1、整除(一)定义：整数a除以整数b(b0)，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除(也可以说b能整除a)，记作b|a。如15能被3整除，记作3|15；24能被2整除，记作2|24。性质：性质1：如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除。性质2：如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除。性质3：如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除。性质4：如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除。性质5：如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除。性质6：如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么
2、ac也能被bd整除。特殊数的整除特征：能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8能被5整除的数的特征：个位是0或5能被3(或9)整除的数的特征：各个数位数字之和能被3(或9)整除能被4(或25)整除的数的特征：末两位数能被4(或25)整除能被8(或125)整除的数的特征：末三位数能被8(或125)整除能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(大减小)是11的倍数能被7(11或13)整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被7(11或13)整除例1一个六位数，它能够被9和11整除。去掉这个六位数的首、尾两个数字，
3、中间的四个数字是1997，那么这个六位数是多少？例2一个七位数是33的倍数，那么abc( )。例3一个七位数2058XYZ，能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，则 XYZ( )例4一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数” 。现已知一个十全数能被1，2，3，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是_。例5一个三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一列，中间的一个是_。例6把三位数接连重复写下去，共写1993个，所得的数恰是91的倍数，试求？测试题1要使能被36整除，而且所得的商最小，那么A、B、C分别是多少？2173是一个四位数。数
4、学老师说：“我在其中的方框内中先后填入3个数字，所得到的3个四位数：依次可被9，11，6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？3如果六位数1992能被105整除，那么它的最后两位数是多少？4在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。5某个七位数1993能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？6修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。问修改后的这个数是多少？答案1【分析】因为3649，所以能被4整除，从而C只可能是1，3，5，7，9。要使商最小，A、B应尽可能小，先取A0，又156AB
5、C12BC93BC，所以3BC是9的倍数，B1，C5时，取得最小值。2【分析】注意能被9，11，6整除的数的特征： 能被9整除的数，其数字和是9的倍数； 能被11整除的数，其奇数位数字和与偶数位数字和的差为11的倍数；或将其后三位与前隔开，将新组成的两个数作差，将是11的倍数；能被6整除的数，其数字和是3的倍数，且末位为0，2，4，6，8的其中之一。173ll，当内填入7时，1735的数字和为18，为9的倍数，所以当内填7所组成的数为9的倍数； 173的奇数位数字和为7，偶位数数字和为134，所以当内填11478时，和与的差为11，所组成的数为11的倍数；17311，当内填入l，4，7时，为3
6、的倍数，但只有4为偶数，所以当内填入4组成的数为6的倍数。所以，这三种情况下填人内的数字的和为78419。3【分析】因为105375，所以这个六位数同时满足能被3、7、5整除的数的特征即可。而能被7整数的数，将其后三位与前隔开，将新组成的两个数作差，将是7的倍数；能被5整数的数，其末位只能是0或5。末位只能为0或5。如果末位填入0，那么数字和为1992021，要求数字和是3的倍数，所以可以为0，3，6，9，验证均不是2001991，23019931，26019961，29019991，有9l是7的倍数，即199290是7的倍数，所以题中数字的末两位为90。如果末位填入5，同上解法，验证没有数同
7、时满足能被3、7、5整除的特征。所以，题中数的末两位只能是90。4【分析】设补上数字后的六位数是，因为这个六位数能分别被3、4、5整除，所以它应满足以下三个条件：第一，数字和(865abc)是3的倍数；第二，末两位数字组成的两位数是4的倍数； 第三，末位数字c是0或5。由以上条件，4|，且c只能取0或5，又能被4整除的数的个位数不可能是5， c只能取0，因而b只能取0，2，4，6，8中之一。 又3|，且(865)除以3余1，ab除以3余2。 为满足题意“数值尽可能小”，只需取a0，b2。 要求的六位数是865020。5【分析】因为这个数能被5整除，所以末位只能是0或5，又能被2整除，所以其末位
8、为偶数，所以只能是0。在满足以上条件的情况下，还能被4整除，那么末两位只能是20、40、60或80。又因为还能同时被9整除，所以这个数的数字和也应该是9的倍数，的数字和分别为24A，26B，28C，30D，对应的A、B、C、D只能是3，1，8，6。即末三位可能是320，140，860，680。而只有320，680是8的倍数，再验证只有1993320，1993680中只有1993320是7的倍数。因为有同时能被2，4，5，7，8，9整除的数，一定能同时被2，3，4，5，6，7，8，9这几个数整除，所以1993320为所求的这个数。显然，其末三位依次为3，2，0。6【分析】823是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用，3174382338469，于是31743除以823可以看成余469也可以看成不足(823469)354，于是改动某位数字使得得到的新数比原来大354或354823n也是满足题意的改动。有n1时，354823：1177，n2时，35482322000，所以当千位增加2，即改为3时，有修改后的五位数33743为823的倍数。
