1、第一讲 常见概率类型及统计方法【考情快报】(1)该部分常考内容为分层抽样、系统抽样，随机事件的概率、古典概型、几何概型，频率分布直方图、用样本估计总体等；经常在知识交汇点处命题，如分层抽样与概率交汇，用样本估计总体与概率交汇命题等.(2)从考查形式上来看，选择题、填空题、解答题都可能出现，突出考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，属于中低档题.【核心自查】一、主干构建二、概念理解1.古典概型(1)试验中所有可能出现的基本事件只有_；(2)每个基本事件出现的可能性_；将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.有限个相等2几何概型如果每一个事件发生的概率只与构成事件区域的
2、_(_或_)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.长度面积体积三、重要公式1古典概型的概率公式P(A)_.2.几何概型的概率公式P(A)_.提醒：几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，因此它的概率与所在的区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关.热点考向 一对抽样方法概念的理解【典例】1.(2012江苏高考)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是334，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取_名学生.2.高三(1)班共有56人，学号依次为1,2,3,，56,现用
3、系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为_.【解题指导】1.关键算出高二年级学生人数在总数中的比例,通过频率公式求解；2.先确定抽取的间隔，所求应为第2次抽取的学号，初次抽取的学号加间隔即为所求.【解析】1.高二年级学生人数占总数的因为样本容量为50，则高二年级应抽取50 =15(名).答案：152.从56人中抽取一个容量为4的样本，用系统抽样抽取的间隔为14,又学号为6,34,48的同学在样本中，可知初次抽取的学号为6,还有一个同学的学号应为6+1420.答案：20【拓展提升】解答与抽样方法有关的问题时的注意点(1)要深刻理解各
4、种抽样方法的特点和实施步骤.(2)熟练掌握系统抽样中被抽个体号码的确定方法.(3)熟练掌握分层抽样中各层人数的计算方法.提醒：抽样方法常和概率、频率分布直方图等知识结合在一起考查.热点考向 二用样本估计总体【典例】1.(2012江西高考)小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为()(A)30(B)10(C)3(D)不能确定2.(2012广东高考)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100.(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直
5、方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示，求数学成绩在50,90)之外的人数.分数段50,60)60,70)70,80)80,90)xy11213445【解题指导】1.由图2可得出鸡蛋占食品开支的比例，由图1可得一个星期鸡蛋开支所占的比例；2.(1)本小题根据每个区间上的矩形的面积和为1，可建立关于a的方程，解出a的值；(2)由频率分布直方图求平均分：每个区间的中点值乘以区间上矩形面积之和；(3)本题关键是先把语文成绩在50,60)，60,70)，70,80)，80,90)的人数求出来，根据每段的
6、频率求出每段的频数.【解析】1.选C.由图2可知，鸡蛋占食品开支的比例为=10%，结合图1可知小波一个星期的鸡蛋开支占总开支的比例为30%10%3%，选C.2(1)依题意得，10(2a+0.02+0.03+0.04)=1，解得a=0.005.(2)由频率分布直方图可知：这100名学生语文成绩的平均分为：550.05+650.4+750.3+850.2+950.05=73.(3)数学成绩在50，60)的人数为：1000.05=5，数学成绩在60，70)的人数为：1000.4 =20,数学成绩在70，80)的人数为：1000.3 =40,数学成绩在80，90)的人数为：1000.2 =25.所以数
7、学成绩在50，90)之外的人数为：100-5-20-40-25=10.【拓展提升】用样本估计总体时应注意的问题(1)理解在抽样具有代表性的前提下，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布，用样本的特征数估计总体的特征数，这是统计的基本思想；(2)反映样本数据分布的主要方式，一个是频率分布表，一个是频率分布直方图，要学会根据频率分布直方图估计总体的概率分布以及总体的特征数，特别是均值、众数和中位数.提醒：(1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标.(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标.(3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点
8、的横坐标之和.热点考向 三几何概型、古典概型的概率问题【典例】1.(2012辽宁高考)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为()2.(2012江西高考)如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0,),B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点.(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；(2)求这3点与原点O共面的概率.【解题指导】1.设其中一段长为x cm，则另一段长为(12-x)cm，其中0 x12，利用x(12-x)32求得x的取值范
9、围，利用几何概型求得概率；2.如何将从6个点中随机选取3个点的所有结果列举出来？可分类讨论，然后找出(1)(2)情况中所包含的基本事件的个数，最后把比值求出得所求概率.【解析】1.C.设其中一段AC长为x cm，则另一段BC长为(12-x)cm，其中0 x12,由题意x(12-x)32，解得0 x4或8x0，即ab.又a,b在(0，1)上取值，该概率可转化为几何概型.如图，a,b的取值可构成正方形OABC.其面积为1；而满足ab的点应落在OAB内，其面积为符合条件的概率为4.(背景新)某集团进行职业技术考试，将员工的成绩进行整理后分成5组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一
10、、第二、第三、第四、第五小组.已知第二小组的频数是400，则成绩在7090分的员工人数是_.【解析】第二小组的频率为0.0410=0.4，而第二小组的频数为400，总人数为=1 000(人).又7090分员工的频率为(0.015+0.01)10=0.25，员工人数为0.251 000=250.答案：2505.(交汇新)调查某初中1 000名学生的肥胖情况，得下表：已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15.偏瘦正常肥胖女生(人)100173y男生(人)x177z(1)求x的值；(2)若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取50名，问应在肥胖学生中抽多少名？(3)已知y193,z193，求肥胖学生中男生不少于女生的概率.【解析】(1)由题意可知，=0.15,x=150(人).(2)由题意可知，肥胖学生人数为y+z=400(人).设应在肥胖学生中抽取m人，则m=20.所以应在肥胖学生中抽20名.(3)由题意可知，y+z=400，且y193,z193,满足条件的(y,z)有(193，207)，(194，206)，(207，193)，共有15组.设事件A为“肥胖学生中男生不少于女生”，即yz，满足条件的(y,z)有(193，207)，(194，206)，(200，200)，共有8组，所以P(A)=即肥胖学生中男生不少于女生的概率为
