1、第三讲定点、定值、最值问题【考情快报】高考对本节知识的考查主要以如下形式呈现：(1)以解答题的形式考查，以直线和圆锥曲线为载体，结合其他条件，探究直线或曲线过定点问题，试题的设计往往不是单纯的数字问题，而是含有一个或两个参数.(2)以解答题的形式出现，从圆锥曲线的概念入手，求某些定值问题，其实质是考查直线与圆锥曲线的位置关系，在一元二次方程、函数、向量、数列等知识交汇处命题，考查学生的逻辑推理能力、计算能力.(3)以直线与圆锥曲线为背景，通过巧妙地设计与整合，命制背景新颖的题目，最值问题常与函数、解不等式等知识交汇，考查学生分析问题、解决问题的能力以及综合运用数学知识的能力.【核心自查】一、主
2、干构建二、概念理解定值问题在解析几何中，有些量与参数_，这些量就看作定值.三、重要公式(1)弦长公式：直线与圆锥曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|_.提醒：上面弦长公式在方程有解时成立.无关(2)曲线Ax2+By2+Dx+Ey=0过定点_.(3)直线A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(为参数)过直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0的交点.提醒：直线A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0不可能表示直线A2x+B2y+C2=0.(0，0)(4)函数y=ax2+bx+c(a0)，当时，取得最大值为_.(5)函数当且仅当时有最小值
3、_.热点考向 一圆锥曲线中的定值问题【典例】1.设点C为曲线上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E，A，与y轴交于点E，B.证明：多边形EACB的面积是定值，并求这个定值；2.(2012贵阳模拟)已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点分别为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.(1)求椭圆方程；(2)若C，D分别是椭圆长轴的左、右两端点，动点M满足MDCD，连结CM，交椭圆于点P.求证：为定值.【解题指导】1.可根据已知条件判断出点E的位置，然后得出多边形EACB的形状，最后求出面积.2.(1)四边形F1AF2B是边长为2的正方形，求出椭圆中a，b的值，进而得出椭圆的方
4、程；(2)由已知条件，可得出CM的方程，与椭圆方程联立得出P点的坐标，计算即可得出结果.【解析】1.设点因为以点C为圆心的圆与x轴交于点E，A，与y轴交于点E，B.所以,点E是直角坐标系原点,即E(0，0).于是圆C的方程是则由|CE|=|CA|=|CB|知,圆心C在RtAEB的斜边AB上,于是多边形EACB为RtAEB,其面积所以多边形EACB的面积是定值，这个定值是4.2.(1)依题意得：a=2，b=c，a2=b2+c2，b2=2，椭圆方程为(2)C(-2,0)，D(2,0)，设M(2，y0)，P(x1，y1)，则直线CM的方程为：即代入椭圆x2+2y2=4,得【拓展提升】求解定值问题的“
5、三个”步骤(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；(3)得出结论.提醒：解决此类问题一定要分清哪些是变量，哪些是常量.热点考向 二圆锥曲线中的最值问题【典例】1.(2012嘉兴模拟)在y=2x2上有一点P，它到A(1，3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()(A)(2，1)(B)(1，2)(C)(2，1)(D)(1，2)2.(2012山东高考)如图，椭圆M:(ab0)的离心率为直线x=a和y=b所围成的矩形ABCD的面积为8.(1)求椭圆M的标准方程；(
6、2)设直线l:y=x+m(mR)与椭圆M有两个不同的交点P,Q,l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T.求的最大值及取得最大值时m的值.【解题指导】1.利用抛物线的定义，结合图形可直接求出点P的坐标.2.(1)由矩形ABCD面积为8，即2a2b=8，再由离心率为可求得椭圆的标准方程；(2)可联立直线与椭圆方程，用m表示出PQ的距离，与矩形ABCD有两个不同的交点S,T的距离也用含m的代数式表示，再讨论求最大值.【解析】1.选B.显然，点A在抛物线内，由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离.要使点P到A(1，3)的距离与它到焦点的距离之和最小，只要过点A作准线的垂线，该
7、线与抛物线的交点即为所求.显然P(1，2).2.(1)矩形ABCD面积为8，即2a2b=8由解得：a=2,b=1，椭圆M的标准方程是(2)5x2+8mx+4m2-4=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1+x2=-m，x1x2=由=64m2-20(4m2-4)0得|PQ|=当l过A点时，m=1，当l过C点时，m=-1.当-m-1时，有S(-m-1,-1)，T(2,2+m),|ST|=(3+m),其中t=m+3，由此知当，即t=,m=-(-,-1)时，取得最大值由对称性，可知若1m0,y0时，(x-1)2+(y-1)2=8；当x0,y0时，(x-1)2+(y+1)2=8；当x0,y0时，(x+1)2+(y+1)2=8；当x0时，(x+1)2+(y-1)2=8；在上述四种情形下，每种情形中曲线上任一点到圆心的最大距离为所以曲线上任意两点间的最大距离为是正确的.即正确.答案：
