1、第七节数学归纳法1.数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与_有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是:(1)验证:_(如n0=1或2等)时,命题成立;(2)在假设当_时命题成立的前提下,推出当_时,命题成立.根据(1)(2)可以断定命题对_都成立.正整数n当n取第一个值n0n=k(kN+,kn0)n=k+1一切从n0开始的正整数n2.数学归纳法的框图表示n=k+1时命题也成立正整数n所有的判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假
2、设可以不用.()(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.()(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+2n+2=2n+3-1”,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.()【解析】(1)错误.用数学归纳法证明时,第一步是验证当n取第一个可取值时结论成立,第一个可取值不一定是1.(2)错误.例如,证明等式时,也可直接运用等比数列的求和公式证明.(3)错误.用数学归纳法证明问题时,归纳假设必须用上,否则就不是用数学归纳法证明.(4)错误.用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时项数不一定都增加了一项.(5)正确.当n=1时左边式子一共有4项
3、,为1+2+22+23.答案:(1)(2)(3)(4)(5)1.用数学归纳法证明2nn2(n4,nN+)第一步应验证n等于()(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】选D.由n4,nN+可知,应验证n=4时不等式成立.2.若则f(1)为()【解析】选D.3用数学归纳法证明：(nN+且n1)时，在第二步证明从 nk 到 nk1 成立时，左边增加的项数是()(A)2k (B)2k-1 (C)2k-1 (D)2k+1【解析】选A.增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k，故选A.4用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN+)，由n=k到n=k+1时
4、，等式左边的变化是()(A)多乘了(2k+1)(B)多乘了2(2k+1)(C)多乘了(2k+1)(2k+2)(D)多乘了2(k+1)(nN+)【解析】选B.当n=k时，左边=(k+1)(k+2)(k+k),当n=k+1时，左边=(k+1)+1(k+1)+2(k+1)+(k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)(k+k)=(k+1)(k+2)(k+k)2(2k+1),所以多乘了2(2k+1).5在数列an中，a1且Sn=n(2n-1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式，其结果是.【解析】由且Sn=n(2n-1)an得，而可得答案：考向 1
5、 用数学归纳法证明等式【典例1】(2013延安模拟)用数学归纳法证明【思路点拨】利用数学归纳法的基本步骤进行证明.【规范解答】(1)当n=1时，左边=12=1,右边等式成立.(2)假设当n=k时，等式成立，即12-22+32-42+(-1)k-1k2当n=k+1时，当n=k+1时，等式成立,当nN+时，等式成立.【拓展提升】用数学归纳法证明等式的注意点(1)明确等式两边项的构成规律，弄清由n=k到n=k+1时左边的项是如何变化的，由此明确变形的目标.(2)注意合理利用恒等变形的常用方法.例如,因式分解、添拆项、配方等.【变式训练】是否存在常数a，b，c，使等式122232n(n1)2对一切正整
6、数n都成立？证明你的结论【解析】把n1，2，3代入等式得方程组解得猜想：等式122232n(n1)2对一切nN+都成立下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，由上面可知等式成立(2)假设nk(k1,kN+)时等式成立，即则当nk+1时，122232k(k1)2(k1)(k2)2(3k211k10)(k1)(k2)2(3k5)(k2)(k1)(k2)2k(3k5)12(k2)=3(k+1)2+11(k+1)+10,当 nk1 时，等式也成立综合(1)(2)，对nN+等式都成立考向 2用数学归纳法证明不等式【典例2】由下列不等式：你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明.【思路点拨】观察所给出的不等
7、式，其左边是若干个分式相加，分子都是1，分母由1开始，每一项比前一项大1，最后一项是2n-1，因此左边的式子为不等式的右边是一个分数，依次为由此可得到一般的不等式.证明可采用数学归纳法.【规范解答】根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为用数学归纳法证明如下：(1)当n=1时，猜想成立.(2)假设当n=k(k1,kN+)时，猜想成立，即则当n=k+1时，即当n=k+1时，猜想也成立，所以对任意的nN+，不等式都成立.【拓展提升】用数学归纳法证明不等式的注意问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)用数学归纳法证明不等式的关
8、键是由n=k成立，推证n=k+1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.【提醒】在证明由k到k+1时一定要分清左右两边变化了哪些项.【变式训练】求证：【证明】(1)当n2时，左边不等式成立(2)假设nk(k2，kN+)时命题成立，即则当nk1时，当nk1时不等式亦成立原不等式对一切n2，nN+均成立考向 3归纳、猜想、证明【典例3】在数列an中，a1=2,an+1=an+n+1+(2-)2n(nN+,0).(1)求a2，a3，a4.(2)猜想an的通项公式，并加以证明.【思路点拨】利用递推公式将n=1,2,3代入即可求得a2，a3，a4，然后再用
9、数学归纳法证明猜想成立.【规范解答】(1)a222(2)2222，a3(222)3(2)222323，a4(2323)4(2)233424.(2)由(1)可猜想数列通项公式为：an=(n-1)n+2n.下面用数学归纳法证明：当n1时，a12，等式成立假设当nk(k1,kN+)时等式成立，即ak=(k-1)k+2k，那么当n=k+1时，ak+1=ak+k+1+(2-)2k=(k-1)k+2k+k+1+2k+1-2k=(k+1)-1k+1+2k+1,即当nk1时等式也成立，根据和可知，等式对任何nN+都成立【拓展提升】解“归纳猜想证明”题的关键环节(1)准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础
10、.(2)通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论.(3)对一般结论用数学归纳法进行证明.【变式训练】数列an中，且求a3,a4,猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想.【解析】因为且所以同理可求得归纳猜想下面用数学归纳法证明猜想正确.(1)当n=1时，易知猜想正确.(2)假设当n=k(k1,kN+)时，猜想正确，即那么当n=k+1时，即当n=k+1时，猜想也正确.由(1)(2)可知，猜想对任意正整数都正确.考向 4用数学归纳法证明整除问题【典例4】用数学归纳法证明：(3n+1)7n-1(nN+)能被9整除.【思路点拨】在第二步证明中，注意利用归纳假设，对n=k+1时的式子进行合理变形.
