1、第24讲高考题中的解答题解法1. 已知集合Ax|x2(3a3)x2(3a1)0，xR，集合B.(1) 当4B时，求实数a的取值范围； (2) 求使BA的实数a的取值范围解：(1) 若4B，则0a或a4.所以当4B时，实数a的取值范围为，4，)(2) Ax|(x2)(x3a1)0，Bx|axa21 当a时，A(3a1，2)要使BA，必须此时1a； 当a时，A，使BA的a不存在； 当a时，A(2，3a1)要使BA，必须此时2a3.综上，使BA的实数a的取值范围是2，31，2. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，ABC60，PAACa，PBPDa，点E、F分别在PD、BC上，且PEED
2、BFFC.(1) 求证：PA平面ABCD; (2) 求证：EF平面PAB.证明：(1) 底面ABCD是菱形，ABC60， ABADACa.在PAB中， PA2AB22a2PB2， PAAB，同理PAAD.又ABADA， PA平面ABCD.(2) 作EGPA交AD于G，连结GF，则， GFAB.又AB平面PAB，GF平面PAB， GF平面PAB.同理EG平面PAB.又GFEGG， 平面EFG平面PAB.又EF平面EFG， EF平面PAB.3. 如图，现要在边长为100 m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心
3、为圆心建一个半径为x2 m的圆形草地为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.(1) 求x的取值范围；(运算中取1.4)(2) 若中间草地的造价为a元/m2，四个角花坛的造价为ax元/m2，其余区域的造价为元/m2，则当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？解：(1) 由题意得，解得即9x15.(2) 记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得yaaxx2104x2，令f(x)x4x312x2，则f(x)x34x224x4x，由f(x)0，解得x10或x15，列表如下：x9(9，10)10(10，15)15f(x)00f(x)极小值所以当x10，y取最小值答：当x1
4、0 m时，可使“环岛”的整体造价最低4. 在直角坐标系xOy中，动点P到定点F(1，0)的距离与到定直线m：x4的距离之比为，记动点P的轨迹为曲线E.(1) 求曲线E的方程；(2) 记曲线E与y轴的正半轴交点为D，过点D作直线l与曲线E交于另一点M，与x轴交于点A(不同于原点O)，点M关于x轴的对称点为N，直线DN交x轴于点B.试探究OAOB是否为定值？若是定值，请求出该定值，否则请说明理由解：(1) 设点P(x，y)，曲线E是椭圆，其方程为1.(2) 设直线l方程为ykx.令y0，得A.由方程组可得3x24(kx)212，即(34k2)x28kx0.所以M，N，所以kDN.直线DN的方程为y
5、x.令y0，得B.所以OAOB|4，故OAOB为定值4.5. 已知函数f(x)lnxmx(mR)(1) 若曲线yf(x)过点P(1，1)，求曲线yf(x)在点P处的切线方程；(2) 求函数f(x)在区间1，e上的最大值；(3) 若函数f(x)有两个不同的零点x1、x2，求证：x1x2e2.(1) 解：因为点P(1，1)在曲线yf(x)上，所以m1，解得m1.因为f(x)1，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y1.(2) 解：因为f(x)m. 当m0时， x(1，e)，f(x)0，所以函数f(x)在(1，e)上单调递增，则f(x)maxf(e)1me. 当e，即0m时，x(1，e)，f(x)0，
6、所以函数f (x)在(1，e)上单调递增，则f(x)maxf(e)1me. 当1e，即m1时，函数f (x)在上单调递增，在上单调递减，则f(x)maxflnm1. 当1，即m1时，x(1，e)，f(x)0，函数f(x)在(1，e)上单调递减，则f(x)maxf(1)m.综上，当m时，f(x)max1me；当m1时，f(x)maxlnm1；当m1时，f(x)maxm.(3) 证明：不妨设x1x20.因为f(x1)f(x2)0，所以lnx1mx10，lnx2mx20，可得lnx1lnx2m(x1x2)，lnx1lnx2m(x1x2)要证明x1x2e2，即证明lnx1lnx22，也就是m(x1x2
