1、第四节 平面向量的拓展与应用第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入考 纲 要 求1会用向量方法解决某些简单的平面几何问题2会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.课 前 自 修知识梳理平面向量与数学的许多分支都有联系，在高考中涉及平面向量的应用主要有以下几方面：1向量在平面几何中的应用：平面几何经常涉及距离(线段的长度)、夹角，而向量运算，特别是向量的数量积涉及向量的模、夹角，因此可以用向量方法解决部分几何问题利用向量方法处理几何问题一般有以下“三步曲”：(1)转化：用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距
2、离、夹角等问题；(3)翻译：把运算结果“翻译”成几何关系2平面向量在物理中的应用：物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法相似，因此可以用向量的知识来解决某些物理问题利用向量方法处理物理问题一般有以下“三步曲”：(1)表示：把物理问题的相关量用向量表示；(2)转化：转化为向量问题模型，通过向量的运算使问题得以解决；(3)还原：把运算结果“还原”成物理问题3平面向量与其他数学知识的综合应用：(1)向量与三角函数交汇的问题是高考经常出现的问题，命题以三角函数作为背景，是向量的坐标运算与解三角形、三角函数图象和性质综合的问题；(2)平面向量与函数、不等式交汇的问题，主要是向量
3、与二次函数、均值不等式结合的问题为主，要注意自变量的取值范围；(3)向量与解析几何交汇的问题，其基本思想是利用向量的坐标表示，将向量问题转化为坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的相关知识来解答基础自测A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形D等腰直角三角形解析：ab|a|b|cosBAC0，cosBAC0，0BAC90，又BC边最长，则BAC为ABC中最大的角，故ABC为锐角三角形故选B.答案：B2(2012银川市模拟)已知向量a(cos，sin)，b(，1)，则|2ab|的最大值、最小值分别是()A4,0 B16,0C2,0 D16,4解析：设a与b夹角为，|2ab|24a24abb284|a|
4、b|cos 88cos，0，cos 1,188cos 0,16即|2ab|20,16|2ab|0,4故选A.答案：A3一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成120角，且F1，F2的大小分别为1和2，则有()AF1，F3成90角BF1，F3成150角CF2，F3成90角DF2，F3成60角4把一个函数的图象按向量a(3,2)平移后，得到的图象的解析式为ylog2(x3)2，则原来的函数解析式为_Aylog2x考 点 探 究考点一向量在平面几何中的应用【例1】如图所示，在等腰直角三角形ABC中，ACB90，CACB，D为BC的中点，E是AB上的
5、一点，且AE2EB，求证：ADCE.变式探究考点二平面向量与三角函数的综合【例2】(2012惠州市一模)设向量m(cos x，sin x)，x(0，)，n(1,)(1)若|mn|，求x的值；(2)设f(x)(mn)n，求函数f(x)的值域变式探究考点三平面向量在物理上的应用【例3】一条河的两岸平行，河的宽度为d500 m，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船的航行速度为|v1|10 km/h，水流速度为|v2|4 km/h.(1)试求v1与v2的夹角(精确到1)，及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min)(2)要使船到达对岸所用时间最少，v1与v2的夹角应为多少？(参考数据：sin
6、 240.4)点评：理解物理意义，用向量的知识解决变式探究3一质点受到平面上的三个力f1，f2，f3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知f1与f2成60角，且f1，f2的大小分别为2和4，则f3的大小为_考点四平面向量与解析几何的综合变式探究课时升华1向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物，因此在向量的复习中要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合应用向量可以解决平面几何、解析几何、三角中的一些问题，在物理和工程技术中应用也很广泛2注意变换角度看问题，善于应用向量的有关性质解题3特别注意：向量性质的应用要准确无误，不能想当然感 悟 高 考品味高考C高考预测2(2012长春市调研)在ABC中，向量m(2cos B,1)，向量n(1sin B，1sin 2B)，且满足|mn|mn|.(1)求角B的大小；(2)求sin Asin C的取值范围
