1、第二节两条直线的位置关系1.两条直线的平行、垂直与其斜率大小间的关系（1）两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2，则有l1l2_；当直线l1,l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为_.k1=k2平行（2）两条直线垂直如果两条直线l1,l2的斜率存在，设为k1,k2，则l1l2_；如果l1,l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为_.k1k2=-1垂直2.两条直线的交点3.三种距离点A（x1,y1）,B(x2,y2)之间的距离|AB|=_点P(x0，y0)到直l:Ax+By+C=0的距离d=_两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By
2、+C2=0间的距离d=_判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1=k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于-1.()（3）若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交.()（4）点P（x0,y0）到直线y=kx+b的距离为()（5）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()（6）若点A，B关于直线l:y=kx+b(k0)对称，则直线AB的斜率等于且线段AB的中点在直线l上.()【解析】（1）错误.当k1=k2时，l1与l2可能重合.（2）错误.如果两条直线l1,l2中的一条与x轴平行（或
3、重合），另一条与x轴垂直（也即与y轴平行或重合），即两条直线中一条的倾斜角为0，另一条的倾斜角为90，从而一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，但这两条直线互相垂直.（3）错误，当方程组有唯一解时两条直线相交，若方程组有无穷多个解，则两条直线重合.（4）错误，应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式，即本问题的距离为（5）正确，因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长，即点到直线的距离.（6）正确，因为线段AB被直线l垂直平分.答案：(1)(2)（3）（4）（5）（6）1.已知点(a,2)（a0）到直线l：x-y+3=0的距离为1，则a等于()【解析】选C.由且a0，得2.若三
4、条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点，则点（m,n）可能是()（A）（1，-3）（B）（3，-1）（C）（-3，1）（D）（-1，3）【解析】选A.m+2n+5=0，点（m,n）可能是（1，-3）.3.点（a,b）关于直线x+y+1=0的对称点是()（A）（-a-1,-b-1）（B）(-b-1,-a-1)（C）(-a,-b)（D）(-b,-a)【解析】选B.设对称点为（x,y），则解得：x=-b-1，y=-a-1.4.已知A(a,-5)，B(0,10)，|AB|=17，则a=_.【解析】依题设及两点间的距离公式得：解得a=8.答案：85.直线l的倾斜角为30，若直线l1l
5、，则直线l1的斜率k1=_；若直线l2l,则直线l2的斜率k2=_.【解析】由直线斜率的定义知，直线l的斜率l1l，k1=k=l2l,k2k=-1,答案：6.平行线l1：3x-2y-5=0与l2:之间的距离为_.【解析】直线l2可化为：由平行线间的距离公式得：答案：考向 1两条直线平行、垂直的关系【典例1】（1）（2012浙江高考）设aR,则“a=1”是“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行”的()（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（2）（2013宝鸡模拟）已知直线l1:(k-3)x+(5-k)y+1=0与直线l
6、2:2(k-3)x-2y+3=0垂直，则k的值是()(A)1或3 (B)1或5(C)1或4 (D)1或2（3）已知A（-4，3），B（2，5），C（6，3），D（-3，0）四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状.【思路点拨】（1）先求出两条直线平行的条件，再判断a=1能否保证l1l2.（2）根据两直线垂直的条件构建关于k的方程求解.(3)分别求出四边形ABCD四条边所在直线的斜率，再分别验证对边是否平行，邻边是否垂直，进行判断.【规范解答】（1）选A.若两直线平行即l1l2，则a(a+1)-21=0,解得a=-2或a=1,而当a=1时，l1l2,所以“a=1”是“直线l1
