1、第八节 正弦定理、余弦定理的应用举例1.三角形的面积公式（1）（h表示边a上的高）.（2）（3）(r为三角形的内切圆半径).2.实际问题中的有关概念(1)仰角和俯角:在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图）.上方(2)方位角:从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图).(3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图)(i)北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；(ii)北偏西即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；(iii)南偏西等其他方向角类似.(4)坡角与坡度：坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角为坡角)；坡度:坡面的铅
2、直高度与水平长度之比(如图，i为坡度).坡度又称为坡比.3.用正、余弦定理解应用题的一般步骤（1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清所给量之间的关系.（2）根据题意画出示意图，将实际问题转化为解三角形的问题.（3）选择正弦定理或余弦定理解三角形.（4）将三角形的解还原为实际问题，解题时要注意实际问题中的单位、近似计算等要求.判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.(1)面积公式中其实质就是面积公式(h为相应边上的高)的变形.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.()（4）方位角大小的范
3、围是0,2)，方向角大小的范围一般是()(5)仰角、俯角、方位角的主要区别在于参照物不同.()【解析】（1）正确.如即为边a上的高.（2）错误.俯角是视线与水平线所构成的角.（3）正确.方位角与方向角均是确定观察点与目标点之间的位置关系的.（4）正确.方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，故大小的范围为0,2)，而方向角大小的范围由定义可知为(5)正确.由仰角、俯角、方位角的定义知，仰角、俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的.答案：(1)（2）(3)(4)(5)1.在ABC中,则SABC的值为()【解析】选C.由已知得2.在ABC中,则cos A等于()【解析】选
4、D.由已知得得，即故3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的方向为()(A)北偏西5(B)北偏西10(C)北偏西15(D)北偏西20【解析】选B.由已知ACB180406080，又ACBC，AABC50，605010，灯塔A位于灯塔B的北偏西10.4.已知A，B两地的距离为10 km,B，C两地的距离为20 km,现测得ABC=120，则A，C两地的距离为_km.【解析】如图所示，由余弦定理可得：AC2=100+400-21020cos 120=700，答案：5.某运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度
5、为15的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30,第一排和最后一排的距离为米(如图所示),则旗杆的高度为米.【解析】如图所示,依题意可知AEC=45,ACE=180-60-15=105,EAC=180-45-105=30.由正弦定理可知AC=sinCEA=(米),在RtABC中,AB=ACsinACB=30(米).即旗杆的高度为30米.答案:30考向 1与三角形面积有关的问题【典例1】（1）（2013中山模拟）已知O为ABC内一点，满足且则OBC的面积为()（2）（2013黄山模拟）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，设S为ABC的面积，满足则角A的最
6、大值是()（3）(2013北京模拟)已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,角A是锐角,且b=2asinB.求角A的度数;若a=7,ABC的面积为,求ABC的周长.【思路点拨】（1）先确定O点的位置，可知O为ABC的重心，再利用向量关系求得ABC面积即可求得SOBC.（2）由余弦定理及面积公式可得tan A的范围，再求最大值.（3）利用正弦定理得角A,再利用余弦定理得b+c,从而可求周长.【规范解答】（1）选B.由可知O为ABC的重心，故由得cbcos BAC=2,又故bc=4,故（2）选B.由得tan A1,又角A的最大值为(3)由已知得由正弦定理得sin A=.又A为锐角,
7、故A=由余弦定理得cos A=即b2+c2-49=bc,由bcsin A=得bc=40,故b2+c2=89,得(b+c)2=169.又b0,c0,b+c=13,故ABC的周长为20.【互动探究】若将本例题(1)中“”改为“O为ABC中线AD的中点”，其他条件不变，则OBC的面积又该如何求解?【解析】由得cbcos A=2.又bc=4,又O为ABC中线AD的中点,故【拓展提升】三角形的面积公式已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，ha,hb,hc分别为边a,b,c上的高.（1）已知一边和这边上的高:（2）已知两边及其夹角：（3）已知三边：其中（4）已知三边和外接圆半径R，则【变式备选
8、】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知(1)求的值.(2)若求ABC的面积S.【解析】(1)方法一:在ABC中，由及正弦定理可得即cos Asin B-2cos Csin B=2sin Ccos B-sin Acos B，则cos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos B+2cos Csin B，sin(A+B)=2sin(C+B)，而A+B+C=，则sin C=2sin A，即方法二：在ABC中，由可得，bcos A-2bcos C=2ccos B-acos B，由余弦定理可得整理可得c=2a.由正弦定理可得(2)由c=2a及可得4=c2+a2-2acco
9、s B=4a2+a2-a2=4a2,则a=1，c=2，即考向 2测量距离问题【典例2】（1）（2013聊城模拟）如图,设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧的河岸边选定一点C，测出AC的距离是50 m，ACB=45，CAB=105后，就可以计算出A，B两点的距离为()(2)（2013马鞍山模拟）甲船在岛A的正南B处，以4 km/h的速度向正北方向航行，AB=10 km,同时乙船自岛A出发以6 km/h的速度向北偏东60的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()(3)在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若CAB=75，CBA=60,则A，C两点之间的距离为_千米.【思路点
10、拨】（1）先求得ABC，再利用正弦定理可解.（2）画出图形，利用余弦定理求出两船间的距离，再用二次函数知识求最值即可.（3）利用已知条件求得ACB，再利用正弦定理求解.【规范解答】(1)选A.由ACB=45，CAB=105,得ABC=30,由正弦定理得(2)选A.如图，设经过t h甲船航行到C处，乙船航行到D处.在ACD中，AC=10-4t,AD=6t,由余弦定理得CD2=(10-4t)2+(6t)2-2(10-4t)6tcos 120=28t2-20t+100.故当时,CD2有最小值，即两船之间的距离最短.(3)由CAB=75,CBA=60,得ACB=180-75-60=45.由正弦定理得即
