1、第四节 垂直关系1.直线与平面垂直(1)定义条件:直线l与平面内的_一条直线都垂直.结论:直线l与平面垂直.任何（2）判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条_直线都垂直,那么该直线与此平面垂直_,_,_,_,_,l性质定理如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线_,_,ab相交la lba bab=Aab平行2.二面角二面角的定义从一条直线出发的_所组成的图形叫作二面角.这条直线叫作二面角的_,这两个半平面叫作二面角的_二面角的度量二面角的平面角以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作_棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.平
2、面角是_的二面角叫作直二面角两个半平面棱面垂直于直角3.平面与平面垂直(1)定义:两个平面相交,如果所成的二面角是_,就说这两个平面互相垂直.直二面角(2)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条_,那么这两个平面互相垂直.AB_性质定理如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们_的直线垂直于另一个平面.=MNAB_AB垂线AB交线ABMN于点B判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直,则l.()(2)若直线a平面,直线b,则直线a与b垂直.()(3)异面直线所成的角与二面角的取值范围均为(0,.()(4)二面角是
3、指两个相交平面构成的图形.()(5)若两个平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(6)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线,则.()【解析】(1)错误.直线l与平面内的无数条直线都垂直时,直线l与平面可平行,可相交,直线l也可在平面内.(2)正确.由b可得b平行于内的一条直线,设为b,因为a,所以ab,从而ab.(3)错误.异面直线所成角的范围是(0,而二面角的范围是0,.(4)错误.二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.(5)错误.若平面平面,则平面内的直线l与可平行,可相交,也可在平面内.(6)错误.平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线,不能保证
4、该直线垂直于此平面,故不能推出.答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)1.设,为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是()(A)若,=n,mn,则m(B)若m,n,mn,则n(C)若n,n,m,则m(D)若m,n,mn,则【解析】选C.C选项中,n,n,.又m,m.2.设a,b,c表示三条不同的直线,表示两个不同的平面,则下列命题中不正确的是()【解析】选D.由a,ba可得,b与的位置关系有:b,b,b与相交,所以D不正确.3.直线a平面,b,则a与b的位置关系是.【解析】由b可得b平行于内的一条直线,设为b.因为a,所以ab,从而ab,但a与b可能相交,也可能异面.答案:
5、垂直4.将正方形ABCD沿AC折成直二面角后,DAB=.【解析】如图,取AC的中点O,连接DO,BO,则DOAC,BOAC,故DOB为二面角的平面角,从而DOB=90.设正方形边长为1,则DO=BO=所以DB=1,故ADB为等边三角形,所以DAB=60.答案:60考向 1直线与平面垂直的判定和性质【典例1】(1)(2013海淀模拟)设l,m,n为三条不同的直,为两个不同的平面,下列命题中正确的个数是()若l,m,则lm;若m,n,lm,ln,则l;若lm,mn,l,则n;若lm,m,n,则ln.(A)1(B)2(C)3(D)4(2)(2013鹰潭模拟)如图,三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,
6、ABBC,DE垂直平分线段PC,且分别交AC,PC于D,E两点,PB=BC,PA=AB.求证:PC平面BDE;若点Q是线段PA上任一点,判断BD,DQ的位置关系,并证明你的结论.【思路点拨】(1)根据线面平行、面面平行及线面垂直的判定定理和性质定理逐个判断.(2)利用线面垂直的判定定理证明;证明BD平面PAC即可.【规范解答】(1)选B.对于,直线l,m可能互相平行,不正确;对于,直线m,n可能是平行直线,此时不能得l,不正确;对于,由“平行于同一条直线的两条直线平行”与“若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面”得知,正确;对于,由lm,m得l,由n,得n,因此有ln,正
7、确.综上所述,其中命题正确的个数是2,故选B.(2)DE垂直平分线段PC,PB=PC,DEPC,BEPC,又BEDE=E,PC平面BDE.由得,PCBD.PA底面ABC,PABD.又PCPA=P,BD平面PAC,当点Q是线段PA上任一点时都有BDDQ.【互动探究】本例题(2)若改为“设Q是线段PA上任意一点,求证:平面BDQ平面PAC”,如何证明?【证明】由(2)的解法可知BD平面PAC.又BD平面BDQ,平面BDQ平面PAC.【拓展提升】1.判定线面垂直的四种方法方法一:利用线面垂直的判定定理.方法二:利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”.方法三:利用“一条直线垂直于
