1、 (推荐时间：60分钟)1 已知函数f(x)x22aln x(a2)x，aR.(1)当a1时，求函数f(x)图象在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当aa恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由解f(x)xa2(x0)(1)当a1时，f(x)，f(1)2，所求的切线方程为yf(1)2(x1)，即4x2y30.(2)当a2，即a2时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增当a2，即2a0时，0x2时，f(x)0；ax2时，f(x)2，即a2时，0xa时，f(x)0；2xa时，f(x)0，f(x)在(0,2)，(a，)上单调递增，在(2，a)上单调递减(3)假设存在这样的实数a满足
2、条件，不妨设x1a知f(x2)ax2f(x1)ax1成立，令g(x)f(x)axx22aln x2x，则函数g(x)在(0，)上单调递增，g(x)x20，即2ax22x(x1)21在(0，)上恒成立a，故存在这样的实数a满足题意，其范围为.2 已知圆C：(x)2y216，点A(，0)，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程；(2)过点P(1,0)的直线l交轨迹E于两个不同的点A、B，AOB(O是坐标原点)的面积S，若弦AB的中点为R，求直线OR斜率的取值范围解(1)由题意，得|MC|MA|MC|MQ|CQ|42，所以点M的轨迹是以A，C为焦点，长轴
3、长为4的椭圆，即轨迹的方程为y21.(2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)，R(x0，y0)，由题意，直线l的斜率不可能为0，故可设直线l：xmy1，由消去x，得(4m2)y22my30.所以S|OP|y1y2|，由S，解得1m26，即m(，1)(1，)因为R(x0，y0)是AB的中点，所以y0，x0my01.故直线OR的斜率k.3 已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值解(1)当x1时，f(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0
4、f(x)00f(x)极小值极大值所以当x0时，函数f(x)取得极小值f(0)0，函数f(x)的极大值点为x.(2)当1x0时，f(x)在1，e上单调递增，f(x) maxa.综上所述，当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a；当ab0)，2p4，p2，抛物线的焦点为F(1,0)，椭圆的一个焦点为F(1,0)，c1.又，a，b2a2c21，故所求椭圆的方程为y21.(2)由(1)知A(0,1)当直线BC的斜率不存在时，设BC：xx0，设B(x0，y0)，则C(x0，y0)，kABkAC，不合题意故直线BC的斜率存在，设直线BC的方程为ykxm，并代入椭圆方程，整理得：(12k2)x24kmx2(m21)0由(4km)28(12k2)(m21)0得2k2m210，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1，x2是方程的两根，x1x2，x1x2，由kABkAC得4y1y24(y1y2)4x1x2，即4(kx1m)(kx2m)4(kx1mkx2m)4x1x2，亦即(4k21)x1x24k(m1)(x1x2)4(m1)20，4(m1)20，整理得(m1)(m3)0，又m1，m3，此时直线的方程为ykx3，所以直线BC恒过一定点P(0,3)
