1、第八节用向量讨论垂直与平行1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一_向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a,b是平面内两不共线向量,n为平面的法向量，则求法向量的方程组为_,_.非零na=0nb=02.利用向量的知识判定线线、线面、面面平行的方法(1)直线与直线平行的判定方法如果不重合的直线a和直线b的方向向量分别为a和b，则ab _.(2)直线与平面平行的判定方法如果平面外的直线a的方向向量为a，平面的法向量为n,则a _;a=ban=0如果平面外的直线a的方向向量为a,e1,e2是平面的一组基底(不共线的向量)，则a_;(3)平面与
2、平面平行的判定方法如果不重合的平面和平面的法向量分别为n1和n2，则_.a=1e1+2e2n1=n2判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)平面的单位法向量是唯一确定的.()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.()(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.()【解析】(1)错误.与直线平行的任意非零向量都是该直线的方向向量.(2)错误.由于法向量的方向不同，所以平面的单位法向量不唯一.(3)正确.由平面平行的转化定理可知.(4)正确.由直线平行的转化定理可知其逆否命题正确，根据等价命题可知.答案：(1)(2)(3)(4)1.若直线
3、l的方向向量为a=(1,0,2)，平面的法向量为u=(-2,0,-4),则()(A)l (B)l(C)l (D)l与斜交【解析】选B.a=(1,0,2),u=(-2,0,-4),u=-2a,即ua,l.2.若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是()(A)a(1,0,0)，n(2,0,0)(B)a(1,3,5)，n(1,0,1)(C)a(0,2,1)，n(1,0，1)(D)a(1，1,3)，n(0,3,1)【解析】选D.若l，则an=0.经验证知，D满足条件.3.若直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),则直线l1,l2的位置关系是_【解析】由ab
4、=2(-6)+49+(-4)6=0,得ab，从而l1l2答案：l1l24.若平面，的法向量分别为a=(-2,y,8),b=(-10,-1,-2),且，则y=_.【解析】,ab=0,即20-y-16=0,y=4.答案：45.若A(0,2,),B(1,-1,),C(-2,1,)是平面内的三点，设平面的法向量n=(x,y,z)，则xyz=_.【解析】由题知=(1，-3，)，=(-2,-1,).由得所以xyz=23(-4)答案：23(-4)考向1利用空间向量证明平行关系【典例1】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA12AB2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点.求证：CE平面
5、C1E1F.【思路点拨】要证明CE平面C1E1F，可证明向量与平面C1E1F的法向量垂直.【规范解答】以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设BC1，则C(0，1，0)，E(1，0，1)，C1(0，1，2)，F(1，1，1)，E1(1，2).设平面C1E1F的一个法向量n=(x,y,z).取n=(1,2,1).=(1,-1,1),n =1-2+1=0,n.又CE平面C1E1F，CE平面C1E1F.【互动探究】在本例条件下，判断平面C1E1F与平面CEF的关系，并给出证明.【解析】设平面EFC的一个法向量为m=(a,b,c),由例题规范解答可知(0，1，0
6、)，(-1，0，-1)，即取m=(-1，0，1).由例题规范解答可知，平面C1E1F的一个法向量n=(1,2,1),mn=(-1,0,1)(1,2,1)=-11+02+11=0,mn,平面C1E1F平面CEF.【拓展提升】利用向量处理平行问题的常用方法(1)证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量.(2)证明线面平行的方法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明在平面内可找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内不共线的两个向量线性表示.(3)证明面面平行：证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题.【
7、变式备选】(2013西安模拟)如图所示，在等腰直角ABC中，AC=AB=E为AB的中点，点F在BC上，且EFBC.现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使PFBF.点D在PC上，且求证:AD平面PEF.【证明】如图，以F点为原点，分别以FC，FE，FP为x,y,z轴建立空间直角坐标系.经计算，易得以下坐标：F(0,0,0),C(3,0,0),A(1,2,0),D(1,0,),易知=(3，0，0)为平面EFP的法向量.又因为=(0,-2,)，所以 =0,又AD平面PEF，即有AD平面PEF.考向2利用向量证明垂直问题【典例2】如图所示,在四棱锥P-AB-CD中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形
8、ABCD中,B=C=90,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD的夹角为30.(1)求证:CM平面PAD.(2)求证:平面PAB平面PAD.【思路点拨】建立空间直角坐标系.(1)可证明与平面PAD的法向量垂直；也可将分解为平面PAD内的两个不共线向量的线性组合，利用共面向量定理证明.(2)取AP中点E，利用向量证明BE平面PAD即可.【规范解答】由题意可知：以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.PC平面ABCD,PBC为PB与平面ABCD的夹角，PBC=30.PC=2,BC=PB=4.D(0,1,0)
