1、考点规范练28平面向量的数量积与平面向量的应用一、基础巩固1.对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b2答案:B解析:A项,设向量a与b的夹角为,则ab=|a|b|cos|a|b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=|a|-|b|;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|a|-|b|.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)(a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.2.已知a,b为单位
2、向量,其夹角为60,则(2a-b)b=()A.-1B.0C.1D.2答案:B解析:由已知得|a|=|b|=1,a与b的夹角=60,(2a-b)b=2ab-b2=2|a|b|cos-|b|2=211cos60-12=0,故选B.3.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,(a+b)b=0,则向量a,b的夹角为()A.30B.60C.150D.120答案:D解析:设向量a,b的夹角为,则(a+b)b=ab+b2=|a|b|cos+|b|2=0,即21cos=-1,故cos=-12.又0,180,故=120,故选D.4.已知向量p=(2,-3),q=(x,6),且pq,则|p+q|的值为()A.5
3、B.13C.5D.13答案:B解析:由题意得26+3x=0,x=-4.|p+q|=|(2,-3)+(-4,6)|=|(-2,3)|=13.5.在四边形ABCD中,若AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为()A.5B.25C.5D.10答案:C解析:依题意得,ACBD=1(-4)+22=0,ACBD.四边形ABCD的面积为12|AC|BD|=12520=5.6.在ABC中,AB边上的高为CD,若CB=a,CA=b,ab=0,|a|=1,|b|=2,则AD=()A.13a-13bB.23a-23bC.35a-35bD.45a-45b答案:D解析:ab=0,CACB.|a|=1,|
4、b|=2,AB=5.又CDAB,AC2=ADAB.AD=45=455.ADAB=4555=45.AD=45AB=45(CB-CA)=45(a-b),故选D.7.设向量a与b的夹角为,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),则cos =()A.-35B.35C.55D.-255答案:A解析:向量a与b的夹角为,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),b=a+2b-a2=(2,1),cos=ab|a|b|=-4+155=-35.8.设m,n为非零向量,则“存在负数,使得m=n”是“mn0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:m,n为非零向
5、量,若存在0,使m=n,即两向量反向,夹角是180,则mn=|m|n|cos180=-|m|n|0.反过来,若mn0),又n(tm+n),所以n(tm+n)=ntm+nn=t|m|n|cos+|n|2=t3k4k13+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故选B.14.在矩形ABCD中,AB=1,AD=3,P为矩形内一点,且AP=32,若AP=AB+AD(,R),则+3的最大值为()A.32B.62C.3+34D.6+324答案:B解析:因为AP=AB+AD,所以|AP|2=|AB+AD|2.所以322=2|AB|2+2|AD|2+2ABAD.因为AB=1,AD=3,ABAD,所以
6、34=2+32.又34=2+3223,所以(+3)2=34+2334+34=32.所以+3的最大值为62,当且仅当=64,=24时等号成立.15.已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA(PB+PC)的最小值是()A.-2B.-32C.-43D.-1答案:B解析:以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图.可知A(0,3),B(-1,0),C(1,0).设P(x,y),则PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y).所以PB+PC=(-2x,-2y).所以PA(PB+PC)=2x2-2y(3-y)=
7、2x2+2y-322-32-32.当点P的坐标为0,32时,PA(PB+PC)取得最小值为-32,故选B.16.如图,在同一个平面内,向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为,且tan =7,OB与OC的夹角为45.若OC=mOA+nOB(m,nR),则m+n=.答案:3解析:|OA|=|OB|=1,|OC|=2,由tan=7,0,得00,cos0,tan=sincos,sin=7cos,又sin2+cos2=1,得sin=7210,cos=210,OCOA=15,OCOB=1,OAOB=cos+4=-35,得方程组m-35n=15,-35m+n=1,解得m=54,n=74
8、,所以m+n=3.17.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,ab=1.若e为平面单位向量,则|ae|+|be|的最大值是.答案:7解析:设a与b的夹角为,由已知得=60,不妨取a=(1,0),b=(1,3).设e=(cos,sin),则|ae|+|be|=|cos|+|cos+3sin|cos|+|cos|+3|sin|=2|cos|+3|sin|,当cos与sin同号时等号成立.所以2|cos|+3|sin|=|2cos+3sin|=727cos+37sin=7|sin(+)其中sin=27,cos=37,取为锐角.显然7|sin(+)|7.易知当+=2时,|sin(+)|取最大值1,此时为锐角,sin,cos同为正,因此上述不等式中等号能同时取到.故所求最大值为7.三、高考预测18.已知非零向量a,b满足|a|=2,且|a+b|=|a-b|,则向量b-a在向量a方向上的投影是.答案:-2解析:|a+b|=|a-b|,ab,即ab=0.(b-a)a=ab-a2=-4.向量b-a在向量a方向上的投影为(b-a)a|a|=-42=-2.