11、【规范解答】(1)当n=1时，(31+1)7-1=27能被9整除，命题成立；(2)假设当n=k(kN+,k1)时命题成立，即(3k+1)7k-1能被9整除，则当n=k+1时，3(k+1)+17k+1-1=(3k+1)7k+1-1+37k+1=(3k+1)7k-1+6(3k+1)7k+37k+1=(3k+1)7k-1+9(2k+3)7k.由于(3k+1)7k-1和9(2k+3)7k都能被9整除，所以(3k+1)7k-1+9(2k+3)7k能被9整除，即当n=k+1时，命题也成立，故(3n+1)7n-1(nN+)能被9整除.【拓展提升】证明整除问题的关键“凑项”证明整除问题的关键是“凑项”，即采用
12、增项、减项、拆项和因式分解等手段，将n=k+1时的式子凑出n=k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证.【变式训练】用数学归纳法证明能被13整除，其中n为正整数.【证明】(1)当n=1时，421+1+31+2=91能被13整除.(2)假设当n=k(k1,kN+)时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，方法一：42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23-42k+13+42k+13=42k+113+3(42k+1+3k+2).42k+113能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除,42(k+1)+1+3k+3能被13整除.方法二：42(k+1)+1+3k+3-3(
13、42k+1+3k+2)=(42k+142+3k+23)-3(42k+1+3k+2)=42k+113,42k+113能被13整除，42(k+1)+1+3k+3-3(42k+1+3k+2)能被13整除，即42(k+1)+1+3k+3能被13整除,当n=k+1时，命题也成立,由(1)(2)知，对任意nN+，42n+1+3n+2都能被13整除.【易错误区】未运用归纳假设致误【典例】用数学归纳法证明：【误区警示】本题错误在于证明当n=k+1等式也成立这一步骤时，没有运用归纳假设，而是直接利用等比数列的前n项和公式求得这是错误的.【规范解答】当n=1时，左边=右边等式成立.假设当n=k(k1,kN+)时，
14、等式成立，即则当n=k+1时，即当n=k+1时，等式也成立.由知，等式对nN+成立.【思考点评】必须运用归纳假设在运用数学归纳法证明问题时，两个步骤缺一不可，尤其是在证明第二步时，一定要运用归纳假设，即运用当n=k时得到的结论，去证明当n=k+1时命题的正确性，否则，若没有运用归纳假设，就不是利用数学归纳法证明问题，是错误的.1.(2013西安模拟)用数学归纳法证明3nn3(n3,nN)第一步应验证()(A)n=1 (B)n=2(C)n=3 (D)n=4【解析】选C.n3，故应验证n=3.2.(2013九江模拟)用数学归纳法证明34n+1+52n+1(nN+)能被8整除时，当n=k+1时，对于
15、34(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为()(A)5634k+1+25(34k+1+52k+1)(B)3434k+1+5252k(C)34k+1+52k+1(D)25(34k+1+52k+1)【解析】选A.当n=k时，34k+1+52k+1能被8整除，那么当n=k+1时，34k+5+52k+3=52(34k+1+52k+1)-5234k+1+34k+5=(34-52)34k+1+52(34k+1+52k+1)=5634k+1+25(34k+1+52k+1),故选A.3.(2013蚌埠模拟)利用数学归纳法证明“(a1，nN)”时，在验证n=1成立时，左边应该是()(A)1 (B)1+a(C
16、)1+a+a2 (D)1+a+a2+a3【解析】选C.在验证n=1时，左边应是1+a+a2.4.(2013上饶模拟)已知数列an的前n项和为Sn，其中且(1)求a2,a3.(2)猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明.【解析】(1)且Sn=n(2n-1)an.当n=2时，a1+a2=S2=23a2，当n=3时，a1+a2+a3=S3=35a3,(2)猜想(i)当n=1时，成立,(ii)假设当n=k(kN+,k1)时，成立,那么当n=k+1时，Sk+1=(k+1)2(k+1)-1ak+1,Sk=k(2k-1)ak,ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)(2k+1)ak+1-k(2k-1)ak，
17、(2k2+3k)ak+1=k(2k-1)由(i)(ii)知nN+时，1.已知f(n)=12+22+32+(2n)2，则f(k+1)与f(k)的关系是()(A)f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2(B)f(k+1)=f(k)+(k+1)2(C)f(k+1)=f(k)+(2k+2)2(D)f(k+1)=f(k)+(2k+1)2【解析】选A.由已知可得f(k)=12+22+32+(2k)2,f(k+1)=12+22+32+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2，于是f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.2.若不等式对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论.【解析】取n=1，则有成立，所以因此a26，取a=25，即正整数a的最大值等于25.以下用数学归纳法证明：对一切正整数n都成立.当n=1时，已证结论成立；假设当n=k(k1,kN+)时结论成立，即则当n=k+1时，由于所以于是即当n=k+1时，结论也成立，由知对一切正整数n,都有故正整数a的最大值等于25.
