1、第三讲用空间向量的方法解立体几何问题【考情快报】高考对本节知识的考查以解答题的形式为主，主要从以下三个方面命题：(1)以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间中平行与垂直的证明，常出现在解答题的第(1)问中，考查学生空间想象能力，推理论证能力及计算能力，属低中档问题.(2)以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间角(主要是线面角和二面角)的计算，是高考的必考内容，属中档题.(3)以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题，考查学生的逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能力，是近几年高考命题新的亮点，属中高档问题.【核心自查】一、主干构建二、概念理解1.直线
2、的方向向量：设直线l经过一点A且与非零向量a平行，则直线的向量式方程为,t为参数，P为直线上的任意点，则a叫做直线的方向向量.2.平面的法向量：直线l,取直线l的方向向量，则向量叫做平面的法向量.三、重要结论1.空间直线、平面间的平行、垂直的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).平面，的法向量分别为(a3,b3,c3),=(a4,b4,c4).(1)线线平行：lmaba=kb_.(2)线线垂直：lmabab=_.a1=ka2,b1=kb2,c1=kc20a1a2+b1b2+c1c2=0(3)线面平行：laa=_.(4)线面垂直：laa=k_.(5
3、)面面平行：=k_.(6)面面垂直：=_.0a1a3+b1b3+c1c3=0a1=ka3,b1=kb3,c1=kc3a3=ka4,b3=kb4,c3=kc40a3a4+b3b4+c3c4=02.空间直线、平面夹角的向量表示(1)异面直线所成的角设a,b分别为异面直线a,b的方向向量，则两异面直线所成的角满足.提醒：向量a与b的夹角不一定是异面直线所成的角.(2)线面角设l是斜线l的方向向量，n是平面的法向量，则斜线l与平面所成的角满足 .提醒：两向量的夹角范围是0,，而线面角的范围是0,，应注意加以区分.(3)()如图，AB，CD是二面角-l-的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小.(
4、)如图，分别是二面角-l-的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos=_ _.提醒：求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析.-cos，或cos，热点考向 一 利用向量证明空间的平行、垂直关系【典例】1.(2012南通模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB于点F，求证：(1)PA平面EDB；(2)PB平面EFD.2.如图，已知ABCD是边长为2的正方形，DE平面ABCD，BF平面ABCD，且FB=2DE=2.求证：平面AEC平面AFC.【解题指导】1.建立空间直角坐标系.(1)证明直线
5、PA的方向向量与平面EDB内一条直线的方向向量共线即可；(2)由EFPB,只需再证直线PB的方向向量与平面EFD中与EF相交的直线的方向向量垂直即可.2.以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，分别求出各点坐标，进而求出平面AEC和平面AFC的法向量的坐标，代入向量夹角公式，根据两个法向量的数量积为0，即可得到平面AEC平面AFC；【证明】1.如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a.(1)连接AC交BD于G，连接EG.依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,).底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，故点G的坐标为(,0),=(
6、a,0,-a),=(,0,-).=2 ,则PAEG.而EG平面EDB且PA 平面EDB，PA平面EDB.(2)依题意得B(a,a,0),=(a,a,-a),又=(0,),故 =0+-=0，PBDE.由已知EFPB，且EFDE=E，PB平面EFD.2.建立如图所示的空间直角坐标系，D(0，0，0)，E(0，0，1)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，F(2，2，2)，=(-2，0，1)，=(0，2，-1)，=(0，2，2)，=(-2，0，-2).设m为平面AEC的法向量，m=(x1,y1,z1)，设n为平面AFC的法向量，n=(x2,y2,z2),cosm，n=0，mn.平面AEC平面AFC.