7、)2.因为m，所以即证明，即ln.令t，则t1，于是lnt.令(t)lnt(t1)，则(t)0.故函数(t)在(1，)上是增函数，所以(t)(1)0，即lnt成立所以原不等式成立6. 已知数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)在函数yx2的图象上，数列bn满足bn6bn12n1(n2，nN*)，且b1a13.(1) 求数列an的通项公式；(2) 证明列数是等比数列，并求数列bn的通项公式；(3) 设数列cn满足对任意的nN*，均有an1成立，求c1c2c3c2 014的值(1) 解： 点(n，Sn)在函数yx2的图象上， Snn2(nN*)，当n1时，a1S1121；当n2时，an
8、SnSn1n2(n1)22n1，又a11也适合， an的通项公式为an2n1(nN*)(2) 证明： bn6bn12n1(n2)， 11333(n2) b1a134， 13， 是首项为3，公比为3的等比数列 133n13n， bn6n2n(nN*)(3) 解：由(2)得bn2n6n，由题意得nN*均有an1， an(n2)， an1an2(n2)， cn26n(n2)又a23， c13(b12)3618， cn c1c2c3c2 014182(62636462 014)62(6626362 014)(62 0159)滚动练习(八)1. 已知集合Pxx21，xR，Ma若PMP，则实数a的取值范围
9、是_答案：1，12. 某市教师基本功大赛七位评委为某选手打出分数的茎叶图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后的5个数据的标准差为_(茎表示十位数字，叶表示个位数字)7983456793答案：3. 在等比数列an中，a1，a44，则|a1|a2|a3|an|_答案：2n1解析：数列an的公比为2，数列|an|是首项为，公比为2的等比数列4. 计算：sin10cos20sin30cos40_答案：解析：sin10cos20sin30cos40.5. 已知D是ABC边BC的中点，AB2，AC3，则_答案：解析：()()(22)(3222).6. 在圆x2y22x6y0内，过点E(0，1)的最长弦和
10、最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为_答案：10解析：AC2，BD2，S四边形ABCD2210.7. 已知f(x)则不等式f(x2x1)12的解集是_答案：(1，2)8. 若函数f(x)x3ax2bx为奇函数，其图象的一条切线方程为y3x4，则b的值为_答案：3解析：因为f(x)是奇函数，所以a0，f(x)x3bx.设f(x)在点(x0，y0)处的切线为y3x4，得解得b3.9. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y24x0.若直线yk(x1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是_答案：2，210. 设函数yf(x)满足对任意的xR，f(x)
11、0且f2(x1)f2(x)9.已知当x0，1)时，有f(x)2|4x2|，则f_答案：解析：f2(x1)f2(x)9， f2(x2)f2(x1)9，故f2(x2)f2(x)又f(x)0， f(x2)f(x)fff.由f2(x1)f2(x)9，得f2f29，f2，f25，f.11. 设数列an满足：a38，(an1an2)(2an1an)0(nN*)，则a1的值大于20的概率为_答案：解析：(an1an2)(2an1an)0，得 an1an20，又a38，故an2n2； 2an1an0，则an1an，若an为等比数列，则由a38得an 32；若an不为等比数列，则a10； a14.综上，a14，
12、4，0，32，则a1的值大于20的概率为.12. 设二次函数f(x)ax2bxc(a，b，c为常数)的导函数为f(x)对任意xR，不等式f(x)f(x)恒成立，则的最大值为_答案：22解析： f(x)ax2bxc， f(x)2axb. 对任意xR，不等式f(x)f(x)恒成立， ax2bxc2axb恒成立，即ax2(b2a)x(cb)0恒成立，故(b2a)24a(cb)b24a24ac0，且a0，即b24ac4a2，故22.13. 在ABC中，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，8，BAC，a4.(1) 求bc的最大值及的取值范围；(2) 求函数f()2sin22cos2的最值解：(1)
13、bccos8，b2c22bccos42，即b2c232.又b2c22bc，所以bc16，即bc的最大值为16.即16，所以cos.又0，所以0.(2) f()1cos2sin2cos212sin1.因为0，所以2，故sin1.当2，即时，f()min212；当2，即时，f()max2113.14. 某生产旅游纪念品的工厂，拟在2014年度进行系列促销活动经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x万件与年促销费用t万元之间满足3x与t1成反比例若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件已知工厂2014年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元当工厂把每件纪念品的售价定为“