9、,B(0,0),A(4,0),P(0,0,2),=(0,-1,2),=(3,0),(1)方法一:令n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,则即令y=2,得n=(-,2,1).n =-+20+1 =0,n ,又CM平面PAD，CM平面PAD.方法二:=(0,1,-2),=(4,-2)，假设平面PAD，则存在x,y使=x +y ,则方程组的解为由共面向量定理知与共面，故假设成立，又CM平面PAD,CM平面PAD.(2)取AP的中点E,连接BE，则E(,2,1),=(-,2,1).PB=AB,BEPA.又 =(-，2，1)(2 ，3，0)=0，BEDA，又PADA=A.BE平面PAD,又BE平面
10、PAB,平面PAB平面PAD.【拓展提升】向量方法证明空间垂直关系的基本途径(1)线线垂直：直线与直线的垂直，只要证明两直线的方向向量垂直.(2)线面垂直：用线面垂直的定义，证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量垂直；用线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直；证明直线的方向向量与平面的法向量平行.(3)面面垂直：平面与平面的垂直，除了用面面垂直的判定定理转化为线面垂直外，还可证明两平面的法向量垂直.【变式训练】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:(1)AEC
11、D.(2)PD平面ABE.【证明】AB,AD,AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系,设PA=AB=BC=1，则P(0,0,1).(1)ABC=60，ABC为正三角形.设D(0,y,0),由ACCD,得=0,即y=则D(0,0),又 即AECD.(2)方法一:P(0,0,1),又 即PDAE.=(1,0,0),=0,即PDAB,又ABAE=A,PD平面ABE.方法二:设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),=(1,0,0),即令y=2，则z=n=(0,2,).显然 平面ABE,即PD平面ABE.考向3利用空间向量解决探索性问题【典例3】如图，在三棱锥P-ABC中，ABAC，D为BC的
12、中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上.已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC.(2)在线段AP上是否存在点M，使得平面AMC平面BMC？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.【思路点拨】对(1)问线线垂直的证明易入手，利用两非零向量的数量积为0即可进行证明;对(2)问，平面AMC平面BMC，即平面AMC的法向量与平面BMC的法向量垂直;因此可建立适当的空间直角坐标系求解.因为M在线段AP上，故可利用A，M，P三点共线设出M点的坐标.【规范解答】如图，以O为坐标原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(0，-3，0)，B(4，2，0
13、)，C(-4，2，0)，P(0，0，4)，(1)则=(0,3,4),=(-8,0,0).由此可得所以即APBC.(2)假设线段AP上存在点M.易知=(-4，-2，4)，设 01,则=(0,-3,-4)，=(-4,-2,4)+(0,-3,-4)=(-4,-2-3,4-4),=(-4,5,0).又=(-8,0,0)，设平面BMC的一个法向量n1=(x1,y1,z1),平面AMC的一个法向量n2=(x2,y2,z2)，则由得即可取n1=(0,1,).由即得可取n2=(5,4,-3).由n1n2=0,得4-3 =0,解得=故AM=3.综上所述，存在点M符合题意，AM3.【拓展提升】利用向量解决探索性问
14、题的方法立体几何中的探索性问题在近几年的各地高考中出现较多，解决此类问题的常规方法有以下两种:(1)根据对题目的综合分析和观察猜想出点或线的位置，再加以证明.(2)假设所求的点或线存在，并用设定的参数表示出来，再根据其满足的条件确定参数.【变式训练】在四棱锥P-ABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点.(1)求证：EFCD.(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论.【解析】如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设ADa,则D(0，0，0)，B(a,a,0)，C(0，a,0)，E(a,0)
15、，P(0,0,a)，(1)(2)设G(x,0,z),=(a,0,0)，=(0,-a,a),则若使GF平面PCB，则由(a,0,0)=a(x-)=0，得x=;且(0,-a,a)得z=0.G点坐标为(，0，0)，即G点为AD的中点【满分指导】利用向量证明空间位置关系【典例】(12分)(2012福建高考改编)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD中点.(1)求证：B1EAD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由.【思路点拨】已知条件条件分析ABCD-A1B1C1D1为长方体以A为坐标原点建立空间直角坐标系E为CD
16、的中点可确定E点坐标DP平面B1AE与平面B1AE的法向量垂直【规范解答】以A为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.1分设AB=a，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E(,1,0)，B1(a,0,1)，2分故=(0,1,1),=(-,1,-1),=(a,0,1),=(,1,0).3分(1)0+11+(-1)1=0,4分B1EAD1.5分(2)假设在棱AA1上存在一点P(0，0,z0),使得DP平面B1AE，此时=(0,-1,z0).6分再设平面B1AE的一个法向量n(x,y,z)，n平面B1AE，n n 得取x=1,则y=z=-a,得