11、（千米）.答案：【互动探究】若将本例（1）中A，B两点放到河岸的同侧，但不能到达，在对岸的岸边选取相距km的C，D两点，同时，测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，C，D在同一平面内)，则A，B两点之间的距离又如何求解?【解析】如图所示，在ACD中，ADC30，ACD120，CAD30，在BDC中，CBD180457560.由正弦定理得在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosBCA，即即两点A，B之间的距离为【拓展提升】解决距离问题的技巧解决此类问题的实质就是解三角形，一般都离不开正弦定理和余弦定理.在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题
12、转化为三角形问题去求解.解题时要注意：基线的选取要恰当、准确;选取的三角形及正、余弦定理要恰当.【变式备选】如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【解析】由题意知海里，DBA=90-60=30,DAB=90-45=45，ADB=180-(45+30)=105.在ABD中，由正弦定理得(海里).又DBC=DBA+ABC=30+(90-60)=60，海里，在DBC中，由余弦定理得CD2=BD2+BC
13、2-2BDBCcosDBCCD=30海里.故所需时间（小时）.故救援船到达D点需要1小时.考向 3测量高度、角度问题【典例3】(1)(2013鹰潭模拟）如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC=45，则塔AB的高是_米.(2)(2013西安模拟）如图，在某港口A处获悉，其正东方向20海里B处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西30据港口10海里的C处，救援船接到救援命令立即从C处沿直线前往B处营救渔船.求接到救援命令时救援船距渔船的距离；试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方
14、向沿直线前往B处救援？【思路点拨】（1）先求出BCD，在BCD中，由正弦定理求得BC，然后在RtABC中求AB.(2)在ABC中，由余弦定理求BC；在ABC中，由正弦定理求得sin ACB,然后根据确定出ACB的大小，最后确定方向角.【规范解答】(1)在BCD中，CD=10，BDC=45，BCD=15+90=105，DBC=30，在RtABC中，(米）.答案：(2)由题意得:ABC中，AB=20，AC=10，CAB=120，由余弦定理得CB2=AB2+AC2-2ABACcosCAB,即CB2=202+102-22010cos 120=700,即接到救援命令时救援船距渔船的距离为海里.ABC中，
15、由正弦定理得即所以救援船应沿北偏东71的方向前往B处救援.【拓展提升】处理高度问题的注意事项(1)在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.【提醒】高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合.【变式训练】要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，
16、CD40 m，求电视塔的高度.【解析】如图，设电视塔AB的高为x m，则在RtABC中，由ACB45得BCx.在RtABD中，由ADB30，得在BDC中，由余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos 120，即解得x40，电视塔高为40米.【满分指导】三角形中面积公式的应用【典例】（12分）（2012江西高考）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，已知（1）求证：（2）若求ABC的面积.【思路点拨】已知条件条件分析利用正弦定理边化角再展开整理可证利用B+C=-A和已知条件得B，C，利用正弦定理得b，c，进而可求面积【规范解答】（1）由应用正弦定理，得 3分整理得sin Bcos
17、C-cos Bsin C=1,即sin(B-C）=1,5分由于从而 6分（2）由（1）知因此8分由得 10分所以ABC的面积12分【失分警示】(下文见规范解答过程)1.(2013抚州模拟)某人向正东方向走xkm后,向右转150,然后朝新方向走3km,结果他离出发点的距离恰好是km,那么x的值为()【解析】选C.如图所示,设此人从A出发,则AB=x,BC=3,AC=,ABC=30,由余弦定理得()2=x2+32-2x3cos30,整理得x2-x+6=0,解得x=或.2.(2013蚌埠模拟）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且满足则ABC的面积为()(A)2 (B)4 (C)6 (
18、D)8【解析】选A.故又3.(2013淮北模拟）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的海拔高度为18 km,速度为1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30，经过1 min后又看到山顶的俯角为75，则山顶的海拔高度为（精确到0.1 km)()(A)11.4 km(B)6.6 km(C)6.5 km(D)5.6 km【解析】选B.航线离山顶的距离山顶的海拔高度为18-11.4=6.6(km).4.(2013铜川模拟）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶
19、渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处.（1）求渔船甲的速度.（2）求sin 的值.【解析】(1)依题意知，BAC=120，AB=12（海里），AC=102=20(海里），BCA=,在ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=122+202-21220cos 120=784.解得BC=28（海里）.所以渔船甲的速度为(海里/时).（2）在ABC中，因为AB=12（海里），BAC=120，BC=28（海里），BCA=,由正弦定理，得即5.(2012新课标全国卷)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,acosC+asinC-b-c=0.(1)求A.(2)
20、若a=2,ABC的面积为,求b,c.【解析】(1)由正弦定理得：acos C+asin C-b-c=0sin Acos C+sin Asin C=sin B+sin Csin Acos C+sin Asin C=sin(A+C)+sin Csin A-cos A=1sin(A-30)=A-30=30A=60.(2)S=bcsin A=bc=4,a2=b2+c2-2bccos Ab2+c2=8,又bc=4,解得:b=c=2.1.已知ABC的面积为则ABC的周长等于()【解析】选A.由题意知又由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即a2+c2=5,(a+c)2=a2+c2+2ac=9，a+c=3，ABC的周长为2.如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东角，前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围n海里范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行，当与满足条件_时，该船没有触礁危险.【解析】由题可知，在ABM中，根据正弦定理得解得要使该船没有触礁危险需满足所以当与的关系满足mcos cos nsin(-)时，该船没有触礁危险.答案：mcos cos nsin(-)