14、年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等(利润收入生产成本促销费用)(1) 求出x与t所满足的关系式；(2) 请把该工厂2014年的年利润y万元表示成促销费用t万元的函数；(3) 试问当2014年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？解：(1) 设比例系数为k(k0)，由题知3x.又t0时，x1，所以31，所以k2.所以x与t的关系是x3(t0)(2) 依据题意可知工厂生产x万件纪念品的生产成本为(332x)万元，促销费用为t万元，则每件纪念品的定价为(150%)元/件于是，yx(332x)t，进一步化简，得y(t0)因此，工厂2014年
15、的年利润y(t0)(3) 由(2)知，y(t0)5050242，当且仅当，即t7时，取等号所以，当2014年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A、B，离心率为，右准线为l：x4.M为椭圆上不同于A、B的一点，直线AM与直线l交于点P.(1) 求椭圆C的方程；(2) 若，判断点B是否在以PM为直径的圆上，并说明理由；(3) 连结PB并延长交椭圆C于点N.若直线MN垂直于x轴，求点M的坐标解：(1) 由解得所以b23.所以椭圆方程为1.(2) 因为，所以xM1，代入椭圆得yM，即M.所以直线AM
16、的方程为y(x2)，解得P(4，3)所以，(2，3)因为0，所以点B不在以PM为直径的圆上(3) 因为MN垂直于x轴，由椭圆对称性可设M(x1，y1)，N(x1，y1)直线AM的方程为y(x2)，所以yP，直线BN的方程为y(x2)，所以yP，所以.因为y10，所以，解得x11.所以点M的坐标为或.16. 已知函数f(x)ex，a、bR，且a0.(1) 若a2，b1，求函数f(x)的极值；(2) 设g(x)a(x1)exf(x) 当a1时，对任意x(0，)，都有g(x)1成立，求b的最大值； 设g(x)为g(x)的导函数若存在x1，使g(x)g(x)0成立，求的取值范围解：(1) 当a2，b1
17、时，f(x)ex，定义域为(，0)(0，)所以f(x)ex.令f(x)0，得x11，x2，列表如下：x(，1)1(1，0)(，)f(x)00f (x)极大值极小值由表知f (x)的极大值是f (1)e1，f (x)的极小值是f4.(2) (解法1)因为g (x)(axa)exf (x)(ax2a)ex，当a1时，g(x)ex.因为g(x)1在x(0，)上恒成立，所以bx22x在x(0，)上恒成立记h(x)x22x(x0)，则h(x).当0x1时，h(x)0，h(x)在(0，1)上是减函数；当x1时，h(x)0，h(x)在(1，)上是增函数所以h(x)minh(1)1e1.所以b的最大值为1e1
18、.(解法2)因为g(x)(axa)exf (x)(ax2a)ex，当a1时，g (x)ex.因为g (x)1在x(0，)上恒成立，所以g(2)e20，因此b0.g(x)exex.因为b0，所以当0x1时，g(x)0，g(x)在(0，1)上是减函数；当x1时，g(x)0，g(x)在(1，)上是增函数所以g(x)ming(1)(1b)e1 ，因为g(x)1在x(0，)上恒成立，所以(1b)e11，解得b1e1，因此b的最大值为1e1. (解法1)因为g(x)ex，所以g(x)ex.由g(x)g(x)0，得exex0，整理得2ax33ax22bxb0.存在x1，使g(x)g(x)0成立，等价于存在x
19、1，使2ax33ax22bxb0成立因为a0，所以.设u(x)(x1)，则u(x).因为x1，u(x)0恒成立，所以u(x)在(1，)是增函数，所以u(x)u(1)1，所以1，即的取值范围为(1，)(解法2)因为g (x)ex，所以g(x)ex.由g(x)g(x)0，得exex0，整理得2ax33ax22bxb0.存在x1，使g(x)g(x)0成立，等价于存在x1，使2ax33ax22bxb0成立设u(x)2ax33ax22bxb(x1)，u(x)6ax26ax2b6ax(x1)2b2b，当b0时，u(x) 0，此时u(x)在1，)上单调递增，因此u(x)u(1)ab.因为存在x1，2ax33ax22bxb0成立，所以只要ab0即可，此时10，当b0时，令x01，得u(x0)b0，又u(1)ab0，于是u(x)0在(1，x0)上必有零点，即存在x1，2ax33ax22bxb0成立，此时0，综上，的取值范围为(1，)
