1、考点规范练45二项式定理一、基础巩固1.x(1+x)6的展开式中x3的系数为()A.30B.20C.15D.10答案:C解析:因为(1+x)6的展开式的第(k+1)项为Tk+1=C6kxk,所以x(1+x)6的展开式中x3的项为C62x3=15x3,所2.设n为正整数,x-1xx2n的展开式中存在常数项,则n的一个可能取值为()A.16B.10C.4D.2答案:B解析:因为x-1xx2n展开式的通项公式为Tk+1=C2nkx2n-k-1xxk=C2nk(-1)kx4n-5k2,令4n-5k2=0,得k=4n5,所以n可取10.3.(4x-2-x)6(xR)展开式中的常数项是()A.-20B.-
2、15C.15D.20答案:C解析:设展开式中的常数项是第(k+1)项,则Tk+1=C6k(4x)6-k(-2-x)k=C6k(-1)k212x-2kx2-kx=C6k(-1)k212x-3kx.令12x-3kx=0,解得k=4,故常数项为T5=C64(-1)4=15.4.若(1+3)4=a+b3(a,b为有理数),则a+b等于()A.36B.46C.34D.44答案:D解析:(1+3)4=1+C413+C42(3)2+C43(3)3+(3)4=28+163,由题设可得a=28,b=16,故a+b=44.5.已知数列an为等差数列,且满足a1+a5=90.若(1-x)m展开式中x2项的系数等于数
3、列an的第三项,则m的值为()A.6B.8C.9D.10答案:D解析:由题意,a3=a1+a52=902=45,(1-x)m展开式中x2项的系数为Cm2,所以Cm2=45,m=10.6.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是()A.74B.121C.-74D.-121答案:D解析:展开式中含x3项的系数为C53(-1)3+C63(-1)3+C73(-1)3+C83(-1)3=-121.7.使3x+1xxn(nN*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4B.5C.6D.7答案:B解析:Tr+1=Cnr(3x)n-r1xxr=Cnr3n-rxn-
4、52r,当Tr+1是常数项时,有n-52r=0,故选B.8.已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+a11x10.若数列a1,a2,a3,ak(1k11,kZ)是一个单调递增数列,则k的最大值是()A.6B.7C.8D.5答案:A解析:由二项式定理知an=C10n-1(n=1,2,3,11).又(x+1)10展开式中二项式系数最大项是第6项,故a6=C105,则k的最大值为6.9.二项式2x-1x6的展开式中的常数项为.答案:-160解析:二项式2x-1x6的通项为Tr+1=C6r(2x)6-r-1xr=(-1)rC6r26-rx3-r,令3-r=0,则r=3.故(-1)3C6323=-2
5、08=-160.10.若ax2+1x5的展开式中x5的系数是-80,则实数a=.答案:-2解析:因为Tr+1=C5r(ax2)5-r1xr=C5ra5-rx10-5r2,所以由10-5r2=5,解得r=2.因此C52a5-2=-80,解得a=-2.11.设(x-2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a5(x+1)5,则a1+a2+a5=.答案:211解析:将(x-2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a5(x+1)5化为(x+1)-35=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a5(x+1)5,令x+1=0,得a0=-35,令x+1=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5
6、=-25,则a1+a2+a3+a4+a5=-25+35=211.12.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x3的系数为5,则实数a=.答案:-12解析:(1+x)5=1+C51x+C52x2+C53x3+C54x4+C55x5,(1+ax)(1+x)5的展开式中x3的系数为aC52+C53=5,即10a+10=5,解得a=-12.二、能力提升13.若x+ax2x-1x5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为()A.-40B.-20C.20D.40答案:D解析:在x+ax2x-1x5中,令x=1,得(1+a)(2-1)5=2,即a=1.原式=x2x-1x5+1x2x-1x5,故常数
7、项为xC53(2x)2-1x3+1xC52(2x)3-1x2=-40+80=40.14.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+a12x12,则a2+a4+a12=()A.256B.364C.296D.513答案:B解析:令x=1,则a0+a1+a2+a12=36,令x=-1,则a0-a1+a2-+a12=1,由+,可得a0+a2+a4+a12=36+12.令x=0,则a0=1,故a2+a4+a12=36+12-1=364.15.(多选题)对于二项式1x+x3n(nN*),以下判断正确的有()A.存在nN*,使展开式中有常数项B.对任意nN*,展开式中没有常数项C.对任意nN*,展开式中
8、没有x的一次项D.存在nN*,使展开式中有x的一次项答案:AD解析:该二项展开式的通项为Tr+1=Cnr1xn-r(x3)r=Cnrx4r-n,故当n=4r时,展开式中存在常数项,A选项正确,B选项错误;当n=4r-1时,展开式中存在x的一次项,D选项正确,C选项错误.故选AD.16.已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=,a5=.答案:164解析:由二项式展开式可得通项公式为C3rx3-rC2mx2-m2m,分别取r=3,m=1和r=2,m=2可得a4=4+12=16,令x=0可得a5=1322=4.17.若x9=a0+a1(x-1)+
9、a2(x-1)2+a9(x-1)9,则a1+a3+a5+a7+a9a7的值为.答案:649解析:令x=2,得29=a0+a1+a2+a8+a9,令x=0,得0=a0-a1+a2-+a8-a9,所以a1+a3+a5+a7+a9=a0+a2+a4+a6+a8=28.又x9=1+(x-1)9,其中T8=C97(x-1)7,所以a7=C97=36,故a1+a3+a5+a7+a9a7=25636=649.三、高考预测18.已知二项式x2+1xn的展开式的二项式系数之和为32,则展开式中含x项的系数是.答案:10解析:由题意可得,2n=32n=5,所以Tr+1=C5r(x2)5-r1xr=C5rx10-3r,令10-3r=1r=3,所以展开式中含x项的系数是10.
