1、2.3数学归纳法基本练习夯基一、选择题1(2015海南市文昌中学高二期中)用数学归纳法证明1(nN)，在验证n1时，左边的代数式为()A. B.C.D1答案A解析在1(nN)中，当n1时，3n14，故n1时，等式左边的项为：，故选A.2(2015郑州市登封高二期中)用数学归纳法证明1aa2an1(nN*，a1)，在验证n1时，左边所得的项为()A1B1aa2C1aD1aa2a3答案B解析因为当n1时，an1a2，所以此时式子左边1aa2.故应选B.3(2015承德市存瑞中学高二期中)用数学归纳法证明123252(2n1)2n(4n21)过程中，由nk递推到nk1时，不等式左边增加的项为()A(
2、2k)2B(2k3)2C(2k2)2D(2k1)2答案D解析用数学归纳法证明123252(2n1)2n(4n21)的过程中，第二步，假设nk时等式成立，即123252(2k1)2k(4k21)，那么，当nk1时，123252(2k1)2(2k1)2k(4k21)(2k1)2，等式左边增加的项是(2k1)2，故选D.4对于不等式n1(nN)，某学生的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设nk(kN)时，不等式成立，即k1，则nk1时，n2Bn3时，2nn2Cn4时，2nn2Dn5时，2nn2答案D解析当n1时，2112，即2nn2；当n2时，2222，即2nn2；当n3时，23
3、32，即2n52，即2nn2；当n6时，2662，即2nn2；猜想当n5时，2nn2；下面我们用数学归纳法证明猜测成立，(1)当n5时，由以上可知猜想成立，(2)设nk(k5)时，命题成立，即2kk2，当nk1时，2k122k2k2k2k2k2(2k1)(k1)2，即nk1时，命题成立，由(1)和(2)可得n5时，2nn2；故当n2或4时，2nn2；n3时，2nn2.故选D.点评此题考查的知识点是整数问题的综合应用，解答此题的关键是从特例入手猜测探究，然后用数学归纳法证明猜测成立12设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_.()A2BC.D答案B解析将k1边形A1
4、A2AkAk1的顶点A1与Ak相连，则原多边形被分割为k边形A1A2Ak与三角形A1AkAk1，其内角和f(k1)是k边形的内角和f(k)与A1AkAk1的内角和的和，故选B.13(20142015揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开()A(k3)3B(k2)3C(k1)3D(k1)3(k2)3答案A解析因为从nk到nk1的过渡，增加了(k1)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k3)3展开，证明余下的项9k227k27能被9整除14(2014合肥一六八中高二期中)观察下列各式：已知ab1，a2b23，
5、a3b34，a4b47，a5b511，则归纳猜测a7b7()A26B27C28D29答案D解析观察发现，134,347,4711,71118,111829，a7b729.二、填空题15用数学归纳法证明“2n1n2n2(nN*)”时，第一步的验证为_答案当n1时，左边4，右边4，左右，不等式成立解析当n1时，左右，不等式成立，nN*，第一步的验证为n1的情形16对任意nN*,34n2a2n1都能被14整除，则最小的自然数a_.答案5解析当n1时，36a3能被14整除的数为a3或5，当a3时且n3时，31035不能被14整除，故a5.三、解答题17在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且
6、每三条直线都不相交于同一点求证：这n条直线将它们所在的平面分成个区域证明(1)n2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立(2)假设当nk(k2)时，k条直线将平面分成块不同的区域，命题成立当nk1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k1块从而k1条直线将平面分成k1块区域所以nk1时命题也成立由(1)(2)可知，原命题成立18(1)用数学归纳法证明：12223242(1)n1n2(1)n1(nN*)(2)求证：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1
7、)(nN*)解析(1)当n1时，左边121，右边(1)01，左边右边，等式成立假设nk(kN*)时，等式成立，即12223242(1)k1k2(1)k1.则当nk1时，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)k(k1)(1)k.当nk1时，等式也成立，根据、可知，对于任何nN*等式成立(2)n1时，左边12223，右边3，等式成立假设nk时，等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)2.当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1时，等式也成立由得，等式对任何nN*都成立