1、第三讲定点、定值、最值问题【考情快报】高考对本节知识的考查主要以如下形式呈现：1.以解答题的形式考查，以直线和圆锥曲线为载体，结合其他条件，探究直线或曲线过定点问题，试题的设计往往不是单纯的数字问题，而是含有一个或两个参数.2.以解答题的形式出现，从圆锥曲线的概念入手，求某些定值问题，其实质是考查直线与圆锥曲线的位置关系，在一元二次方程、函数、向量、数列等知识交汇处命题，考查学生的逻辑推理能力、计算能力.3.以直线与圆锥曲线为背景，通过巧妙地设计与整合，命制背景新颖的题目，最值问题常与函数、解不等式等知识交汇，考查学生分析问题、解决问题的能力以及综合运用数学知识的能力.【核心自查】一、主干构建
2、二、概念理解定值问题：在解析几何中，有些量与参数_，这些量就看作定值.三、重要公式1.弦长公式：直线与圆锥曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|_.提醒：上面弦长公式在方程有解时成立.无关2.曲线Ax2+By2+Dx+Ey=0过定点_.3.直线A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(为参数)过直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0的交点.提醒：直线A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0不可能表示直线A2x+B2y+C2=0.(0，0)4.函数y=ax2+bx+c(a0)，当时，取得最大值为_.5.函数当且仅当时有最小值_.热点考向
3、一圆锥曲线中的定值问题【典例】1.设点C为曲线上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E，A，与y轴交于点E，B.证明：多边形EACB的面积是定值，并求这个定值；2.(2012贵阳模拟)已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点分别为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.(1)求椭圆方程；(2)若C，D分别是椭圆长轴的左、右两端点，动点M满足MDCD，连结CM，交椭圆于点P.求证：为定值.【解题指导】1.可根据已知条件判断出点E的位置，然后得出多边形EACB的形状，最后求出面积.2.(1)四边形F1AF2B是边长为2的正方形，求出椭圆中a，b的值，进而得出椭圆的方程；(2)由已
4、知条件，可得出CM的方程，与椭圆方程联立得出P点的坐标，计算即可得出结果.【解析】1.设点因为以点C为圆心的圆与x轴交于点E，A，与y轴交于点E，B.所以,点E是直角坐标系原点,即E(0，0).于是圆C的方程是则由|CE|=|CA|=|CB|知,圆心C在RtAEB的斜边AB上,于是多边形EACB为RtAEB,其面积所以多边形EACB的面积是定值，这个定值是4.2.(1)依题意得：a=2，b=c，a2=b2+c2，b2=2，椭圆方程为(2)C(-2,0)，D(2,0)，设M(2，y0)，P(x1，y1)，则直线CM的方程为：即代入椭圆x2+2y2=4,得【拓展提升】求解定值问题的三个步骤(1)由
5、特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；(3)得出结论.提醒：解决此类问题一定要分清哪些是变量，哪些是常量.热点考向 二圆锥曲线中的最值问题【典例】1.(2012嘉兴模拟)在y=2x2上有一点P，它到A(1，3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()(A)(2，1)(B)(1，2)(C)(2，1)(D)(1，2)2.(2012山东高考)在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py(p0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的
6、圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为(1)求抛物线C的方程；(2)是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点M的横坐标为 直线l：与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当时，|AB|2+|DE|2的最小值.【解题指导】1.利用抛物线的定义，结合图形可直接求出点P的坐标.2.(1)注意抛物线的定义以及三角形的外接圆圆心在三边的垂直平分线上.(2)注意直线与圆锥曲线相切时切线斜率与导数的关系，再利用斜率与导数相等即可求得.(3)利用直线与抛物线相交时的弦长公式可求出|AB|2,利用圆心到直线的距离、弦长的一
7、半和半径构成直角三角形可求得|DE|2,利用导数求|AB|2+|DE|2的最小值.【解析】1.选B.显然，点A在抛物线内，由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离.要使点P到A(1，3)的距离与它到焦点的距离之和最小，只要过点A作准线的垂线，该线与抛物线的交点即为所求.显然P(1，2).2.(1)由F是抛物线C:x2=2py(p0)的焦点，点F的坐标为抛物线的准线方程为过M,F,O三点的圆的圆心为Q，则圆心Q在线段OF的垂直平分线上，所以所以p=1，抛物线C的方程为x2=2y.(2)若存在这样的点M，设点M的坐标为(x0,y0)，焦点F的坐标为所以MO的中点为圆心Q在M
8、O的垂直平分线上，所以MO的垂直平分线方程为圆心Q在线段OF的垂直平分线上，解得点Q的坐标为直线MQ与抛物线C相切于点M,抛物线的导数为y=x，过点M的切线斜率为整理得解得：y0=1或(舍去).所以x0=所以点M的坐标为(3)由(2)知点M的横坐标为圆心半径圆心到直线l:的距离为联立消去y可得：设A(x1,y1)，B(x2,y2),|AB|2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=(1+k2)(4k2+2),于是，令设当即当时,故当时，【拓展提升】求最值的四个常用方法(1)函数法,如通过二次函数、对号函数求最值;(2)三角代换法,转化为弦函数,利用弦函数的有界性求最值;(3)不等式法,通过
