1、第十二节导数在实际问题中的应用及综合应用考向 1利用导数解决实际生活中的优化问题【典例1】（2013黄山模拟）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式其中3xf(x)，对任意正实数a，则下列式子成立的是()（A）f(a)eaf(0)（B）f(a)eaf(0)（C）（D）(2)(2012辽宁高考)设f(x)=ln(x+1)+ax+b(a,bR,a,b为常数)，曲线y=f(x)与直线y=在(0,0)点相切.求a,b的值.证明:当0 x0.g(a)g(0)，即即f(a)eaf(0)(2)由yf(x)过(0,0)点，得b1.由yf(x)在
2、(0,0)点的切线斜率为又得a0.方法一：由基本不等式，当x0时，故记则令g(x)(x6)3216(x1)，则当0 x2时，g(x)3(x6)22160.因此g(x)在(0,2)上是减少的，又由g(0)0，得g(x)0，所以h(x)0.因此h(x)在(0,2)上是减少的，又h(0)0，得h(x)0.于是当0 x2时，f(x)m).当m0时，方程f(x)=0有唯一一个实根；当m0时，方程f(x)=0有两个实根；当m0时，方程f(x)=0有三个实根；当M0时，方程f(x)=0有两个实根；当M0时，方程f(x)=0有一个实根.【变式备选】（2013安庆模拟）已知函数f(x)=x3-3ax-1,a0.
3、(1)求f(x)的单调区间.(2)若f(x)在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f(x)的图像有三个不同的交点，求实数m的取值范围.【解析】（1）f(x)=3x2-3a=3(x2-a),当a0时，对xR，有f(x)0,故当a0时，f(x)的递增区间为(-,+),当a0时，由f(x)0解得或由f(x)0解得故当a0时，f(x)的递增区间为f(x)的递减区间为（2）因为f(x)在x=-1处取得极值，所以f(-1)=3(-1)2-3a=0,a=1.所以f(x)=x3-3x-1,f(x)=3x2-3,由f(x)=0解得x1=-1,x2=1.由（1）中f(x)单调性可知，f(x)在x=-1处取得极大值
4、f(-1)=1，在x=1处取得极小值f(1)=-3.因为直线y=m与函数y=f(x)的图像有三个不同的交点，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(-3,1).【满分指导】导数综合问题的规范解答【典例】（12分）（2012山东高考）已知函数f(x)=(k为常数，e=2.718 28是自然对数的底数)，曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行.(1)求k的值.(2)求f(x)的单调区间.(3)设g(x)=(x2+x)f(x)，其中f(x)为f(x)的导函数.证明：对任意x0,g(x)1+e-2.【思路点拨】已 知 条 件条 件 分 析曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴
5、平行得出f(1)=0即可求出k的值f(x)=求出f(x)及f(x)=0的根，再判断f(x)的符号g(x)=(x2+x)f(x)直接求g(x)的最值困难，可对g(x)放缩后，再求最值【规范解答】(1)由f(x)=得x(0,+)，得2分由曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行可知f(1)=解得k=1.3分(2)f(x)=令f(x)=0可得x=1，4分当0 x1时，f(x)=于是f(x)在区间(0，1)上是增加的；在(1，+)上是减少的.6分(3)g(x)=(x2+x)f(x)=(x+1),x(0,+)，因此，对任意x0,g(x)1+e-2等价于1-x-xln x0,h(x)是增加的；
6、当x(e-2,+)时，h(x)0,(x)是增加的,(x)(0)=0,故x(0,+)时，(x)=ex-(x+1)0,即11分所以1-x-xln x1+e-20,g(x)0.(1)求a的值.(2)若对任意的x0,+)，有f(x)kx2成立，求实数k的最小值.(3)证明【解析】(1)f(x)的定义域为(-a，+).f(x)=由f(x)=0,得x=1-a-a.当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如表:x(-a，1-a)1-a(1-a，+)f(x)-0+f(x)极小值因此，f(x)在x=1-a处取得最小值，故由题意f(1-a)=1-a=0，所以a=1.(2)当k0时，取x=1，有f(1)=1-ln2
7、0，故k0不合题意.当k0时，令g(x)=f(x)-kx2，即g(x)=x-ln(x+1)-kx2，g(x)=令g(x)=0,得当时，在(0,+)上恒成立,因此g(x)在0,+)上是减少的.从而对于任意的x0，+)，总有g(x)g(0)=0，即f(x)kx2在0，+)上恒成立.故k 符合题意.当0k时，对于故g(x)在(0,)上是增加的.因此当取x0(0,)时，g(x0)g(0)=0,即不成立，故不合题意.综上，k的最小值为(3)当n=1时，不等式左边=2-ln32=右边.所以不等式成立，当n2时，在(2)中取得f(x)(x0)，从而所以有综上，1.函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)2，
8、f(x)1，则不等式f(x)x0的解集为_.【解析】令g(x)f(x)x，g(x)f(x)1，由题意知g(x)0，g(x)是增加的，g(2)f(2)20，g(x)0的解集为(2，)答案：(2，)2设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图像分别交于点M,N，则当|MN|达到最小时t的值为_.【解析】由题意知|MN|=x2-ln x,x0,不妨令h(x)=x2-ln x，则令h(x)=解得x=因x(0,)时，h(x)0，当x(,+)时，h(x)0,所以当x=时，|MN|达到最小此时t=答案：3.设a0，函数f(x)=x+g(x)=x-ln x，若对任意的x1，x21,e,都有f(x1)g(x2)成立，则实数a的取值范围为_.【解析】只需满足f(x)ming(x)max即可 所以函数g(x)在1,e上是增加的，g(x)max=g(e)=e-1.由得x=a.当0a1时，函数f(x)在1,e上是增加的,此时f(x)min=f(1)=a2+1,解得当1ae时，函数f(x)在(1,a)上是减少的，在(a,e)上是增加的,此时f(x)min=f(a)=2a,解得1ae;当ae时，函数f(x)在1,e上是减少的，此时解得ae.综上,答案：