8、两平行平面中的一个,则与另一个也垂直”.方法四:利用面面垂直的性质定理.2.线面垂直性质的重要应用当直线和平面垂直时,则直线与平面内的所有直线都垂直,给我们提供了证明空间两线垂直的一种重要方法.【提醒】解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程,如用判定定理证明线面垂直时,一定要体现出“平面中的两条相交直线”这一条件.【变式备选】如图,几何体ABCDPE中,底面ABCD是边长为4的正方形,PA平面ABCD,PAEB,且PA=2BE=(1)证明:BD平面PEC.(2)若G为BC上的动点,求证:AEPG.【证明】(1)连接AC交BD于点O,取PC的中点F,连接OF,EF,EBPA,且EB=PA
9、,又OFPA,且OF=PA,EBOF,且EB=OF,四边形EBOF为平行四边形,EFBD.又EF平面PEC,BD平面PEC,BD平面PEC.(2)连接BP,EBA=BAP=90,EBABAP,PBA=BEA,PBA+BAE=BEA+BAE=90,PBAE.PA平面ABCD,PA平面APEB,平面ABCD平面APEB.BCAB,平面ABCD平面APEB=AB,BC平面APEB,BCAE.又BCPB=B,AE平面PBC.G为BC上的动点,PG平面PBC,AEPG.考向 2 面面垂直的判定与性质【典例2】(2013惠州模拟)如图所示,ABC为正三角形,CE平面ABC,BDCE,CE=CA=2BD,M
10、是EA的中点.求证:(1)DE=DA.(2)平面BDM平面ECA.【思路点拨】(1)由于CE=2BD,故可考虑取CE的中点F,通过证明DEFADB来证明DE=DA.(2)证明面面垂直,应先证明线面垂直.【规范解答】(1)取CE的中点F,连接DF.CE平面ABC,CEBC.BDCE,BD=CE=CF=FE,四边形FCBD是矩形,DFEC.又BA=BC=DF,RtDEFRtADB,DE=DA.(2)取AC中点N,连接MN,NB,M是EA的中点,MNCE.由BDCE,且BD平面ABC,可得四边形MNBD是矩形,于是DMMN.DE=DA,M是EA的中点,DMEA.又EAMN=M,DM平面ECA,而DM
11、平面BDM,平面BDM平面ECA.【拓展提升】1.面面垂直的两个证明思路(1)用面面垂直的判定定理,即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.(2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角,把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题.2.面面垂直的性质应用技巧两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.这是把面面垂直转化为线面垂直的依据.运用时要注意“平面内的直线”.【变式训练】(2013宝鸡模拟)如图,矩形ABCD中,ABBC,E,F分别在线段BC和AD上,EFAB,将矩形ABEF沿EF折起,记折起后的矩形为MNEF,且平面MNEF平面ECDF.(1)
12、求证:NC平面MFD.(2)若EC=CD,求证:NDFC.【证明】(1)因为四边形MNEF,ECDF都是矩形,所以MNEFCD,MN=EF=CD.所以四边形MNCD是平行四边形,所以NCMD.因为NC平面MFD,MD平面MFD,所以NC平面MFD.(2)连接ED,因为平面MNEF平面ECDF,且NEEF,所以NE平面ECDF,所以FCNE.又EC=CD,四边形ECDF为正方形,所以FCED.又NEED=E,所以FC平面NED.又ND平面NED,所以NDFC.考向 3垂直关系的综合应用【典例3】如图所示,M,N,K分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,C1D1的中点.求证:(1)
13、AN平面A1MK.(2)平面A1B1C平面A1MK.【思路点拨】(1)要证线面平行,需证线线平行.(2)要证面面垂直,需证线面垂直.【规范解答】(1)如图所示,连接NK.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形AA1D1D,DD1C1C都为正方形,AA1DD1,AA1=DD1,C1D1CD,C1D1=CD.N,K分别为CD,C1D1的中点,DND1K,DN=D1K,四边形DD1KN为平行四边形.KNDD1,KN=DD1,AA1KN,AA1=KN,四边形AA1KN为平行四边形,ANA1K.A1K平面A1MK,AN平面A1MK,AN平面A1MK.(2)连接BC1.在正方体ABCD-A1B1C1
14、D1中,ABC1D1,AB=C1D1.M,K分别为AB,C1D1的中点,BMC1K,BM=C1K,四边形BC1KM为平行四边形,MKBC1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1平面BB1C1C,BC1平面BB1C1C,A1B1BC1.MKBC1,A1B1MK.四边形BB1C1C为正方形,BC1B1C.MKB1C.A1B1平面A1B1C,B1C平面A1B1C,A1B1B1C=B1,MK平面A1B1C.又MK平面A1MK,平面A1B1C平面A1MK.【拓展提升】垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与平行结合问题,
15、求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)垂直与体积结合问题,在求体积时,可根据线面垂直得到表示高的线段,进而求得体积.【变式训练】(2013唐山模拟)如图,已知三棱锥A-BPC中,APPC,ACBC,M为AB的中点,D为PB的中点,且PMB为正三角形.(1)求证:DM平面APC.(2)求证:平面ABC平面APC.【证明】(1)M为AB中点,D为PB中点,DMAP.又DM平面APC,AP平面APC,DM平面APC.(2)PMB为正三角形,且D为PB中点,DMPB.又由(1)知DMAP,APPB.又APPC,PBPC=P,AP平面PBC,APBC.又ACBC,APAC=A,BC平面AP
