1、第三节等 比 数 列1.等比数列及其相关概念等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的_的比都等于_常数公比等比数列定义中的_叫作等比数列的公比，常用字母q表示(q0)公式表示an为等比数列（nN+，q为非零常数）等比中项如果在a与b中插入一个数G，使得a,G,b成等比数列，那么称G为a，b的等比中项，且有G=_前一项同一个常数2.等比数列的通项公式若等比数列an的首项是a1,公比是q,则其通项公式为_.3等比数列的前n项和公式(1)当公比q=1时,Sn=_.(2)当公比q1时,Sn=_=_.an=a1qn-1(a10,q0)na1判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）满足a
2、n+1=qan（nN+，q为常数）的数列an为等比数列.()（2）G为a,b的等比中项G2=ab.()（3）如果an为等比数列，bn=a2n-1+a2n，则数列bn也是等比数列.()（4）如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列.()【解析】（1）错误.q=0时an不是等比数列.（2）错误.G为a,b的等比中项G2=ab；反之不真，如a=0,b=0,G=0.（3）错误.如数列1,-1,1,-1，.（4）错误.数列an中可能有小于零的项.答案：（1）（2）（3）（4）1在等比数列an中，a18，a464，则公比q为()(A)2 (B)3 (C)4 (D)8【解析】选A.由可得q=2.2
3、.在等比数列an中，a1=1，公比|q|1.若am=a1a2a3a4a5，则m=()(A)9 (B)10 (C)11 (D)12【解析】选C.am=qm-1，a1a2a3a4a5=q10，所以qm-1=q10，所以m=11.3.已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3=S6，则数列的前5项和为()(A)或5 (B)或5(C)(D)【解析】选C.9S3=S6，q1，即1+q3=9，解得q=2，由等比数列的性质知是以为首项，为公比的等比数列，则其前5项和为故选C4.已知an是等比数列，则a1a2+a2a3+anan+1=()(A)16(1-4-n)(B)16(1-2-n)(C)
4、(D)【解析】选C.由解得数列anan+1仍是等比数列，其首项是a1a2=8，公比为所以,故选C.5.设等比数列an的前n项和为Sn，若则=()(A)2 (B)(C)(D)3【解析】选B.设数列an的公比为q,则1q33q32,于是考向 1 等比数列的基本运算【典例1】（1）（2012新课标全国卷）已知an为等比数列，a4+a7=2,a5a6=-8，则a1+a10=()(A)7 (B)5 (C)-5 (D)-7（2）（2012辽宁高考）已知等比数列an为递增数列，且a52=a10,2(an+an+2)=5an+1，则数列an的通项公式an=_.【思路点拨】（1）根据a4+a7=2，a5a6=-
5、8,列方程组求出首项和公比的三次方，根据通项公式计算即可，或者根据等比数列的性质求解.（2）根据a52=a10,2(an+an+2)=5an+1列方程求出首项和公比，再代入等比数列通项公式得出结果.【规范解答】（1）选D.方法一：设数列an的公比为q.由题意，得或解得或当时，a1a10a1(1q9)1(2)37；当时，a1a10a1(1q9)(8)综上，a1a107.故选D.方法二：因为an为等比数列，所以a5a6=a4a7=-8，又a4+a7=2，所以a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4.根据等比数列性质，a1,a4,a7,a10也成等比数列.若a4=4,a7=-2，得a1=-8,a1
6、0=1，a1+a10=-7；若a4=-2,a7=4，得a10=-8,a1=1，仍有a1+a10=-7，综上选D.（2）a1=q,an=qn,2(an+an+2)=5an+1,2an(1+q2)=5anq,2(1+q2)=5q,解得q=2或（舍去），an=2n.答案：2n【拓展提升】1.等比数列基本运算方法（1）使用两个公式，即通项公式和前n项和公式.（2）使用通项公式的变形：an=amqn-m(m,nN+).2.等比数列前n项和公式的应用在使用等比数列前n项和公式时，应首先判断公比q能否为1，若能，应分q=1与q1两种情况求解.【变式训练】（1）（2013朝阳模拟）已知数列an是各项均为正数的
7、等比数列，若a2=2,2a3+a4=16,则an等于()(A)2n-2 (B)23-n(C)2n-1 (D)2n【解析】选C.设该等比数列的公比为q,则a3=2q,a4=2q2,由此得4q+2q2=16,即q2+2q-8=0，解得q=2或者q=-4（舍去），所以an=a2qn-2=2n-1.（2）在公比为整数的等比数列an中，若a1+a4=18,a2+a3=12,则该数列的前8项和等于()(A)510 (B)540 (C)570 (D)630【解析】选A.设公比为q，即即2q2-5q+2=0，由于q为整数，故得q=2，代入a1+a4=18，解得a1=2，故考向 2 等比数列的判定与证明【典例2
8、】已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85，证明数列an-1为等比数列，并求出数列an的通项公式.【思路点拨】通过已知关系式建立an,an+1之间的关系式，然后利用定义法证明,再求出数列an-1的通项公式,可得an的通项公式.【规范解答】由Sn=n-5an-85,nN+，可得：a1=S1=1-5a1-85，即a1=-14.同时Sn+1=(n+1)-5an+1-85 ，从而由-可得：an+1=1-5(an+1-an)，即从而an-1为等比数列，首项为a1-1=-15，公比为通项公式为从而【互动探究】把本例中“Sn=n-5an-85”改为“Sn=2an-2n”，试证明：an+1-2a