9、基本不等式求最值;(4)数形结合法,特别关注利用切线的性质求最值.提醒：求最值问题时，一定要注意特殊情况的讨论，如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次数项系数的讨论等.热点考向 三圆锥曲线中的定点问题【典例】(12分)(2012福建高考)如图，等边三角形OAB的边长为且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p0)上.(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.【解题指导】(1)求抛物线方程，需确定p值，可利用图形，先确定B点坐标，代入抛物线方程即可求解；(2)可设切点P，利用导数求出切线方程，再求出点Q的坐标，
10、再利用直径这一条件即可求解.【规范解答】方法一：(1)依题意，设B(x,y)，则因为点在x2=2py上，所以解得p=2.故抛物线E的方程为x2=4y.3分(2)由(1)知设P(x0,y0),则x00,且l的方程为即由得所以 6分设M(0,y1),令对满足的x0,y0恒成立，由得即(*)10分由于(*)式对满足的y0恒成立，所以解得y1=1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1).12分方法二：(1)同方法一.3分(2)由(1)知设P(x0,y0),则x00,且l的方程为即由得所以6分取x0=2，此时P(2,1),Q(0,-1),以PQ为直径的圆为(x-1)2+y2=2,交y轴于点M1(
11、0,1)或M2(0,-1);取x0=1,此时以PQ为直径的圆为交y轴于M3(0,1)或故若满足条件的点M存在，只能是M(0，1).以下证明点M(0，1)就是所要求的点.10分因为故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M.12分【拓展提升】两类定点问题的证明方法(1)证明曲线过定点，经常是将曲线方程中的参变量集中在一起，令其系数等于零，得出定点.(2)说明某曲线不过某定点，可先假设过定点，然后推出矛盾；也可以将该点代入，验证其不满足曲线方程.【思想诠释】在解决定点问题中的数形结合思想、特殊与一般思想(1)本题中的数形结合思想、特殊与一般思想主要体现在：由等边OAB的边长求点B的坐标，利用数形结合思想
12、；求交点Q利用了数形结合思想；求过定点利用了由特殊到一般的思想.(2)在解决定点问题中的数形结合思想、特殊与一般思想主要体现在：已知直线与圆锥曲线的位置关系时，常常利用数形结合思想；在涉及弦长、三角形的面积时，常常用数形结合思想；在涉及两直线平行或垂直时常常利用数形结合思想；在求或判断过定点时，常常是先由特例得出定点，再加以证明，即由特殊到一般的思想；在求定值或判断定值时，常常利用由特殊到一般的思想.1.(交汇新)已知A，B是椭圆长轴的两个顶点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1,k2,且k1k20,若|k1|+|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率为()(A)(B
13、)(C)(D)【解析】选C.设M(x0,y0)，N(x0,-y0),A(-a,0),B(a,0),故故当且仅当即x0=0,y0=b时等号成立,又a2=b2+c2,2.(交汇新)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_.【解析】直线l2:x=-1为抛物线y2=4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题可化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l1的距离之和最小，如图所示，距离之和的最小值为焦点F(1,0)到直线l1:4x-3y+6=0的距离，即答
14、案：23.(背景新)直线x=2与双曲线:的渐近线交于E1,E2两点，记任取双曲线上的点P,若则a，b满足的一个等式是_.【解析】设P(x0，y0),易知e1=(2，1),e2=(2，-1),由得(x0，y0)=a(2，1)+b(2，-1),即(x0，y0)=(2a+2b，a-b),x0=2a+2b,y0=a-b,代入整理得4ab=1.答案：4ab=14.(背景新)以“爱心曲线”A：x2-|x|y+y2=c2(c0)在x轴的交点F1，F2为椭圆B的焦点，且椭圆B经过曲线A上到原点O的最大距离对应的点M，则椭圆B的离心率为_.【解析】显然“爱心曲线”关于y轴对称，故只需考虑x0,此时从而当且仅当x
15、=y=c时等号成立，故M的坐标为(c，c)或(-c，c).设椭圆B的方程为则消去b2，得e4-3e2+1=0,又0e1,故解得从而答案：5.(背景新)已知曲线C的方程是给出下列三个结论：曲线C与两坐标轴有公共点；曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形；若点P，Q在曲线C上，则|PQ|的最大值是其中，所有正确结论的序号是_.【解析】在方程中，x，y都不可能等于零，该曲线C与两坐标轴没有交点，即错误.又在方程中，用-x代替x，方程不变，该曲线C关于y轴对称；又在方程中，用-y代替y，方程不变，该曲线C关于x轴对称；又在方程中，用-x代替x，同时用-y代替y，方程不变，该曲线C关于原点对称.因此，正确.当x0,y0时，(x-1)2+(y-1)2=8；当x0,y0时，(x-1)2+(y+1)2=8；当x0,y0时，(x+1)2+(y+1)2=8；当x0时，(x+1)2+(y-1)2=8；在上述四种情形下，每种情形中曲线上任一点到圆心的最大距离为所以曲线上任意两点间的最大距离为是正确的.即正确.答案：
