1、5.1平面向量的概念及线性运算1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba. (2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向
2、量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab3.共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关()(3)已知两向量a，b，若|a|1，|b|1，则|ab|2.()(4)ABC中，D是BC中点，则()()(5)向量与向量是共线向量，则A，B，C，
3、D四点在一条直线上()(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立()2(2012四川)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()Aab BabCa2b Dab且|a|b|答案C解析表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有，观察选项易知C满足题意3已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且20，那么()A. B.2C.3 D2答案A解析由20可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故.4已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足0，则实数的值为_答案2解析如图所示，由，且0，则P是以AB、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此2，
4、则2.5设a、b是两个不共线向量，2apb，ab，a2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为_答案1解析2ab，又A、B、D三点共线，存在实数，使.即，p1.题型一平面向量的概念辨析例1给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是_思维启迪正确理解向量的概念，向量共线和点共线的区别，向量相等的定义是解题关键答案解析不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，|且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABC
5、D为平行四边形，则且|，因此，.故“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件正确ab，a，b的长度相等且方向相同；又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故“|a|b|且ab”不是“ab”的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.思维升华(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈(4)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量给出下列命题：两个具
6、有公共终点的向量，一定是共线向量两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小a0(为实数)，则必为零，为实数，若ab，则a与b共线其中错误命题的个数为()A1 B2 C3 D4答案C解析错误两向量共线要看其方向而不是起点与终点正确因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误当a0时，不论为何值，a0.错误当0时，ab，此时，a与b可以是任意向量题型二平面向量的线性运算例2(1)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么等于()A.B.C.D.(2)在ABC中，c，b，若点D满足2，则等于()A.bc B.cbC.bc D.b
7、c思维启迪结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减法运算的关键答案(1)D(2)A解析(1)在CEF中，有.因为点E为DC的中点，所以.因为点F为BC的一个三等分点，所以.所以，故选D.(2)2，22()，32，bc.思维升华(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果(1)已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足20，则等于()A2 B2C. D(2)设P是ABC所在平面内的一点，2，则()A.0 B
8、.0C.0 D.0答案(1)A(2)B解析(1)由20得220，22.(2)如图，根据向量加法的几何意义有2P是AC的中点，故0.题型三共线向量定理及应用例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线思维启迪解决点共线或向量共线的问题，要结合向量共线定理进行(1)证明ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.、共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线(2)解kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是不共线的两个非零向量，
9、kk10，k210.k1.思维升华(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，否则向量a、b不共线(1)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若a，b，则等于()A.ab B.abC.ab D.ab(2)已知向量a、b、c中任意两个都不共线，并且ab与c共线，bc与a共线，那么abc等于()Aa Bb Cc D0答案(1)B(2)D解析(1)如图，由题意知，
10、DEBE13DFAB，ab(ab)ab.(2)ab与c共线，ab1c.又bc与a共线，bc2a.由得：b1ca.bc1cac(11)ca2a，即，abccc0.方程思想在平面向量的线性运算中的应用典例： (12分)如图所示，在ABO中，AD与BC相交于点M，设a，b.试用a和b表示向量.思维启迪(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去(2)既然能用a、b表示，那我们不妨设出manb.(3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解规范解答解设manb，则manba(m1)anb.ab.3分又A、M、D三点共线，与共线存在实数t，使得t，即(m
11、1)anbt.5分(m1)anbtatb.，消去t得，m12n，即m2n1.7分又manbaanb，baab.又C、M、B三点共线，与共线10分存在实数t1，使得t1，anbt1，消去t1得，4mn1.由得m，n，ab.12分温馨提醒(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧如本题易忽视A、M、D三点共线和B、M、C三点共线这
12、个几何特征(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.方法与技巧1向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”2可以运用向量共线证明线段平行或三点共线如且AB与CD不共线，则ABCD；若，则A、B、C三点共线失误与防范1解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的
13、相反向量，导致错误.A组专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1下列命题中正确的是()Aa与b共线，b与c共线，则a与c也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行答案C解析由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设a与b不都是非零向量，即a与b中至少有一个是零
14、向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a与b共线，符合已知条件，所以有向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，故选C.2已知a2b，5a6b，7a2b，则下列一定共线的三点是()AA、B、C BA、B、DCB、C、D DA、C、D答案B解析2a4b2A、B、D三点共线3已知ABC和点M满足0，若存在实数m使得m成立，则m等于()A2 B3 C4 D5答案B解析由已知条件得.如图，因此延长AM交BC于D点，则D为BC的中点延长BM交 AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E、F分别为AC、AB的中点，即M为ABC的重心()，即3，则m3.4已知点O为ABC外接圆的圆心，且0，则ABC的内角A
15、等于()A30 B60 C90 D120答案B解析由0，知点O为ABC的重心，又O为ABC外接圆的圆心，ABC为等边三角形，A60.5在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则等于()A1 B. C. D.答案D解析，2，即.故.二、填空题6设向量e1，e2不共线，3(e1e2)，e2e1，2e1e2，给出下列结论：A，B，C共线；A，B，D共线；B，C，D共线；A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为_答案解析4e12e2，3e1，由向量共线的充要条件ba(a0)可得A，C，D共线，而其他无解7在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_.(用a，b
16、表示)答案ab解析由3得(ab)，ab，所以(ab)ab.8在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则_.答案解析由图知，且20.2得：32，.三、解答题9已知向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1、e2不共线，向量c2e19e2.问是否存在这样的实数、，使向量dab与c共线？解d(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使dkc，即(22)e1(33)e22ke19ke2，即得2.故存在这样的实数、，只要2，就能使d与c共线10. 如图所示，在ABC中，D、F分别是BC、AC的中点， a，b.(1)用a、b表示向量，；(2)求证：B，E，F
17、三点共线(1)解延长AD到G，使，连接BG，CG，得到ABGC，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)ba(b2a)(2)证明由(1)可知，因为有公共点B，所以B，E，F三点共线B组专项能力提升(时间：30分钟)1设O在ABC的内部，D为AB的中点，且20，则ABC的面积与AOC的面积的比值为()A3 B4 C5 D6答案B解析D为AB的中点，则()，又20，O为CD的中点，又D为AB中点，SAOCSADCSABC，则4.2O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足： ，0，)，则P的轨迹一定通过ABC的()A外心 B内心C重心 D垂心答案B解析作BAC的平
18、分线AD.， (0，)，.P的轨迹一定通过ABC的内心3.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若m，n，则mn的值为_答案2解析O是BC的中点，()又m，n，.M，O，N三点共线，1.则mn2.4设a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，tR，t为何值时，a，tb，(ab)三向量的终点在一条直线上？解设a，tb，(ab)若A，B，C三点共线，则有，()，tba(ab)a化简整理得，(1)a(t)b，a与b不共线，由平面向量基本定理得且t.故当t时，a，tb，(ab)三向量的终点在一条直线上5已知O，A，B是不共线的三点，且mn(m，nR)(1)若mn1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：mn1.证明(1)若mn1，则m(1m)m()，m()，即m，与共线又与有公共点B，则A、P、B三点共线，(2)若A，P，B三点共线，则存在实数，使，()又mn.故有m(n1)，即(m)(n1)0.O，A，B不共线，不共线，mn1.
