1、第六节 古典概型第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布考 纲 要 求1理解古典概型及其概率计算公式2会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.课 前 自 修知识梳理 1基本事件：一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件 2古典的概率模型的定义：我们把具有(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；(2)每一个试验结果出现的可能性相等两个特点的概率模型称为_(简称古典概型)3古典概型的概率计算公式：如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A发生的概
2、率为P(A)_.古典的概率模型基础自测1.(2011课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A.B.C.D.解析：甲、乙两名同学参加小组的情况共有9种，参加同一小组的情况有3种，所以参加同一小组的概率为.故选A.答案：A2(2012东莞市二模)将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n.向量p(m，n)，q(3,6)，则向量p与q共线的概率为_解析：将一颗骰子掷两次，所得点数记为(m，n)，则所有不同的结果有36种，p(m，n)与向量q(3,6)平行的有三种
3、：(1,2)，(2,4)，(3,6)，所以，所求概率为P答案：3(2011桂林市模拟)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标，则点P落在圆x2y216内的概率是_解析：基本事件的总数为6636个，记事件A点P(m，n)落在圆x2y216内，则A所包含的基本事件为(1,1)，(2,2)，(1,3)，(1,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(2,1)，共8个所以所求概率为答案：4(2012上海卷)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_(结果用最简分数表示)解析：所有的可能情况有种，满足条件有且仅有两人选择的项
4、目完全相同的情况有种，由古典概率公式得P答案：考 点 探 究考点一古典概型概念的理解【例1】下列命题正确的个数是()先后抛掷两枚均匀硬币，有人说一共出现“两枚正面”，“两枚反面”，“一枚正面，一枚反面”三种结果，因此出现“一枚正面，一枚反面”的概率是射击运动员向一靶心进行射击试验的结果为：命中10环，命中9环，命中0环，这个试验是古典概型袋中装有大小均匀的4个红球，3个白球，2个黑球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同A0 B1 C2 D3思路点拨：弄清基本事件的个数，古典概型的两个特点及概率计算公式解析：应为4种结果，还有一种是“一反一正”不是古典概型因为命中10环，命中9环，命中0环不是等
5、可能的摸到红球的概率为，白球的概率为，黑球的概率为.所以三个命题都是错的故选A.答案：A点评：弄清每一次试验的意义及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的重要方面，判断一次试验中的基本事件，一定要从其可能性入手，加以区分，而一个试验是否是古典概型要看其是否满足有限性和等可能性变式探究1下列命题正确的是()某袋中装有大小均匀的3个红球、2个黑球、1个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同从4，3，2，1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0和不小于0的可能性相同5人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3
6、个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则所有基本事件有27个A.BCD解析：(1)摸到红球的概率为，摸到黑球的概率为，摸到白球的概率为.(2)取到小于0的数字的概率为，不小于0的数字的概率为.(3)抽签有先有后，但每人抽到某号的概率是相同的理由：假设5号签为中奖签，甲先抽到中奖签的概率为；乙接着抽，其抽中 5号签的概率为 .(4)所有可能的基本事件共 27个，如下图所以，只有(4)正确故选D.答案：D考点二简单的古典概型的概率【例2】(1)(2012江苏卷)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是_(2)(2012上海十校联
7、考)若实数m，n2，1,1,2,3，且mn，则方程表示焦点在y轴上的双曲线的概率是_解析：(1)由通项公式an1(3)n1得，满足条件的数有1，3，33，35，37，39，共6个，从而所求概率为P.(2)m，n的所有取值的情况有20，满足n0，m0的有6种，所以所求概率为P答案：(1)(2)点评：计算古典概型事件的概率可分三步：算出基本事件的总个数n；求出事件A所包含的基本事件个数m；代入公式求出概率P.变式探究2(1)(2011陕西卷)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是()A.