7、-2x1+z1=02y1-z1=0m=(1,1,2).2y2+2z2=0-2x2-2z2=0 n=(1,1,-1).【拓展提升】1.用向量法证明空间的线线、线面、面面平行关系的思路(1)设a,b是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为a,b,那么abab.(2)平面与平面平行可以转化为两个平面的法向量平行.(3)直线与平面平行可以转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可以通过证明直线的方向向量与平面内两个不共线的向量共面来证明直线与平面平行.2.空间的线线、线面、面面垂直关系，均可以转化为空间两个向量垂直的问题求证.其思路为(1)设a,b分别为直线a,b的一个方向向量，那么ababab
8、=0;(2)设a,b分别为平面,的一个法向量，那么abab=0;(3)设直线l的方向向量为a,平面的法向量为b，那么lab，此外，也可证明l的方向向量与平面内两条相交直线所对应的方向向量垂直.热点考向 二 利用空间向量求空间角【典例】1.(2012陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()(A)(B)(C)(D)2.(2012辽宁高考)如图，直三棱柱ABC-ABC,BAC=90,AB=AC=AA,点M，N分别为AB和BC的中点.(1)证明：MN平面AACC;(2)若二面角A-MN-C为直二面角，求的值.【解
9、题指导】1.根据已知坐标系和线段之间的关系写出点A，B1，B，C1的坐标，进而求出与的坐标，最后由向量夹角公式列式计算.2.(1)由中点联想到中位线，根据中位线和底边平行，解决问题；(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量与二面角的关系求解.【解析】1.选A.设CA=CC1=2CB=2，则A(2，0，0)，B1(0，2，1)，B(0，0，1)，C1(0,2,0),=(-2，2，1)，=(0，2，-1)，所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值是cos=.2.(1)连接AB，AC，由已知得M为AB的中点，又N为BC的中点，所以MN为三角形ABC的中位线，故MNAC，又MN 平面AACC，AC平面AA
10、CC，因此MN平面AACC.(2)以A为坐标原点O，分别以直线AB，AC，AA为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系Oxyz,设AA=1，则AB=AC=,从而A(0，0，0)，B(，0，0)，C(0，0)，A(0，0，1)，B(，0，1)，C(0，1)，所以M(,0,),N(,1)，设m=(x,y,z)是平面AMN的法向量，由得取x=1,则y=-1,z=,故m=(1,-1,)，设n=(a,b,c)是平面MNC的一个法向量，由得取b=-1,则a=-3,c=，故n=(-3,-1,).因为A-MN-C为直二面角，所以mn=0(1,-1,)(-3,-1,)=0=【拓展提升】利用空间向量求空间角的思路(
11、1)异面直线所成的角,可以通过两直线的方向向量的夹角求得，即cos=cos.(2)直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即sin=cos.(3)二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角.提醒：当通过二面角的两个面的法向量求解时，其中一个法向量可从题中与该面垂直的直线的方向向量得到，而不必都求.热点考向 三 利用空间向量解决探索性问题【典例】(12分)(2012湖北高考改编)如图1，ACB=45,BC=3,过动点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，
12、连接AB，沿AD将ABD折起，使BDC=90,如图2.(1)当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；(2)当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，线段CD上是否存在点N，使得ENBM？若不存在说明理由.若存在，说明理由并求EN与平面BMN所成角的大小.【解题指导】解答本题(1)的关键是以BD的长为变量，将体积表示为BD的函数，然后利用基本不等式或导数法求最值.对于(2)可通过建系利用空间向量进行求解.【规范解答】(1)方法一：在如图1所示的ABC中，设BD=x(0 x3)，则CD=3-x.1分由ADBC，ACB=45知，ADC为等腰直角三角形，所以AD=CD
13、=3-x.由折起前ADBC知，折起后(如图2)，ADDC，ADBD，且BDDC=D，所以AD平面BCD.3分又BDC=90，所以SBCD=BDCD=x(3-x).于是VA-BCD=ADSBCD=(3-x)x(3-x)=2x(3-x)(3-x)，5分当且仅当2x=3-x,即x=1时，等号成立，故当x=1,即BD=1时，三棱锥A-BCD的体积最大.6分方法二：同方法一，得VA-BCD=ADSBCD=(3-x)x(3-x)=(x3-6x2+9x).令f(x)=(x3-6x2+9x),由f(x)=(x-1)(x-3)=0,且0 x3,解得x=1.4分当x(0,1)时，f(x)0;当x(1,3)时，f(
