1、第三节 平行关系1.直线与平面平行的判定与性质文字语言图形语言符号语言判定定理若平面外一条直线与此_的一条直线平行,则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)_,_,_,l性质定理如果一条直线与一个平面平行,那么过该直线的任意一个平面与已知平面的_与该直线平行(线面平行线线平行)_,_,_,lb平面内交线laalll=b2.平面与平面平行的判定与性质文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内有两条_都平行于另一个平面,那么这两个平面平行(线面平行面面平行)_,_,_,_,_,性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面_,那么它们的_平行_,_,_,ab相交直线abab=Pab相交交线=a=b判
2、断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.()(2)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()(3)若直线a与平面内无数条直线平行,则a.()(4)若直线a平面,P,则过点P且平行于直线a的直线有无数条.()(5)若平面平面,直线a平面,则直线a平面.()【解析】(1)错误.当这两条直线为相交直线时,才能保证这两个平面平行.(2)正确.如果两个平面平行,则在这两个平面内的直线没有公共点,则它们平行或异面.(3)错误.若直线a与平面内无数条直线平行,则a或a.(4)错误.有且只有一条直线,且该直线为过
3、直线a和点P的平面与平面的交线.(5)错误.若平面平面,直线a平面,则a或a.答案:(1)(2)(3)(4)(5)1.下列命题中,正确的是()(A)若ab,b,则a(B)若a,b,则ab(C)若a,b,则ab(D)若ab,b,a,则a【解析】选D.由直线与平面平行的判定定理知选项D正确.2.已知直线l,m,平面,下列条件能得出的是()(A)l,m,且l,m(B)l,m,且lm(C)l,m,且lm(D)l,m,且lm【解析】选C.如图,在正方体AC1中,AA1平面ABCD,BB1平面A1B1C1D1且AA1BB1,则平面ABCD平面A1B1C1D1,故选C.3.直线a不平行于平面,则下列结论成立
4、的是()(A)内的所有直线都与a异面(B)内不存在与a平行的直线(C)内的直线都与a相交(D)直线a与平面有公共点【解析】选D.因为直线a不平行于平面,则直线a与平面相交或直线a在平面内,所以选项A,B,C均不正确.故选D.4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列结论中,正确的结论是_(只填序号).AD1BC1;平面AB1D1平面BDC1;AD1DC1;AD1平面BDC1.【解析】借助图形可知AD1与DC1所在的直线为异面直线,故错误.答案:考向 1线面平行的判定与性质【典例1】(1)若一条直线和两个相交平面都平行,则这条直线和它们的交线的位置关系是.(2)如图,在正方体ABCD-A1B
5、1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,并且CM=DN.求证:MN平面AA1B1B.【思路点拨】(1)把文字叙述转化为符号叙述,然后利用线面平行的性质,把线面平行转化为线线平行.(2)“线线平行”“线面平行”“面面平行”是可以互相转化的.本题可以采用任何一种转化方式.【规范解答】(1)已知a,a,=l,设过a的平面=m,a,am.设过a的平面=n,a,an,mn.n,m,m.又m,=l,ml.al.答案:平行(2)方法一:如图所示,作MEBC交BB1于E;作NFAD交AB于F,连接EF,则在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CM=DN,BD=B1C,B1M=BN.又BD=B1C,又BC=
6、AD,ME=NF.又MEBCADNF,四边形MEFN为平行四边形,MNEF.又EF平面AA1B1B,MN平面AA1B1B,MN平面AA1B1B.方法二:过M作MQBB1交BC于Q,连接NQ.MQ平面AA1B1B,BB1平面AA1B1B,MQ平面AA1B1B.由MQBB1得又CM=DN,CB1=DB,NQDC,NQAB.NQ平面AA1B1B,AB平面AA1B1B,NQ平面AA1B1B.又MQNQ=Q,平面MQN平面AA1B1B.又MN平面MQN,MN平面AA1B1B.【互动探究】若将本例题(2)中的条件“CM=DN”改为则如何证明?【证明】将转化为CM=DN.以下同例题.【拓展提升】1.判断或证
7、明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点).(2)利用线面平行的判定定理(a,b,aba).(3)利用面面平行的性质(,aa).(4)利用面面平行的性质(,a,a,aa).(5)利用空间向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.2.判断或证明两直线平行的常用方法(1)利用公理4(ab,bcac).(2)利用线面平行的性质定理(a,a,=bab).(3)利用面面平行的性质定理(,=a,=bab).(4)利用线面垂直的性质定理(a,bab).(5)利用向量共线证明.【提醒】利用线面平行的性质或判定定理时,适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法.【变式备选】(1)如图,四边形ABCD
8、是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:APGH.【证明】如图,连接AC交BD于点O,连接MO,四边形ABCD是平行四边形,O是AC的中点.又M是PC的中点,APOM.又AP平面BDM,AP平面BDM.平面PAHG平面BDM=GH,PAGH.(2)如图,在四棱锥P-ABCD中,CDAB,DC=AB,试在线段PB上找一点M,使CM平面PAD,并说明理由.【解析】当M为PB的中点时,CM平面PAD.方法一:取AP的中点F,连接CM,FM,DF.则FMAB,FM=AB.CDAB,CD=AB,FMCD,FM=CD,四边形CDF