8、B.C.D.(2)(2012泰安模拟)若a1,2，b2，1,0,1,2，方程x2axb0的两根均为实数的概率为_解析：(1)若用1,2,3,4,5,6代表6处景点，显然甲、乙两人最后一小时浏览的景点可能为1,1，1,2，1,3，6,6，共36种；其中满足题意的“最后一小时他们同在一个景点”包括1,1，2,2，3,3，6,6，共6个基本事件，所以所求的概率为.故选D.(2)若方程有两实根，则a24b0a24b，则满足条件的(a，b)的基本事件有：(1,0)，(2，1)，(2,0)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，(2,1)，共有7种情况，而整个基本事件空间共有10种情况，故方程有实根的概率为
9、.答案：(1)D(2)考点三复杂的古典概型的概率【例3】袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有1人取到白球时即终止每个球在每一次被取出的机会是等可能的(1)求袋中原有白球的个数；(2)求取球2次即终止的概率；(3)求甲取到白球的概率思路点拨：因为袋中共有7个球，基本事件总数是有限的，而且每个球被抽到是等可能的，因此是古典概型另外要注意球是不放回的摸球每次摸出的球不能重复解析：(1)设袋中原有n个白球，从袋中任取2个球是白球的结果数为从袋中任取2个球的所有可能的结果数为由题意知n(n1)6，解得n
10、3(舍去n2)，即袋中原有3个白球(2)设事件A“取球2次即终止”取球2次即终止，即乙第一次摸到的是白球而甲摸到的是黑球，所以P(A)(3)设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件Ai，i1,2,3,4,5，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取白球P(B)P(A1A3A5)P(A1)P(A3)P(A5)点评：求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解变式探究3(2011山东卷)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲
11、校2男1女，乙校1男2女(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率解析：记甲校的两名男教师为A1，A2,1名女教师为B1，记乙校的1名男教师为A3，两名女教师为B2，B3.(1)从甲校、乙校各选1名教师的所有可能结果为(A1，A3)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，A3)，(B1，B2)，(B1，B3)，共9种，其中性别相同的选法为(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，(B1，B3)
12、，共4种，所以所求概率为P.(2)从报名的6名教师中任选2名，所有结果为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，A3)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，A3)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，A3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B2，B3)，共15种，来自同一学校的情况有(A1，A2)，(A1，B1)，(A2，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B2，B3)，共6种，则所求概率为P课时升华课时升华1随机试验满足下列条件：(1)试验可以在相同的条件下重复做下去；(2)试验的所有结果都是明确可知的，并且不止一个；(3)每次
13、试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在实验之前却不能肯定会出现哪一个结果，所以，随机试验的每一个可能出现的结果是一个随机事件，这类随机事件叫做基本事件基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成，基本事件有下列两个特点：(1)任何两个基本事件都是互斥的；(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(不可能事件除外)2基本事件的概率：在基本事件总数为n的古典概型中，每一基本事件发生的概率都是.3古典概型是一种特殊的概率模型，其特征是：(1)有限性，即在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，也就是只有有限个不同的基本事件；(2)等可能性，即每个基本事件发生的可能性是均等的所以一次试验是否为古典概
14、型，在于这个试验否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性4古典概型的解题步骤；(1)求出总的基本事件数n；(2)求出事件A所包含的基本事件数m，然后利用公式5利用公式P(A)计算概率时，关键在于求n，m，因此首先要正确理解基本事件和事件A的相互关系基本事件是一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件这里特别要强调指出的是：一个基本事件是某一次试验出现的结果，千万不可以把几次试验的结果混为一个结果，例如同抛两枚硬币，一共出现四个等可能结果：正正、反反、正反、反正，而不能把一正环纯醋饕桓龌臼录(因为这一事件包括“正反”、“反正”这两种结果)，否则基本事件就不等可能了而事件A则不同，它可
15、能仅含一个基本事件，也可能包含多个基本事件，因此在求n时必须强调n个基本事件必须等可能，否则n就求错了同时在求m时，事件A中所包含的每个基本事件也必须是等可能的可以从集合的观点来考察事件A发生的概率：在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集，故(其中I为所有基本事件的集合，A为事件A所含基本事件的集合)感 悟 高 考品味高考1盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_解析：从盒中随机取出2个球，有种取法；所取出的2个球颜色不同，有种
16、取法，则所取出的2个球颜色不同的概率是P答案：2(2012重庆卷)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_(用数字作答)解析：6节课随机安排，共有720种排法课表上相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的排法分三类：(1)两节相邻文化课之间没有艺术课间隔可将三节文化课捆绑为一个元素，然后再与另外三节艺术课进行全排列，排法有144种；(2)三节文化课间都有1节艺术课间隔有“文艺文艺文艺”与“艺文艺文艺文”两种形式，其排法有2 72种(3)三节文化课中有两节之间有一节艺术课，而另一节文化课与前两节文化课
17、之一无间隔，可先对文化课进行全排，然后从3节艺术课选一节放入排好的3节文化课之间，再将此4节课看作一个元素与余下的2节艺术课进行全排，其排法有216种综上可知，相邻两节文化课间最多间隔1节艺术课排法有14472216432种，所以课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为答案：高考预测1(2012江门一模)从一个五棱锥的顶点和底面各顶点(共6个点)中随机选取4个点，这4个点共面的概率等于()A.B.C.D.解析：从6个点中取4个，所有事件数为15，从底面的5个点中取4个都是共面的，则取出的4个点共面的事件有5个所以所求概率为P.故选B.答案：B2某市举行一次数学新课程骨干培训，共邀请15名使用不同版本教材的教师，数据如下表所示：版本人教A版人教B版性别男教师女教师男教师女教师人数6342从这15名教师中随机选出2名，则2人恰好是教不同版本的男教师的概率是多少？解析：从15名教师中随机选出2名共种选法，所以这2人恰好是教不同版本的男教师的概率是