14、x)0,所以当x=1时，f(x)取得最大值.5分故当BD=1时，三棱锥A-BCD的体积最大.6分(2)线段CD上存在点N，使得ENBM，7分理由如下：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.由(1)知，当三棱锥A-BCD的体积最大时，BD=1，AD=CD=2.于是可得D(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，2，0)，A(0，0，2)，M(0，1，1)，E(，1，0)且=(-1，1，1).8分假设存在这样的点N，设其坐标为N(0，,0)，其中0,2，则=(-,-1,0).因为ENBM等价于 =0，即(-,-1,0)(-1,1,1)=+-1=0,解得=,与0,2吻合，故存在，此时N(
15、0,0).所以当DN=(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)时，ENBM.9分设平面BMN的一个法向量为n=(x,y,z),由及=(-1，0)，得可取n=(1,2,-1).设EN与平面BMN所成角的大小为,则由=(-，-，0)，n=(1，2，-1)，可得sin=cos(90-)=,即=60，11分故EN与平面BMN所成角的大小为60.12分【拓展提升】利用空间向量巧解探索性问题(1)空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.(2)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规
16、定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题.【思想诠释】立体几何探索性问题中的函数与方程思想(1)本题中的函数与方程思想主要是：三棱锥A-BCD体积最大值的求解转化为函数V=(x3-6x2+9x)最大值的求解.点N是否存在的问题，转化为方程在0，2上是否有解问题.平面BMN的法向量的求解.(2)立体几何探索性问题中应用函数与方程思想的常见类型：探索性问题涉及最大，最小时，要选变量构建函数，从而求解.探索性问题中涉及点是否存在时，要引入未知元构建方程，从而求解.1.(背景新)如图，AA1，BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D，E分别是AA1，CB1的中
17、点，DE面CBB1.(1)证明：DE面ABC；(2)求四棱锥C-ABB1A1与圆柱OO1的体积比；(3)若BB1=BC，求CA1与面BB1C所成角的正弦值.【解析】(1)连接EO，OA.E，O分别为B1C，BC的中点，EOBB1.又DABB1，且DA=EO=BB1，四边形AOED是平行四边形，即DEOA，又DE面ABC，OA面ABC,DE面ABC.(2)由题知DE面CBB1，且由(1)知DEOA，AO面CBB1，AOBC，AC=AB.因BC是底面圆O的直径，得CAAB，且AA1CA，CA面AA1B1B，即CA为四棱锥的高.设圆柱的高为h，底半径为r,则(3)由(1)(2)可知，可分别以AB，A
18、C，AA1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图设BB1=BC=2，则A1(0，0，2)，C(0，0)，O(，0)，从而=(，0)，=(0，-，2)，由题意知，是面CBB1的法向量，设所求的角为.则2.(角度新)如图，在三棱锥P-ABC中，平面ABC平面APC，AB=BC=AP=PC=，ABC=APC=90.(1)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；(2)若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为，求BM的最小值.【解析】(1)取AC的中点O，连接OB，OP.AB=BC，OBOC.平面ABC平面APC，平面ABC平面APC=AC，OB平面PAC，OBOP，以O为坐标原点，O
19、B，OC，OP分别为x轴,y轴,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.AB=BC=PA=，OB=OC=OP=1，从而O(0,0,0),B(1,0,0),A(0,-1,0),C(0,1,0),P(0,0,1)=(-1,1,0),=(1,0,-1),=(0,1,1),设平面PBC的法向量n1=(x,y,z),由n1=0，n1=0得方程组取n1=(1,1,1)cos ,n1=,直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.(2)由题意知平面PAC的法向量n2=(1,0,0),设平面PAM的法向量为n3=(x,y,z),M(m,n,0),其中0m1,-1n1,=(0,1,1),=(m,n+1,0),又因为n3=
20、0，n3=0 取n3=(,-1,1)，cosn2,n3=n+1=3m或n+1=-3m(舍去)，n=3m-1.=(m-1,3m-1,0),又0m1,当m=时，min=3.(角度新)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点.(1)求证：ACSD；(2)若SD平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由.【解析】(1)连接BD，设AC交BD于点O，连接SO.由题意知SO平面ABCD，以O为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，如图.设底面边长为a,则高于是S(0，0，)，D(-,0,0)，C(0，,0)，=(0，0)，=(-,0,-),=0,故OCSD，从而ACSD.(2)由题意知，平面PAC的一个法向量=(,0,),平面DAC的一个法向量=(0，0，).设所求二面角为,则所求二面角的大小为30.(3)在棱SC上存在一点E使BE平面PAC.由(2)知是平面PAC的一个法向量，且=(，0,),=(0,-,),设则=(-,(1-t),t)，而即当SEEC=21时，而BE不在平面PAC内，故BE平面PAC.