16、C.又BC平面ABC,平面ABC平面APC.【满分指导】解决垂直关系综合问题的规范解答【典例】(12分)(2012广东高考)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点且DF=AB,PH为PAD中AD边上的高.(1)证明:PH平面ABCD.(2)若PH=1,AD=,FC=1,求三棱锥E-BCF的体积.(3)证明:EF平面PAB.【思路点拨】已知条件条件分析AB平面PADAB垂直平面PAD内的所有直线E是PB的中点三棱锥E-BCF的高为PH的一半E为PB的中点,DFAB可作出PA的中点G,利用三角形的中位线可得GEDF【规范解答】(1)由
17、于AB平面PAD,PH平面PAD,故ABPH.1分又PH为PAD中AD边上的高,故ADPH.2分ABAD=A,AB平面ABCD,AD平面ABCD,PH平面ABCD.4分（2）由于PH平面ABCD，E为PB的中点，PH=1，故E到平面ABCD的距离h=PH=.5分又因为ABCD，ABAD，所以ADCD，6分故7分因此8分（3）过E作EGAB交PA于G，连接DG.由于E为PB的中点，G为PA的中点.AD=PD，故DPA为等腰三角形，DGAP.AB平面PAD，DG平面PAD，ABDG.10分9分又ABPA=A，AB平面PAB，PA平面PAB，DG平面PAB.11分又GE AB,DF AB,GE DF
18、.四边形DFEG为平行四边形，故DGEF.EF平面PAB.12分【失分警示】(下文见规范解答过程)1.(2013宿州模拟)已知两条不同的直线m,n,两个不同的平面,则下列命题中的真命题是()(A)若m,n,则mn(B)若m,n,则mn(C)若m,n,则mn(D)若m,n,则mn【解析】选A.由m,可得m或m,又n,故mn,即A正确;如图(1),m,n,但mn,故C错;如图(2)知B错;如图(3)正方体中,m,n,但m,n相交,故D错.2.(2013上饶模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段AC1上有两个动点E,F,且EF=.给出下列四个结论:CEBD;三棱锥E-BCF的体
19、积为定值;BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形;在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线.其中,正确结论的个数是()(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】选D.如图.BD平面ACC1,BDCE,故对;点C到直线EF的距离是定值,点B到平面CEF的距离也是定值,三棱锥E-BCF的体积为定值,故对;设线段EF在底面ABCD上的正投影是线段GH,BEF在底面ABCD内的正投影是BGH.又线段EF的长是定值,线段GH的长是定值,从而BGH的面积是定值,故对;设平面ABCD与平面DEA1的交线为l,则在平面ABCD内与直线l平行的直线有无数条,故对.综上,可知四个结论都是
20、正确的,故选D.3.(2013咸阳模拟)正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PEAC,则动点P的轨迹的周长为.【解析】如图,取CD的中点F,SC的中点G,连接EF,EG,FG,设EF交AC于点H,易知ACEF,又GHSO,GH平面ABCD,ACGH.又GHEF=H,AC平面EFG.故点P的轨迹是EFG,其周长为答案:4.(2013西安模拟)如图,在七面体ABCDEFG中,平面ABC平面DEFG,AD平面DEFG,ABAC,EDDG,EFDG,且AC=EF=1,AB=AD=DE=DG=2.(1)求证:平面BEF平面DEFG.(2)求证:BF
21、平面ACGD.【证明】(1)平面ABC平面DEFG,平面ABC平面ADEB=AB,平面DEFG平面ADEB=DE,ABDE.AB=DE,四边形ADEB为平行四边形,BEAD.AD平面DEFG,BE平面DEFG.BE平面BEF,平面BEF平面DEFG.(2)取DG的中点为M,连接AM,FM,则有DM=DG=1.又EF=1,EFDG,四边形DEFM是平行四边形,DEFM.又ABDE,ABFM.四边形ABFM是平行四边形,即BFAM.又BF平面ACGD,AM平面ACGD,故BF平面ACGD.1.如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是()(A)A1
22、D(B)AA1(C)A1D1(D)A1C1【解析】选D.易知A1C1平面BB1D1D.又B1O平面BB1D1D,A1C1B1O,故选D.2.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).【解析】由PABD,ACBD可得BD平面PAC,所以BDPC.所以当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面MBD,而PC平面PCD,平面MBD平面PCD.答案:DMPC(或BMPC)3.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将AFD沿AF折起,使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是.【解析】连接KF,易证DKKF.设EF=m,则0m1.在RtDKF中,DF=1+m,由勾股定理得DF2=DK2+KF2,即(1+m)2=1-t2+1+(1+m-t)2,又0m1,故t1.答案:(,1)
