1、(推荐时间：60分钟)1 已知函数f(x)x22aln x(a2)x，aR.(1)当a1时，求函数f(x)图象在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当aa恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由解f(x)xa2(x0)(1)当a1时，f(x)，f(1)2，所求的切线方程为yf(1)2(x1)，即4x2y30.(2)当a2，即a2时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增当a2，即2a0时，0x2时，f(x)0；ax2时，f(x)2，即a2时，0xa时，f(x)0；2xa时，f(x)0，f(x)在(0,2)，(a，)上单调递增，在(2，a)上单调递减(3)假设存在这样的实数a满足条
2、件，不妨设x1a知f(x2)ax2f(x1)ax1成立，令g(x)f(x)axx22aln x2x，则函数g(x)在(0，)上单调递增，g(x)x20，即2ax22x(x1)21在(0，)上恒成立a，故存在这样的实数a满足题意，其范围为.2 已知圆C：(x)2y216，点A(，0)，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程；(2)过点P(1,0)的直线l交轨迹E于两个不同的点A、B，AOB(O是坐标原点)的面积S，若弦AB的中点为R，求直线OR斜率的取值范围解(1)由题意，得|MC|MA|MC|MQ|CQ|42，所以点M的轨迹是以A，C为焦点，长轴长
3、为4的椭圆，即轨迹的方程为y21.(2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)，R(x0，y0)，由题意，直线l的斜率不可能为0，故可设直线l：xmy1，由消去x，得(4m2)y22my30.所以S|OP|y1y2|，由S，解得1m20；当x(1,3)时，f(x)0.则f(x)的单调递增区间是(1,1和3，)，单调递减区间是1,3(3)由(2)知，f(x)在(1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，)上单调递增，且当x1或x3时，f(x)0.所以f(x)的极大值为f(1)16ln 29，极小值为f(3)32ln 221.所以在f(x)的三个单调区间(1,1，1,3，3，)上，当且仅当
4、f(3)bb0)，2p4，p2，抛物线的焦点为F(1,0)，椭圆的一个焦点为F(1,0)，c1.又，a，b2a2c21，故所求椭圆的方程为y21.(2)由(1)知A(0,1)当直线BC的斜率不存在时，设BC：xx0，设B(x0，y0)，则C(x0，y0)，kABkAC，不合题意故直线BC的斜率存在，设直线BC的方程为ykxm，并代入椭圆方程，整理得：(12k2)x24kmx2(m21)0由(4km)28(12k2)(m21)0得2k2m210，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1，x2是方程的两根，x1x2，x1x2，由kABkAC得4y1y24(y1y2)4x1x2，即4(kx1m)(kx2m)4(kx1mkx2m)4x1x2，亦即(4k21)x1x24k(m1)(x1x2)4(m1)20，4(m1)20，整理得(m1)(m3)0，又m1，m3，此时直线的方程为ykx3，所以直线BC恒过一定点P(0,3)
