1、第二节一元二次不等式1.一元二次不等式的意义形如_或_的不等式（其中a0），叫作一元二次不等式.ax2+bx+c0(0)ax2+bx+c0(0)2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式=b2-4ac0=00)的图象判别式=b2-4ac0=00)的根有两相异实数根有两相等实数根没有实数根ax2+bx+c0(a0)的解集_ax2+bx+c0)的解集_ _x|xx2Rx|x1x0(a0)中，如果二次项系数a0(a0)的求解过程用框图表示为判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）若不等式ax2+bx+c0.()（2）若不等式ax2+bx+c0的解集是(-,x1)(
2、x2,+)，则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.()（3）若方程ax2+bx+c=0（a0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c0的解集为R.()（4）不等式ax2+bx+c0在R上恒成立的条件是a0且=b2-4ac0.()（5）若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，则不等式ax2+bx+c0的解集一定不是空集.()【解析】（1）正确.由不等式ax2+bx+c0.(2)正确.由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知结论是正确的.（3）错误.只有当a0时才成立，当a0的解集为空集.（4）错误.还要考虑a=0的情况，不等式ax2+bx+c0在R上恒成立的条件是a=0,b=
3、0,c0或a0且=b2-4ac0.(5)正确.当抛物线开口向下时，在x轴下方一定存在图象，因此ax2+bx+c4的解集为()(A)(-,-2)(3,+)(B)(-,-3)(2,+)(C)(-2,3)(D)(-3,2)【解析】选B.原不等式可化为x2+x-60，即(x+3)(x-2)0，所以x2或x0的解集是则a+b=()(A)10 (B)-10 (C)14 (D)-14【解析】选D.由题意a0,是方程ax2+bx+2=0的两个根，所以解得a=-12，b=-2,故a+b=-14，选D.4.不等式ax22ax10对一切xR恒成立，则实数a的取值范围为_.【解析】当a0时，不等式为10恒成立；当a0
4、时，需0a1，综上0a1.答案：0，15.某种产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3 000+20 x-0.1x2,x(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是_.【解析】要使生产者不亏本，则应满足25x3 000+20 x-0.1x2，整理得x2+50 x-30 0000，解得x150或x-200（舍去），故最低产量是150台.答案：150台考向 1一元二次不等式的解法【典例1】（1）（2013临汾模拟）若关于x的不等式ax-b0的解集是（1，+)，则关于x的不等式的解集是()（A）（-,1）(2,+)（B）(-1,2)（C）(1,2)（D
5、）(-,-1)(2,+)（2）（2012湖南高考）不等式x2-5x+60的解集为_.（3）解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10.【思路点拨】（1）根据不等式解集的端点与相应方程的根之间的关系，可确定a,b关系，即可解不等式.（2）按照一元二次不等式的解法步骤进行求解.（3）首先对a的符号进行分类讨论，在每一种情况中，如果有必要再按照根的大小进行讨论.【规范解答】（1）选D.不等式ax-b0的解集为(1,+),a0,则不等式即(x+1)(x-2)0.解得x-1或x2.（2）不等式可化为(x-2)(x-3)0，因此2x3，即不等式的解集为x|2x3.答案：x|2x3（3）当a=0时，原不等式
6、变为-x+11.当a0时，原不等式可化为若a0，则上式即为（）当即a1时，原不等式的解集为()当即a=1时，原不等式的解集为；()当即0a1时，原不等式的解集为综上所述，原不等式解集为：当a1；当0a1时，【拓展提升】解含参数的一元二次不等式的分类依据（1）二次项中若含有参数应讨论是小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式（2）判断方程的根的个数，讨论判别式与0的关系（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.【提醒】当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况.【变式训练】（1）（2013西城模拟）已知函数f(
7、x)=x2+bx+1是R上的偶函数，不等式f(x-1)x的解集为_.【解析】由于函数是偶函数，可得b=0，此时f(x)=x2+1，于是不等式f(x-1)x可化为x2-3x+20，解得1x2.答案：x|1x2（2）解关于x的不等式(1ax)21.【解析】由(1ax)21，得a2x22ax0，即ax(ax2)0，当a0时，不等式的解集为空集；当a0时，由ax(ax2)0，得即当a0时，综上所述：当a0时，不等式解集为空集；当a0时，不等式解集为当a0时，不等式解集为考向 2一元二次不等式的恒成立问题【典例2】已知函数f(x)=x2+ax+3.(1)当xR时，f(x)a恒成立，求a的范围.(2)当x
8、-2,2时，f(x)a恒成立，求a的范围.【思路点拨】（1）可直接利用判别式0求解.（2）可转化为求f(x)-a在-2,2上的最小值，令其最小值大于或等于0即可.【规范解答】（1）f(x)a即x2+ax+3-a0，要使xR时，x2+ax+3-a0恒成立，应有=a2-4(3-a)0，即a2+4a-120，解得-6a2.（2）当x-2,2时，设g(x)=x2+ax+3-a.分以下三种情况讨论：当即a4时，g(x)在-2,2上是增加的，g(x)在-2,2上的最小值为g(-2)=7-3a，因此a无解；当即a-4时，g(x)在-2,2上是减少的，g(x)在-2,2上的最小值为g(2)=7+a，因此解得-