9、n是等比数列.【证明】因为a1=S1,2a1=S1+2，所以a1=2，由a1+a2=2a2-4得a2=6.由于Sn=2an-2n，故Sn+1=2an+1-2n+1，后式减去前式得an+1=2an+1-2an-2n，即an+1=2an+2n，所以an+2-2an+1=2an+1+2n+1-2(2an+2n)=2(an+1-2an)，因为a2-2a1=2,所以数列an+1-2an是首项为2,公比为2的等比数列.【拓展提升】等比数列的判断方法【提醒】只满足an+1=qan(q0)的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要a10.方法名称公式表达注意事项定义法任意nN+,q为非零常数中项法任意nN
10、+,实际上也是归结为定义通项法任意nN+,an=cqnc,q为非零常数,实质也是定义【变式备选】已知数列an的首项n=1,2,3,，证明数列是等比数列，并求an的通项公式.【解析】又数列是以为首项，为公比的等比数列此时即考向 3 等比数列的性质及应用【典例3】(1)设an是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z，则下列等式中恒成立的是()(A)X+Z=2Y (B)Y(Y-X)=Z(Z-X)(C)Y2=XZ (D)Y(Y-X)=X(Z-X)（2）设an是公比为q的等比数列，其前n项积为Tn，并满足条件给出下列结论：0q1；T1981；a99a1011；使Tn0及数列的
11、其他性质，逐个分析判断四个结论的对错.【规范解答】（1）选D.方法一：由于等比数列an中Sn=X,S2n=Y,S3n=Z，根据等比数列的概念，当公比不等于-1时，对应的Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列，即X,Y-X,Z-Y成等比数列，则有(Y-X)2=X(Z-Y)，即Y2-XY=XZ-X2，即Y(Y-X)=X(Z-X).当q=-1时，若Sn0，Sn,S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比数列，下解同q-1时；若Sn=0，则S2n-Sn=0,S3n-S2n=0,即X=Y=Z=0，D中等式成立.方法二：取特殊数列的方法，如取等比数列1,2,4，则X=1,Y=3,Z=7，显然X+Z=2Y
12、不成立，代入Y(Y-X)=Z(Z-X)得6=42，不成立，代入Y2=XZ得9=7，也不成立.故选D.（2）根据等比数列的概念，如果等比数列的公比是负值，则其连续两项的乘积是负值，根据a99a100-10，可知该等比数列的公比是正值，再根据可知，a99,a100一个大于1，一个小于1，而a11，所以数列不会是递增的，只能递减，所以0q1,a1001，故不正确；T199=a1a2a100a198a199=(a100)1990,q1或者a10,0q0,0q1或者a11常数列a10,q=1（2）项的性质：am-kam+k=am2(mk,m,kN+)；aman=akalm+n=k+l,aman=ak2m
13、+n=2k(m,n,k,l为正整数，公比q1).（3）和的性质：若其前n项和为Sn，则在q-1时，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,成等比数列.(4)其他性质：如果an为等比数列，根据等比数列的定义可知数列a2k-1,a2k,a3k-2,a3k-1,a3k等都是等比数列，其中kN+.【变式训练】（1）（2013合肥模拟）等差数列an的公差为3，若a2,a4,a8成等比数列，则a4=()(A)8 (B)10 (C)12 (D)16【解析】选C.设数列an的首项为a，则a2,a4,a8成等比数列，有即(a+9)2=(a+3)(a+21)a=3,a4=3+=12,故选C.（2）设a
14、n是首项大于零的等比数列，则“a1a2”是“数列an是递增数列”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选C.若已知a1a2，则设数列an的公比为q，因为0a1a2，所以有0a11,又a10，所以数列an是递增数列；反之，若数列an是递增数列且a10，则公比q1，所以a1a1q，即a1a2，所以a10,a320，所以由基本不等式可得a12+a322a1a3=2a22；选项C中的结论不正确，由a1=a3可得q=1.当q=1时，a1=a2；当q=-1时，a2=-a1；选项D中的结论不正确，因为a4=a3q,a2=a1q，所以当q0时，a
15、4a2；当q0时，a4a2.5.（2012浙江高考）设公比为q（q0）的等比数列an的前n项和为Sn.若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=_.【解析】由S2=3a2+2，S4=3a4+2相减可得a3+a4=3a4-3a2，同除以a2可得2q2-q-3=0，解得或q=-1,因为q0，所以答案：1.已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足(a0,且a1)，且f(x)g(x)f(x)g(x)，若有穷数列的前n项和等于则n等于()(A)4 (B)5 (C)6 (D)7【解析】选B.令则故函数h(x)为减函数，即0a1再根据得解得a=2（舍去）或者则数列的前n项和是由于所以n=52.在等比数列an中，0a1a4=1，若集合则集合A中元素的个数为_【解析】设数列an的公比为q，则a1q3=1，根据0a11集合中的不等式即即化简整理得又a1=q-3，所以qn-7 1，即n-70，即n7，由于n是正整数，故集合A中有7个元素答案：7
