1、第一讲计数原理、二项式定理、抽样方法【考情快报】(1)该部分常考内容：计数原理的具体应用、二项展开式中的某一项、某一项的二项式系数、某一项的系数、各项的系数的求法、分层抽样的应用等；经常在知识交汇点处命题，如计数原理与概率交汇、二项式定理与组合数交汇、分层抽样与概率交汇等.(2)从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，突出考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，属于中低档题.【核心自查】一、主干构建二、概念理解：计数原理1.分类加法计数原理：完成一件事有几类不同方案，各类方案相互独立，每类方案中又有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法数是各类不同方法数的和.2.分步乘法计数原理：完
2、成一件事需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成这件事的不同方法数是每一步中各种不同的方法数的乘积.三、重要公式1.排列数公式 =_(这里，m，nN*，且mn).2.组合数公式(1)=_=_(这里，m，nN*，且mn).(2)=1.n(n-1)(n-2)(n-m+1)3.组合数的性质(1)=_；(2)=_+_.提醒：这里(1)(2)中，m，nN*，且mn.4.二项式定理(a+b)n=_，通项公式：Tk+1=_.提醒：这里是二项展开式的第k+1项，而不是第k项.热点考向 一抽样方法【典例】1.(2011福建高考)某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名.现用分
3、层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为()(A)6(B)8(C)10(D)122.高三(1)班共有56人，学号依次为1,2,3,，56,现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为_.【解题指导】1.可按分层抽样比进行运算.2.先确定抽取的间隔，所求应为第2次抽取的学号，初次抽取的学号加间隔即为所求学号.【解析】1.选B.设高二年级的学生中应抽取的人数为x，则有 解得x=8.2.从56人中抽取一个容量为4的样本，用系统抽样抽取的间隔为14.又学号为6,34,4
4、8的同学在样本中，可知初次抽取的学号为6,还有一个同学的学号应为6+1420.答案：20【拓展提升】解答与抽样方法有关的问题时的注意点(1)深刻理解各种抽样方法的特点和实施步骤.(2)熟练掌握系统抽样中被抽个体号码的确定方法.(3)熟练掌握分层抽样中各层人数的计算方法.提醒：抽样方法常和概率、频率分布直方图等知识结合在一起考查.热点考向 二二项式定理【典例】1.(2012天津高考)在(2x2-)5的二项展开式中，x的系数为()(A)10(B)-10(C)40(D)-402.(2012陕西高考)(a+x)5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为_.3.(2012浙江高考)若将函数f(x)=x5
5、表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a5(1+x)5，其中a0,a1,a2,a5为实数，则a3=_【解题指导】1.利用二项展开式定理求解.2.根据二项展开式的通项公式得出方程，解方程即得结论.3.构造右面式子的结构，利用二项式定理求解.【解析】1.选D.二项展开式的通项为 ,令10-3k=1,解得3k=9,k=3,所以，所以x的系数为-40,故选D.2.根据公式得，含有x2的项为 ,所以a=1.答案：13.方法一：,由等式两边对应项系数相等得：方法二：对等式f(x)=x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a5(1+x)5,两边连续对x求导三次得：60 x2=6a3+
6、24a4(1+x)+60a5(1+x)2,再运用赋值法，令x=-1得60=6a3,即a3=10.答案：10【拓展提升】1.解答关于二项式定理问题的“五种”方法(1)常规问题通项分析法；(2)系数和差型赋值法；(3)近似问题截项法；(4)整除(或余数)问题展开法；(5)最值问题不等式法.2.与二项式定理有关的题目的易错点(1)在二项展开式的通项Tk+1中，项数与k的关系搞不清；(2)二项式系数与各项的系数混淆不清；(3)在展开二项式(a-b)n时，忽略中间的“-”号.提醒：(1)在二项式定理中a和b的位置不能随便交换；(2)(a+b)n的展开式中共有n+1项.热点考向 三排列组合问题【典例】1.
7、(2012北京高考)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为()(A)24(B)18(C)12(D)62.(2012山东高考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为()(A)232(B)252(C)472(D)484【解题指导】1.考虑特殊元素0，与特殊位置个位.如果选0，则0只能在十位，个位必须是奇数.2.可以利用间接法来求解，也可以利用直接法求解.【解析】1.选B.当从0，2中选取2时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，十位百位全排列即可，共
8、有个.当选取0时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，0必须在十位，共有个.综上，共有12+618(个).2.选C.方法一：从16张不同的卡片中任取3张共有(种)，其中有两张红色的有种,其中三张卡片颜色相同的有种所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法的种数为种.方法二：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有种，若2张颜色相同，则有种；若红色卡片有1张，则剩余2张若不同色，有种，如同色，则有种，所以共有64+144+192+72=472(种)，故选C.【拓展提升】解答排列组合问题的角度解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手.(
9、1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；(3)“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决.提醒：(1)分类应在同一标准下进行，确保“不漏”“不重”，分步要做到“步骤连续”和“步骤独立”.(2)解决问题的基本原则是先排特殊元素(位置)再排一般元素(位置).【思想诠释】与排列组合有关问题中的分类讨论思想(1)本例中的分类讨论思想主要体现在：按照是否取0进行分类讨论，从而使问题解决
10、；按照三张卡片有三种颜色还是有两种颜色进行分类讨论；在有两种时考虑有、无红色进行了分类讨论；(2)与排列有关问题中的分类讨论思想主要体现在：凡是利用分类加法计数原理的问题都采用分类讨论思想；像特殊元素、特殊位置的可进行分类讨论；问题中含有限制条件，可按限制条件进行分类讨论；涉及几何图形的形状、位置的变化而引起分类讨论.1.(背景新)某市端午期间安排甲、乙等6支队伍参加端午赛龙舟比赛，若在安排比赛赛道时不将甲安排在第一及第二赛道上，且甲和乙不相邻，则不同的安排方法有()(A)96种(B)192种(C)216种(D)312种【解析】选D.甲不排第一及第二赛道，且不与乙相邻，可先排甲，当甲排在第六赛
11、道时共有种，当甲排在第三、四或五赛道时共有种，总的排法共有96+216=312(种).2.(交汇新)盒中装有6个零件，其中4个是使用过的，另外2个未经使用，从中任取3个，若至少有一个是未经使用的不同取法种数是k，那么(1+kx2)6的展开式中x4的系数为()(A)3 600(B)3 840(C)5 400(D)6 000【解析】选B.依题意：,(1+kx2)6可化为(1+16x2)6，其含x4的项为 ,即x4的系数为3 840.3.(背景新)将“你能HOLD住吗”8个汉字及英文字母填入54的方格内，其中“你”字填入左上角，“吗”字填入右下角，将其余6个汉字及英文字母依次填入方格，要求只能横读或
12、竖读成一句原话.如图所示为一种填法，则共有_种不同的填法(用数字作答).【解析】根据题意，所给的8个汉字及英文字母只能向下或向右读，即将“能HOLD住”填在左上角与右下角之间，只能按向下或向右的顺序填写，分析可得，从左上角的“你”到右下角的“吗”需要向下3次，向右4次，共7次，只需在7次中选3次向下即可，有种情况，故答案为35答案：354.(交汇新)的展开式中x的系数是_.【解析】利用分步乘法计数原理与组合数公式，符合题目要求的项有，求和后可得3x，即x的系数为3.答案：35.(交汇新)(2012黄冈模拟)展开式中不含x4项的系数的和为_.【解析】采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去x4项的系数即为所求，故答案为0.答案：0
