为()，渐近线方程为即bxay=0.圆心F到渐近线的距离又圆F的半径为b,所以圆F与双曲线的渐近线相切.3.已知双曲线(a0,b0)的焦距为一条渐近线平分圆x2+y2-4x+2y=0，则双曲线的标准方程为_.【解析】由已知2c=c=又渐近线bx+ay=0过圆(x-2)2+(y+1)2=5的圆心(2,-1).有2b-a=0,即a=2b.又a2+b2=5,即(2b)2+b2=5,解得b=1,a=2,所以双曲线的标准方程为答案：