7、与直线l2平行”的充分不必要条件.（2）选C.因为直线(k-3)x+(5-k)y+1=0和直线2(k-3)x-2y+3=0垂直，所以有2（k-3）2-2(5-k)=0，即k2-5k+4=0，解得k=1或4.（3）A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图：由斜率公式可得kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合，ABCD.由kADkBC,AD与BC不平行.又kABkAD=(-3)=-1,ABAD，故四边形ABCD为直角梯形.【拓展提升】两直线平行、垂直的两大类型及判断方法（1）已知两直线的斜率存在两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；两直线垂直两直线的斜率之积等于-1.（2）已知两直线
8、的一般方程可利用直线方程求出斜率，然后判断平行或垂直，或利用以下方法求解：直线方程l1:A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同时为0)l2:A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同时为0)l1与l2垂直的充要条件A1A2+B1B2=0直线方程l1:A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同时为0)l2:A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同时为0)l1与l2平行的充分条件l1与l2相交的充分条件l1与l2重合的充分条件【变式训练】（1）若直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线l的方程为_.【解析】方法一：直线2x-3y+4=0的斜率为设所求直线的斜率为k，所求直线与直线
9、2x-3y+4=0垂直，kk=-1,所求直线方程为即3x+2y-1=0.方法二：由已知,设所求直线l的方程为：3x+2y+C=0.又l过点(-1,2),3(-1)+22+C=0,得:C=-1,所以所求直线方程为3x+2y-1=0.答案：3x+2y-1=0（2）已知ABC的三个顶点坐标为A（2，4），B（1，-2），C（-2，3），则BC边上的高AD所在直线的斜率为_.【解析】又BCAD,答案：考向 2直线的交点【典例2】求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点，且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.【思路点拨】可先求出两条直线的交点坐标，再用点斜式求解；
10、也可用与直线垂直的直线系方程或过两条直线交点的直线系方程求解.【规范解答】解方程组得l1，l2的交点坐标为（-1，2），方法一：由l3的斜率求出l的斜率为于是由直线的点斜式方程求出l：即5x+3y-1=0.方法二：由于ll3，故l是直线系5x+3y+C=0中的一条，而l过l1，l2的交点（-1，2），故5(-1)+32+C=0，由此求出C=-1，故l的方程为5x+3y-1=0.方法三：由于l过l1，l2的交点，故l是直线系3x+2y-1+(5x+2y+1)=0中的一条，将其整理，得（3+5）x+（2+2）y+(-1+)=0.其斜率解得代入直线系方程即得l的方程为5x+3y-1=0.【拓展提升】
11、1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点.2.常见的三大直线系方程（1）与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0（mR且mC）.（2）与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0（mR）.（3）过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0（R），但不包括l2.【变式训练】（1）（2013黄山模拟）已知直线方程为(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0，求证：无论a为何实数值，直线必过定点，并求出该定
12、点的坐标.【解析】原方程可化为x-2y+5+a(2x+3y-18)=0，它表示过直线x-2y+5=0与直线2x+3y-18=0交点的直线系方程，无论a取何值它都过两直线的交点，所以直线过定点（3，4）.（2）当m为何值时，三条直线l1：4x+y-3=0，l2：x+y=0,l3：2x-3my-4=0能围成一个三角形?【解析】三条直线能围成三角形即三条直线两两相交且不共点.又因为l1：4x+y-3=0与l2：x+y=0的交点为(1,-1)，所以2+3m-40，解得当m=0时，l3:2x-4=0,l1:4x+y-3=0,l2:x+y=0,l1与l3的交点为(2,-5)，l1与l2的交点为(1,-1)