9、M为平行四边形,CMDF.DF平面PAD,CM平面PAD,CM平面PAD.方法二:在四边形ABCD中,设BC的延长线与AD的延长线交于点Q,连接PQ,CM.CDAB,QCD=QBA.CQD=BQA,CQDBQA,C为BQ的中点.M为BP的中点,CMPQ.PQ平面PAD,CM平面PAD,CM平面PAD.方法三:取AB的中点E,连接EM,CE,CM.在四边形ABCD中,CDAB,CD=AB,E为AB的中点,AEDC,且AE=DC,四边形AECD为平行四边形.CEDA.DA平面PAD,CE平面PAD,CE平面PAD.同理,根据E,M分别为BA,BP的中点,得EM平面PAD.CE平面CEM,EM平面C
10、EM,CEEM=E,平面CEM平面PAD.CM平面CEM,CM平面PAD.考向 2面面平行的判定与性质【典例2】(1)(2013西安模拟)设m,n是平面内的两条不同直线,l1,l2是平面内的两条相交直线,则的一个充分而不必要条件是()(A)m且l1 (B)ml1且nl2(C)m且n (D)m且nl2(2)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:B,C,H,G四点共面;平面EFA1平面BCHG.【思路点拨】(1)逐项验证,既要验证充分性,还要验证必要性.(2)要证明B,C,H,G四点共面,可证明直线GH与直线BC共面;可利用面面平行的
11、判定定理证明.【规范解答】(1)选B.对于选项A,不合题意;对于选项B,由于l1与l2是相交直线,而且由l1m可得l1,同理可得l2,故可得,充分性成立,而由不一定能得到l1m,l2n,它们也可以异面,故必要性不成立,故选B;对于选项C,由于m,n不一定相交,故是必要非充分条件;对于选项D,由nl2可转化为n,同选项C,故不符合题意.综上选B.(2)G,H分别是A1B1,A1C1的中点,GH是A1B1C1的中位线,GHB1C1.又B1C1BC,GHBC,B,C,H,G四点共面.E,F分别是AB,AC的中点,EFBC.EF平面BCHG,BC平面BCHG,EF平面BCHG.A1GEB,四边形A1E
12、BG是平行四边形,A1EGB.A1E平面BCHG,GB平面BCHG,A1E平面BCHG.A1EEF=E,平面EFA1平面BCHG.【互动探究】在本例(2)条件下,若D1,D分别为B1C1,BC的中点,求证:平面A1BD1平面AC1D.【证明】如图所示,连接A1C交AC1于点H,四边形A1ACC1是平行四边形,H是A1C的中点,连接HD,D为BC的中点,A1BHD.A1B平面A1BD1,DH平面A1BD1,DH平面A1BD1.又由三棱柱的性质知,D1C1BD,四边形BDC1D1为平行四边形,DC1BD1.又DC1平面A1BD1,BD1平面A1BD1,DC1平面A1BD1,又DC1DH=D,平面A
13、1BD1平面AC1D.【拓展提升】1.判定面面平行的四个方法(1)利用定义:即判断两个平面没有公共点.(2)利用面面平行的判定定理.(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行.(4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.2.面面平行的性质(1)两平面平行,则一个平面内的直线平行于另一平面.(2)若一平面与两平行平面相交,则交线平行.【变式备选】如图,在四棱锥P-ABCD中,ABC=ACD=90,BAC=CAD=60,PA平面ABCD,E为PD的中点,AB=1.证明:直线CE平面PAB.【证明】取AD中点F,连接EF,CF,在PAD中,EF是中位线,可得EFPA.E
14、F平面PAB,PA平面PAB,EF平面PAB.RtABC中,AB=1,BAC=60,又RtACD中,CAD=60,AD=4,结合F为AD中点,得ACF是等边三角形,ACF=BAC=60,可得CFAB.CF平面PAB,AB平面PAB,CF平面PAB.EF,CF是平面CEF内的相交直线,平面CEF平面PAB.CE平面CEF,CE平面PAB.【典例3】如图所示,平面平面,点A,点C,点B,点D,点E,F分别在线段AB,CD上,且AEEB=CFFD.(1)求证:EF.(2)若E,F分别是AB,CD的中点,AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角为60,求EF的长.考向 3 平行关系的综合应用【思路点拨
15、】(1)要证EF,可转化为证明EF与内的某一直线平行或证明EF所在的平面与平行.(2)以EF为边构造三角形可求得EF的长.【规范解答】(1)当AB,CD在同一平面内时,由,平面平面ABDC=AC,平面平面ABDC=BD,ACBD.AEEB=CFFD,EFBD.又EF,BD,EF.当AB与CD异面时,设平面ACD=DH,且DH=AC.,平面ACDH=AC,ACDH,四边形ACDH是平行四边形.在AH上取一点G,使AGGH=CFFD,得GFHD.又AEEB=CFFD=AGGH,EGBH.又EGGF=G,平面EFG平面.又EF平面EFG,EF.综上,EF.（2）如图所示，连接AD，取AD的中点M，连
16、接ME，MF.E，F分别为AB，CD的中点，MEBD，MFAC，且ME=BD=3，MF=AC=2，EMF为AC与BD所成的角（或其补角），EMF=60或120.在EFM中由余弦定理得即EF=或EF=【拓展提升】三种平行关系的转化方向及注意事项(1)转化方向如图所示:(2)注意事项在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行.【变式训练】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC
17、1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ平面PAO?【解析】当Q为CC1的中点时,平面D1BQ平面PAO.证明如下:Q为CC1的中点,P为DD1的中点,QBPA.P,O分别为DD1,DB的中点,D1BPO.又D1B平面PAO,PO平面PAO,QB平面PAO,PA平面PAO,D1B平面PAO,QB平面PAO,又D1BQB=B,D1B,QB平面D1BQ,平面D1BQ平面PAO.【满分指导】平行关系证明题的规范解答【典例】(12分)(2012山东高考)如图,几何体E-ABCD是四棱锥,ABD为正三角形,CB=CD,ECBD.(1)求证:BE=DE.(2)若BCD=120,M为线段AE的中点,求
18、证:DM平面BEC.【思路点拨】已知条件条件分析ABD为正三角形三角形三个内角相等,三边相等CB=CDCBD为等腰三角形,若O为DB的中点,则COBDECBD证明线面垂直M为AE的中点 可构造三角形的中位线【规范解答】（1）取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB=CD，所以COBD.1分又ECBD，ECCO=C，CO，EC平面EOC，所以BD平面EOC，所以BDOE.3分又O为BD的中点，所以BE=DE.5分（2）方法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN.因为M是AE的中点，所以MNBE.6分又MN平面BEC，BE平面BEC，所以MN平面BEC.7分又因为ABD为正三角形,所以BDN=3
19、0.又CB=CD，BCD=120，因此CBD=30，所以DNBC.9分又DN平面BEC，BC平面BEC，所以DN平面BEC.又MNDN=N，故平面DMN平面BEC.11分又DM平面DMN，所以DM平面BEC.12分方法二：延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CB=CD，BCD=120，所以CBD=30.7分因为ABD为正三角形，所以BAD=ABD=60，ABC=90，所以AFB=30，所以AB=AF.9分又AB=AD，所以D为线段AF的中点.10分连接DM，由点M是线段AE的中点，因此DMEF.11分又DM平面BEC，EF平面BEC，所以DM平面BEC.12分【失分警示】(下文见规范解答过程
20、)1.(2012四川高考)下列命题正确的是()(A)若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行(B)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行(C)若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行(D)若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行【解析】选C.利用线面位置关系的判定和性质解答.A错误,如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等,但两条母线相交;B错误,ABC的三个顶点中,A,B在的同侧,而点C在的另一侧,且AB平行于,此时可有A,B,C三点到平面距离相等,但两平面相交;D错误,如教室中两个相邻墙面都与地面垂直,但这两个面相交.2.(201
21、3衡水模拟)已知直线m,n和平面,则mn的一个必要不充分条件是()(A)m,n (B)m,n(C)m,n (D)m,n与成等角【解析】选D.对于A,m,n为mn的既不充分也不必要条件;对于B,m,n为mn的充分不必要条件;对于C,m,n为mn的既不充分也不必要条件;对于D,m,n与成等角为mn的必要不充分条件,故选D.3.(2013新余模拟)已知直线m,n与平面,给出下列三个命题:若m,n,则mn;若m,n,则mn;m,m,则.其中真命题的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3【解析】选C.对于,m,n可能平行、相交或异面,正确,所以真命题的个数为2.4.(2012辽宁高考改编)如图,直三
22、棱柱ABC-ABC,BAC=90,AB=AC=AA=1,点M,N分别为AB和BC的中点.证明:MN平面AACC.【证明】方法一:连接AB,AC,由已知BAC=90,AB=AC,三棱柱ABC-ABC为直三棱柱,所以M为AB的中点.又因为N为BC的中点,所以MNAC.又MN平面AACC,AC平面AACC,因此MN平面AACC.方法二:取AB中点P,连接MP,NP,而M,N分别为AB与BC的中点,所以MPBBAA,PNAC.因为MP,PN平面AACC,AA,AC平面AACC,所以MP平面AACC,PN平面AACC.又MPNP=P,因此平面MPN平面AACC.而MN平面MPN,因此MN平面AACC.1
23、.设,为三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“=m,n,且,则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.,n;m,n;n,m.可以填入的条件有()(A)或 (B)或(C)或 (D)或或【解析】选C.由面面平行的性质定理可知,正确;当n,m时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以平行,正确.2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()(A)不存在(B)有1条(C)有2条(D)有无数条【解析】选D.平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l,在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行,故选D.
