1、第七节 空间坐标系、空间向量的概念及运算第八章 立体几何与空间向量考 纲 要 求1了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.2会推导空间两点间的距离公式3了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示4掌握空间向量的线性运算及其坐标表示5掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.课 前 自 修知识梳理1空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴这时建立了空间直角坐标系O-xyz，其中点O叫做_x轴，y轴，z轴叫做_通过每两个坐标轴的平面叫做_原点 坐标
2、轴坐标平面(2)右手直角坐标系的含义是：一般是将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向_正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为_正向，也称这样的坐标系为右手系(3)空间一点M的坐标为有序实数组(x，y，z)，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的_，y叫做点M的_，z叫做点M的_x轴 z轴横坐标 纵坐标竖坐标2空间两点间的距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|_.3空间向量的概念及运算空间向量的概念及运算同平面向量基本相同加减运算遵循_，数乘运
3、算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算_；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标三角形法则和平行四边形法则相同a bxayb1(3)空间向量基本定理如果向量e1，e2，e3是不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数1，2，3，使得a_，把e1，e2，e3叫做空间的一个基底1e12e23e35空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则_叫做向量a与b的夹角，记作_，其范围是_，若，则称a与b_，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则_叫做向量a，b的数量积，记作_，即_AOBa
4、，b0 互相垂直|a|b|cosabab|a|b|cos(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b_；交换律：ab_；分配律：a(bc)_.6空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab_.(ab)baabaca1b1a2b2a3b3(2)共线与垂直的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ababab_0_(a，b均为非零向量)a1b1a2b2a3b3aba1b1a2b2a3b30基础自测1在空间直角坐标系中，点(1,2，3)关于x轴对称的点的坐标是()A(1，2,3)B(1,2,3)C(1，2,3)D(1，2，
5、3)解析：点(a，b，c)关于x轴的对称点是答案：A3设向量a(3,5，4)，b(2,1,8)，若1a2b与z轴垂直，|1a2b|，则1，2的值分别为_2,1或2，14在空间直角坐标系中，点A(1,1,1)与点B(2,2，1)之间的距离为_.考 点 探 究考点一空间直角坐标系中点的坐标和距离问题【例1】(1)已知ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，5)，则顶点D的坐标是_(2)在空间直角坐标系，x轴上的一点P到点P0(4,1,2)的距离为，则点P坐标是_思路点拨：(1)用空间中线段的中点坐标公式计算；(2)由坐标轴上坐标的特点设出所求点的坐标，然后由两点间的
6、距离公式，列出方程求解点评：点的坐标问题，包括建立适当坐标系写出有关点的坐标，以及根据点、线、面的对称关系写出点的坐标距离问题，是用空间中两点间距离公式求两点间的距离第(1)小题利用中点公式求点的坐标，实际上是对称关系，第(2)小题是空间中两点间距离公式的应用变式探究1(1)设点B是点A(2，3,5)关于坐标平面xOy的对称点，则()A10B.C.D38答案：A(2)ABC三个顶点的坐标为A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC的形状为()A正三角形 B锐角三角形C直角三角形 D钝角三角形考点二空间向量的基本运算与空间向量的基本定理自主解答：点评：(1)平面向量是空间向
7、量的一种特殊情况，因此平面向量的重要运算法则及解题方法均可引申到空间向量中来(2)在向量的加减法运算中应注意其几何意义的应用(3)应注意数形结合的数学思想和方法变式探究考点三共线、共面向量定理的应用点评：选定空间中不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求，解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需要的量，再对照目标，将不符合目标要求的向量作出新的调整，如此反复，直到所有的向量都符合要求为止变式探究3如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC边上的中点，试证：A1B平面AC1D.考点四空间向量的坐标运算点评：本题主要
8、运用坐标代入运算即可特别地，由(2)中可知，ab与z轴垂直，只需满足ab的竖坐标为零即480即可，可见要使a与某一坐标轴垂直，只要a的相应坐标为零即可，且反之亦真变式探究4如图，空间直角坐标系中有一个正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为a，M，N分别是棱BC1，AC上的点，且AN2NC，BM2MC1，求MN的长考点五空间向量的数量积、模、夹角【例5】如右图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1，在底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别是A1B1，A1A的中点(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；(3)求证：A1BC1M.思路点拨：建立适当的空间直
9、角坐标系，用坐标表示出各向量，利用两向量的数量积的夹角公式及模长公式求解点评：利用向量数量积的坐标公式，求异面直线所成角的解题步骤：(1)根据几何图形的特点建立适当的空间坐标系(2)利用题设条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标(3)利用向量数量积的坐标公式，求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角变式探究5如图，在四面体S-ABC中，若SABC，SBAC，试证：SCAB.课时升华课时升华1关于对称点坐标求法(1)P(x，y，z)关于坐标平面xOy对称点P1(x，y，z)；(2)P(x，y，z)关于坐标平面yOz对称点P2(x，y，z)；(3)P(x，y，z)关于坐标平
10、面xOz对称点P3(x，y，z)；(4)P(x，y，z)关于x轴对称点P4(x，y，z)；(5)P(x，y，z)关于y轴对称点P5(x，y，z)；(6)P(x，y，z)关于z轴对称点P6(x，y，z)；(7)P(x，y，z)关于原点对称点P7(x，y，z)3共线、共面、平行问题的证明方法(1)点共线共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使ab.由共线定理知，要证明空间三点A，B，C共线，只需证明，那么A，B，C必共线(3)平行问题证明线线平行，只需证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系如：证明ABCD只需证证明面面平行，只要证明一面内的两条相交直线分别平行于另一平面内两相交直线即可感 悟 高 考品味高考1若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，满足条件(ca)(2b)2，则x_.解析：ca(0,0,1x)，(ca)(2b)2(0,0,1x)(1,2,1)2(1x)2，解得x2.答案：22(2012上海卷)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点，已知AB2，AD2 ，PA2，求：(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小高考预测2已知空间三点A(1,1,1)，B(1,0,4)，C(2，2,3)，则的夹角的大小是_