13、,l2与l3的交点为(2,-2)，能构成三角形，符合题意.综上可知：考向 3三种距离公式的应用【典例3】（1）（2013南昌模拟）在OAB中，O为坐标原点，A（1，cos），B(sin，1)，则OAB的面积的取值范围是()（2）圆C：x2+y2=4上的点到直线l:3x+4y-20=0距离的最大值为_.（3）已知直线l1:mx+8y+n=0与l2:2x+my-1=0互相平行，且l1,l2之间的距离为求直线l1的方程.【思路点拨】（1）利用两点间距离公式求出|OA|，再利用点到直线的距离公式求出点B到直线OA的距离d.则将SOAB表示成的函数再求范围.（2）利用几何性质，只需先求圆心到直线l的距离
14、，再加上半径即得.（3）先由l1l2,求出m的值，再根据l1,l2之间的距离为求出n的值，即得l1的方程.【规范解答】（1）选D.由两点间距离公式得又直线OA的斜率直线OA的方程为y=xcos，即xcos-y=0，点B（sin，1）到直线OA的距离（2）圆C：x2+y2=4的圆心（0，0）到直线l:3x+4y-20=0的距离直线l与圆C相离,最大值为4+2=6.答案：6（3）l1l2，当m=4时，直线l1的方程为4x+8y+n=0，把l2的方程写成4x+8y-2=0，解得n=-22或n=18.所以，所求直线的方程为2x+4y-11=0或2x+4y+9=0.当m=-4时，直线l1的方程为4x-8
15、y-n=0，l2的方程4x-8y-2=0，解得n=-18或n=22.所以，所求直线的方程为2x-4y+9=0或2x-4y-11=0.【互动探究】本例题（2）中圆C变为椭圆C：则最大值如何？【解析】设与l:3x+4y-20=0平行且与椭圆相切的直线l的方程为：3x+4y+c=0（c-20），消去y得关于x的一元二次方程为18x2+6cx+c2-144=0,=(6c)2-418(c2-144)=0，解得数形结合得最大距离为l:3x+4y-20=0与3x+4y =0间的距离，【拓展提升】三种距离的求法（1）两点间的距离利用两点间距离公式求解，即设点A(x1,y1),B(x2,y2)，特例：ABx轴时
16、，|AB|=|y1-y2|；ABy轴时，|AB|=|x1-x2|.（2）点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式.（3）两平行直线间的距离利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；利用两平行线间的距离公式.【提醒】应用两平行线间的距离公式求距离时,要注意两平行直线方程中x，y的系数必须相等.【变式备选】已知点A（2，-1），（1）求过点A且与原点距离为2的直线l的方程.（2）求过点A且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？（3）是否存在过点A且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.【解析
17、】（1）当斜率不存在时，直线l的方程为x=2，此时，原点到直线l的距离为2，符合题意；当斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k(x-2)，即kx-y-2k-1=0，由已知得解得此时直线l的方程为3x-4y-10=0,综上可知：直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.（2）过点A且与原点O距离最大的直线是过点A与AO垂直的直线，由lAO，得klkOA=-1，所以由直线的点斜式得y+1=2(x-2)，即2x-y-5=0，即直线2x-y-5=0是过点A且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是（3）不存在，理由：由（2）可知，过点A不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过点A且与原点距离为6的直
18、线.考向 4对称问题【典例4】已知直线l：2x-3y+1=0，点A(-1,-2).求：（1）点A关于直线l的对称点A的坐标.（2）直线z:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线z的方程.（3）直线l关于点A的对称直线l的方程.【思路点拨】（1）设出对称点A的坐标，利用线段AA被直线l垂直平分，构建方程组求解.（2）可设法找到z上两个点的坐标，再由两点式求出方程.（3）可设法找到两个点的坐标，即可求出直线l的方程.或利用对称性得ll，利用待定系数法求直线l的方程，也可在l上任取一点，利用该点关于点A的对称点在直线l上即可得出方程.【规范解答】（1）设对称点A的坐标为(m,n)，由已知可得（2）在
19、直线z上取一点，如B（2，0），则B关于l的对称点必在z上.设对称点为B（a,b）,得设z与l的交点为N，又z过N点，由两点式得直线z的方程为（3）方法一：在l：2x-3y+1=0上任取两点，如M（1，1），N（4，3）.则M，N关于点A的对称点M，N均在直线l上.易知M（-3，-5），N（-6，-7），由两点式可得l的方程为2x-3y-9=0.方法二：ll，可设l的方程为2x-3y+c=0(c1).点A到两直线的距离相等，由点到直线的距离公式得得c=-9，l的方程为2x-3y-9=0.方法三：设P（x,y）是l上任一点，则P（x,y）关于点A（-1，-2）的对称点为P（-2-x,-4-y）.
