1、第七章 幂函数考纲解读考纲解读1.了解幂函数的概念.2.结合函数，的图象，了解它们的变化情况.知识点精讲知识点精讲幂函数的图象幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象如果与坐标轴相交，则交点一定是原点.当时，在同一坐标系内的图象如图2-17所示.图 2-17幂函数的性质当时，幂函数在上是增函数.当时，幂函数在上是减函数.题型归纳及思路提示题型归纳及思路提示题型29 幂函数的定义及基本性质【例2.64】函数为幂函数（为常数）且在上是减函数，则_.【分 析】根据幂函数的定义及单调性求解.【解 析】依题意，得，解得.题
2、型30 幂函数性质的综合应用【例2.64】已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数.(1)求函数的解析式.(2)讨论函数的奇偶性.(3)求满足的 的取值范围.【分 析】利用函数是在上递减且为偶函数求，从而得到的解析式.【解 析】（1）因为幂函数在上是减函数，所以所以，又，所以 .所以或 .又因为为偶函数，所以（2）由（1）得，当，且时，是非奇非偶函数；当，且时，是奇函数；当，且时，是偶函数；当，且时，既是奇函数又为偶函数.（3）由得 .若，时，得不成立；若，时，得，解得；若，时，得.综上，的取值范围为【评注】突破点由单调性得的范围，进而验证满足偶函数的值，若从偶函数的条件入手，则不易向下转化.分
3、类讨论时，确定分类标准，做到不重不漏.第八节 函数的图像考纲解读考纲解读 1.掌握描绘函数图象的两种基本方法直接画法和图象变换法.2.会利用函数图象进一步研究函数的性质，解决方程和不等式中的问题.3.会用数形结合、转化与化归的思想，分析解决数学问题.知识点精讲知识点精讲一、掌握基本初等函数的图像（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数.二、函数图像作法（1）直接画（2）图像的交换 1.平移变换 2.对称变换 3.伸缩变换题题型型归纳归纳及思路提示及思路提示题型31 判断函数的图象【例2.65】函数的图象大致是（）.【解析】解法一：当时，函
4、数单调递增，同时函数在上单调递增，故函数在上是单调递增，排除选项C、D；当时，存在两个零点，故排除选项B.故选A.解法二：如图2-20所示，由图像可知，函数与函数的交点有 个，说明函数的零点有 个，故排除选项B、C，当时，成立，即故排除选项D.故选A.【分析】观察四个选项给出的图像，区别在于函数零点的个数及单调性不同.【例2.68】设函数，若，的取值范围是（）.A.B.C.D.【分析】作出函数与的图像，由图像得不等式的解集.【解析】作出函数与的图像，如图2-23所示，得所对应的的取值范围是.故选D.题型32 函数图像的应用第九节 函数与方程考纲解读考纲解读 1.了解函数的零点与方程根的联系，判
5、断方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解.知识点精讲知识点精讲一、函数的零点对于函数，我们把使的实数叫函数的零点.二、方程的根与函数零点的关系方程有实数根函数的图像与轴有交点函数有零点.三、零点存在性定理如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，也就是方程的根.题型33 求函数的零点或零点所在区间【例2.70】【变式4】设函数与的图像的交点为，则所在的区间是（）.A.B.C.D.【解 析】解法一：利用等价转化思想将交点问题转化为函数零点问题.令，可知，易知函数的零点所在的区间为.解法二：在同一坐标系中作
6、出两个函数的图像，如图2-67所示，易知.故选B.题型归纳及思路提示题型归纳及思路提示题型34 利用函数的零点确定参数的取值范围【例2.71】【变式2】已知函数（且），当时，函数的零点，则【解 析】因为，所以为定义域上的严格单调函数，因为，所以，所以又因为，所以，所以，所以，即因为，所以，所以，所以，即，由，知题型35 方程根的个数与函数零点的存在性问题【例2.73】已知，则函数的零点个数是（）.A.B.C.D.【分析】对于复合函数的零点问题利用换元法与图象法综合求解.【解析】令，则 .由图2-30(1)知，得或，对应图2-30(2)知，因此函数的零点个数是.故选A.第十节 函数的综合知识点精
7、讲知识点精讲高考中考查函数的内容主要是以综合题形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题.求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通.从而找到解题的突破口.掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指、对数式大小的常见比较方法；掌握指、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等.题型归纳及思路提示题型归纳及思
8、路提示题型36 函数与数列的综合【例2.75】设函数，是公差为的等差数列，则（）.A.B.C.D.【分 析】本题将数列与函数结合，其解题思路是研究函数性质（单调性、奇偶性）与数列的特征.【解 析】由得，令，则在上为单调递增的奇函数，故 .又数列为等差数列，故，得，且数列的公差为，所以，.故选D.【评注】本题构造了单调递增的奇函数使得解题思路茅塞顿开，较之其他解法本法更胜一筹，望同学们品评.题型37 函数与不等式的综合【例2.76】已知函数（1）当，且时，求证：；（2）是否存在实数，（），使得函数的定义域，值域都是，若存在，则求出的值，若不存在，请说明理由；（3）若存在实数（），使得函数的定义域
9、为时，值域为，求的取值范围.【解 析】(1)函数的图象如图2-32所示.当，且时，则，(2)假设存在实数，使得函数的定义域，值域都是，()若时，函数单调递减，.则，故舍去；()若时，函数在上单调递减，在上单调递增，且，而，故函数的定义域，值域不能都是，故舍去；()若时，函数在上单调递增，且，故不满足的定义域，值域都是.综上，不存在实数，使得函数的定义域，值域都是，得.（3）依题意，()当时，函数在上单调递减，则，即，得，故舍去；()当时，函数在上单调递减，上单调递增，函数的值域中包含，而，故不满足题意，舍去；()当时，函数在上单调递增，则，即，故方程，存在两个大于的实根，满足，得，综上，的取值范围是题型38 函数中的信息题【例2.77】设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数.如果定义域为的函数为上的高调函数，那么实数的取值范围是；如果定义域为的函数是奇函数，当时，且为上的高调函数，那么实数的取值范围是【解 析】解法一：由高调函数的定义可知，对，恒成立，即不等式，恒成立，令，则，得，故的取值范围是解法二：图示法，依题意，恒成立，则，故实数的取值范围是 .函数的图象，如图2-33所示，又函数为上的奇函数，利用对称性作出函数的图象，若为上的高调函数，则须满足，得，故实数的取值范围是图2-33
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