17、平面B1AE的一个法向量n=(1,-a).8分要使DP平面B1AE，只要n 有-az0=0,解得z0=10分又DP平面B1AE，存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP12分【失分警示】(下文见规范解答过程)1.(2013衡水模拟)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)三点，n=(1,1,1)，则以n为方向向量的直线l与平面ABC的关系是()(A)垂直(B)不垂直(C)平行(D)以上都有可能【解析】选A.由题意知，=(-1，1，0)，=(0，-1，1)，n =0,n =0,以n为方向向量的直线l与平面ABC垂直.2.(2013昆明模拟)如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平
18、面互相垂直，ABAF1，M在EF上且AM平面BDE，则M点的坐标为()(A)(1,1,1)(B)(C)(D)【解析】选C.M在EF上，设MEx(x0)，A(,0)，D(,0，0)，E(0,0,1)，B(0，0)，=(,0,-1)，(0，1)，设平面BDE的一个法向量n(a，b，c)，由得ab故可取一个法向量n(1,1，).n0，x1，3.(2013宁波模拟)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a,M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN则MN与平面BB1C1C的位置关系是()(A)斜交(B)平行(C)垂直(D)不能确定【解析】选B.分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为
19、x,y,z轴，建立空间直角坐标系.A1M=AN=又C1(0,0,0),D1(0,a,0),是平面BB1C1C的一个法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.4.(2013西安模拟)已知在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,M分别是A1C1,A1D和B1A上任一点，则平面A1EF与平面B1MC的位置关系是_.【解析】如图建立空间直角坐标系,则=(-1,1,0),=(-1,0,-1),=(-1,0,-1),=(0,-1,-1),设(,R，且均不为0),设n1,n2分别是平面A1EF与平面B1MC的一个法向量,可得即即可得:n1=(1,1,-1).由即即可得:n2=(1
20、,1,-1).所以n1=n2,所以平面A1EF平面B1MC.答案：平行5.(2013青岛模拟)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA底面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点，PAa，二面角P-CD-B为45.求证：(1)AF平面PCE.(2)平面PCE平面PCD.【证明】(1)底面是正方形，ADCD.又PA底面ABCD，PDCD，PDA45,AD=PA=a.建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,a).又E，F分别是AB，PD的中点，E点坐标为(,0,0),F点坐标为 (a,a,-a),设平面PCE的一个法
21、向量为n=(x,y,z),则由n ,n计算可得取n=(2,-1,1),又AF平面PCE，故AF平面PCE.(2)设平面PCD的一个法向量为m=(x,y,z).=(0,a,-a),=(a,a,-a),m ,m ,解得取m=(0,1,1).又由(1)知平面PCE的一个法向量为n=(2,-1,1),nm=0,平面PCE平面PCD.1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，E为AD的中点，四边形ABCE为菱形，BAD120,PA=AB,G,F分别是线段CE，PB上的动点，且满足(0,1).证明：FG平面PDC.【证明】取BC的中点K，连接AK，以点A为原点，AK，AD，AP所在直线分别为x轴
22、、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设PA2，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(，-1，0)，C(，1，0)，E(0，2，0)，D(0，4，0)，所以由=得F(，-，2-2)，则设平面PCD的一个法向量为n0=(x,y,z)，则n00，n0 =0,得解得取y=1,得n0=(1,2).于是又因为FG平面PDC，所以FG平面PDC.2.如图，在多面体ABC-A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，ABAC，BCAB，B1C1 BC,二面角A1-AB-C是直二面角.求证：(1)A1B1平面AA1C.(2)AB1平面A1C1C.【证明】二面角A1-AB-C是直二面角，四边形A1A
23、BB1为正方形，AA1平面BAC.又AB=AC,BC=AB,CAB=90,即CAAB,AB,AC,AA1两两互相垂直.建立如图所示的空间直角坐标系，设AB2，则A(0，0，0)，B1(0，2，2)，A1(0，0，2)，C(2，0，0)，C1(1，1，2).(1)=(0,2,0),=(0,0,-2),=(2,0,0),设平面AA1C的一个法向量n=(x,y,z)，则即即取y=1,则n=(0,1,0).(2)易知(0，2，2)，(1，1，0)，(2，0，-2)，设平面A1C1C的一个法向量m(x1,y1,z1)，则即令x1=1,则y1=-1,z1=1,即m=(1,-1,1).m=01+2(-1)+21=0,m.又AB1平面A1C1C,AB1平面A1C1C.