20、点P在直线l上，2（-2-x）-3(-4-y)+1=0.整理得2x-3y-9=0.l的方程为2x-3y-9=0.【拓展提升】1.中心对称问题的两种类型及求解方法（1）若点M（x1,y1）及N（x，y）关于P（a,b）对称，则由中点坐标公式得进而求解.（2）直线关于点的对称，主要求解方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；求出一个对称点，再利用l1l2，由点斜式得到所求直线方程.2.轴对称问题的两种类型及求解方法（1）点关于直线的对称：若两点P1（x1,y1）与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称，则线段P1P2的中点
21、在对称轴l上，而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标（x2,y2）（其中B0，x1x2）.（2）直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.【变式训练】在ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0,A的平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标.【解析】如图，A(-1,0).y=0是A的平分线，点B关于y=0的对称点B（1，-2）在直线AC上，直线AC的方程为即y=-x-1.又BC的方程为y-2=-2(x-1)，即y=-2x+4.点C
22、（5，-6）.综上，点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（5，-6）.【创新体验】“距离”创新问题【典例】（2013蚌埠模拟）已知点A（0，2），B（2，0）.若点C在函数y=x2的图像上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为()（A）4 （B）3 （C）2 （D）1【思路点拨】找准创新点使得ABC的面积为2的点C的个数寻找突破口（1）根据点C在y=x2的图像上，设出点C的坐标（t,t2）（2）根据SABC=2，利用点C到直线AB的距离公式，构建关于t的方程（3）将判断点C个数问题转化为判断关于t的方程解的个数问题求解【规范解答】选A.设点C(t,t2)，直线AB的方程是x+y-2=0，由于
23、ABC的面积为2，则这个三角形中AB边上的高h满足方程即由点到直线的距离公式得即|t2+t-2|=2，即t2+t-2=2或者t2+t-2=-2.因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个.【思考点评】1.方法感悟：本题充分体现了转化与化归思想和函数方程思想在解题中的应用，即通过转化将点C的个数问题转化为关于点C的横坐标方程解的个数问题求解，这种将“形”转化为“数”的思想方法值得我们仔细体会.2.技巧提升：对于“距离”类创新问题，常见的类型有求有关长度或三角形面积的最值问题，或知长度、三角形面积情况探究点的个数以及与圆位置有关的问题等，常用的思想方法有数形结合、转化与化归及函数与方
24、程思想.“距离”的创新问题虽然问法新颖，但考查的还是距离公式的应用，解题的关键是将所求问题转化为熟悉的问题求解.1.（2013马鞍山模拟）“”是直线l1:(m+2)x+3my+1=0与直线l2:(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直的()(A)充分必要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分又不必要条件【解析】选B.若两直线垂直，则（m+2）(m-2)+3m（m+2）=0，解得则可得l1l2，但:l1l2不一定有故选B.2.（2013西安模拟）若直线l与直线y=1和x-y-7=0分别交于点M，N，且MN的中点为P（1，-1），则直线l的斜率等于()【解析】选B.设l与y=
25、1交于点M（m,1），l与x-y-7=0交于点N（n+7，n）.由中点坐标公式得m=-2,n=-3，即M（-2，1），3.(2013渭南模拟)过点A（1，2）且与原点距离最大的直线方程为()（A）x+2y-5=0 （B）2x+y-4=0（C）x+3y-7=0 （D）3x+y-5=0【解析】选A.所求直线过点A且与OA垂直时满足条件，而kOA=2，故所求直线的斜率为所以所求直线方程为即x+2y-5=0.4.（2013合肥模拟）如图，已知A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()（A）（B）6（C
26、）（D）【解析】选A.由题意知点P关于直线AB的对称点为D（4，2），关于y轴的对称点为C（-2，0），则光线所经过的路程的长为故选A.5.（2013抚州模拟）已知(a0,b0)，则点（0,b）到直线x-2y-a=0的距离的最小值为_.【解析】点（0,b）到直线x-2y-a=0的距离为当a2=2b2且a+b=ab，即时取等号.答案：1.设曲线在点()处的切线与直线x+ay+1=0垂直.则a=()(A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2【解析】选B.切线斜率x+ay+1=0的斜率为-1，2.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0，已知a,b是方程x2+x+c=0的两个实根，且求这两条直线之间的距离的最大值和最小值.【解析】a,b是方程x2+x+c=0的两个实根，a+b=-1,ab=c,(a-b)2=(a+b)2-4ab=1-4c.又两直线间的距离两直线间的距离的最大值为最小值为