9、7a-4；即-4a4时，g(x)在-2,2上的最小值为因此解得-4a2.综上所述，实数a的取值范围是-7a2.【互动探究】本例中，若对一切a-3，3，不等式f(x)a恒成立，那么实数x的取值范围是什么？【解析】不等式f(x)a即x2+ax+3-a0.令g(a)=(x-1)a+x2+3，要使g(a)0在-3,3上恒成立，只需解得x0或x-3.【拓展提升】恒成立问题的两种解法（1）更换主元法如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键即需要确定合适的变量或参数，能使函数关系更加清晰明朗一般思路为：将已知范围的量视为变量，而待求范围的量看作是参数，然后借助函数的单调性或其他方法进行求解
10、.（2）分离参数法如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值（或范围）来得到不等式恒成立时参数的取值范围.一般地，af(x)恒成立时，应有af(x)max，af(x)恒成立时，应有af(x)min.【变式备选】若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是()(A)(-,)(B)0,)(C)(+)(D)【解析】选B.依题意mx2+4mx+30对一切xR恒成立.当m=0时显然成立；当m0时应有=16m2-12m0，解得综上，实数m的取值范围是考向 3一元二次不等式的实际应用【典例3】汽车在行驶中,由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这
11、段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.问：甲、乙两车有无超速现象？【思路点拨】由甲、乙两车的实际刹车距离建立关于甲、乙两车车速的不等式，求出两车的实际车速然后判断是否超速.【规范解答】由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x212,即x2+10 x-1 2000,解得
12、x30或x-40（不符合实际意义,舍去）.这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过12 m,由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.对于乙车,有0.05x+0.005x210,即x2+10 x-2 0000,解得x40或x-50（不符合实际意义,舍去）.这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.【拓展提升】构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题，解题时，要仔细审题，认清题目的已知条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解.【变式训练】某产品生产厂家根据已往的生产销售经验得
13、到下面有关销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本固定成本生产成本)，销售收入R(x)满足假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律：（1）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时盈利最大？求此时每台产品的售价为多少？【解析】（1）设厂家纯收入为y万元，由题意G(x)x2，解得1x8.2，故当1x8.2时工厂有盈利（2）当0 x5时，y0.4x23.2x2.80.4(x4)23.6，当x4时，ymax3.6;当x5时，y8.253.2，当生产400台产品时盈利最大，此时R(4)-
14、0.4424.240.89.6，故每台产品的售价为【创新体验】不等式、函数、方程的交汇【典例】（2012江苏高考）已知函数f（x）=x2+ax+b（a,bR）的值域为0,+），若关于x的不等式f（x）c的解集为（m,m+6），则实数c的值为_【思路点拨】找准创新点将二次函数、一元二次方程、一元二次不等式交汇在一起考查它们之间的关系寻找突破口（1）由二次函数的值域可知其最小值，从而获得a,b的关系式（2）由不等式f(x)c的解集可知一元二次方程f(x)-c=0的两根是m和m+6（3）由一元二次方程根与系数的关系建立关于参数c，m的等式，消去m即得c的值（4）另一种思路是：将a,b的关系式代入原不
15、等式，直接求解不等式，得到其解集，解集的端点与m,m+6对应，消去m即得c的值【规范解答】方法一：由题意即a2-4b=0，所以不等式f(x)c可转化为由已知可得m,m+6为方程的两根，则=m2+6m+9-m2-6m=9.方法二：由题意即a2-4b=0，所以不等式f(x)0，且即不等式解集是于是因此故c=9.答案：9【思考点评】1.方法感悟：本题考查了函数、方程、不等式三者之间的内在联系，充分体现了一元二次不等式与一元二次方程根的关系在解题中的应用，即在解答中根据不等式f(x)c的解集为(m,m+6)，可得方程f(x)=c的两个根是m,m+6，从而可利用一元二次方程根与系数的关系求出c的值.2.
16、技巧提升：由于一元二次不等式的解法是通过二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的对应关系得到的，因此一元二次不等式的解集与相应方程的根有着密切的联系，已知不等式的解集，就可以得到方程的根.例如，如果不等式ax2+bx+c0）的解集是(,)，则必有a0（a0，即x2+3x-40，解得-4x320，即x2-8x+120，解得2xx2，集合M满足（MP）（MP），则集合M为()(A)x|x4或x1或x-4(C)x|-1x4 (D)x|-4xx2得x2-3x-40，解得-1x4，即P=x|-1x4.又因为（MP）（MP），所以MP=MP，从而必有M=P=x|-1x4.故选C.2.对于实数x，当nxn+1(nZ)时，规定x=n，则不等式4x2-36x+450的解集为()(A)x|2x8 (B)x|2x8(C)x|2x8 (D)x|2x8【解析】选A.令t=x，则不等式化为4t2-36t+450，解得而t=x，所以由x的定义可知x的取值范围是2x8，即不等式解集为x|2x0，令f(x)=x2-ax-1，所以要使BA，应满足即故
