1、小专题(五)相似三角形的判定与性质综合相似三角形的性质与判定综合是安徽中考必考内容之一,主要考查利用相似三角形知识解决求线段的长度、证明线段成比例、证明角相等以及与相似三角形有关的探究题与新定义题,多与全等三角形知识相结合考查,有一定的难度,考查题型中,选择题、填空题和解答题都有可能出现.类型1计算线段的长度(或线段的比)1.(泰安中考)如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,AC平分BAD,点P是AC延长线上一点,且PDAD.(1)证明:BDC=PDC;(2)若AC与BD相交于点E,AB=1,CECP=23,求AE的长.解:(1)AB=AD,AC平分BAD,ACBD,ACD+BDC=90,
2、AC=AD,ACD=ADC,PDAD,ADC+PDC=90,BDC=PDC.(2)过点C作CMPD于点M,BDC=PDC,CE=CM,CMP=ADP=90,P=P,CPMAPD,CMAD=PCPA,设CM=CE=x,CECP=23,PC=32x,AB=AD=AC=1,x1=32x32x+1,解得x=13,AE=1-13=23.类型2证明线段成比例关系2.如图,在菱形ABCD中,G是BD上一点,连接CG并延长交BA的延长线于点F,交AD于点E.(1)求证:AG=GC;(2)求证:AG2=GEGF.解:(1)如图,菱形ABCD中,AD=CD,1=2,DG=DG,AGDCGD,AG=CG.(2)如图
3、,菱形ABCD中,ABCD,F=4,由(1)得AGDCGD,3=4,3=F,又AGF=AGF,AGEFGA,AGFG=EGAG,即AG2=GEGF.类型3证明角的关系3.(宿迁中考)如图,在ABC中,AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合),满足DEF=B,且点D,F分别在边AB,AC上.(1)求证:BDECEF;(2)当点E移动到BC的中点时候,求证:FE平分DFC.解:(1)AB=AC,B=C,DEF+CEF=B+BDE,DEF=B,CEF=BDE,BDECEF.(2)由(1)得BDECEF,BECF=DEEF,E是BC的中点,BE=CE,CECF=DEEF,即CEDE=CF
4、EF,C=DEF,EDFCEF,CFE=EFD,即FE平分DFC.4.如图,在四边形ABCD中,ABCD,对角线AC,BD交于点E,点F在边AB上,连接CF交线段BE于点G,CG2=GEGD.求证:ACF=ABD.解:CG2=GEGD,CGGE=GDCG.又CGD=EGC,GCDGEC.BDC=ACF.ABCD,ABD=BDC.ACF=ABD.类型5探究性问题5.如图,ABC和BEC均为等腰直角三角形,且ACB=BEC=90,AC=42,点P为线段BE延长线上一点,连接CP,以CP为直角边向下作等腰直角CPD,线段BE与CD相交于点F.(1)求证:PCCD=CECB;(2)连接BD,请你判断A
5、C与BD有什么位置关系?并说明理由.解:(1)在等腰RtCPD和等腰RtBEC中,CBE=CDP=45,CEB=CPD=90,CEBCPD,PCCE=CDCB.PCCD=CECB.(2)ACBD.理由如下:在等腰RtCPD和等腰RtBEC中,BCE=DCP=45,BCD=ECP,又PCCD=CECB,BCDECP,CBD=CEP=180-BEC=90,在等腰RtABC中,ACB=90,ACB=CBD,ACBD.6.在ABC中,AB=AC,BAC=2DAE=2.(1)如图1,若点D关于直线AE的对称点为F,求证:ADFABC;(2)如图2,在(1)的条件下,若=45,求证:DE2=BD2+CE2
6、;(3)如图3,若=45,点E在BC的延长线上,则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗?请说明理由.解:(1)点D,F关于直线AE对称,DE=EF,DAE=FAE=.DAF=2=BAC.AB=AC,AD=AF,ABAC=ADAF=1.DAFBAC.(2)DAF=2=BAC,DAF-DAC=BAC-DAC,即BAD=CAF.又AB=AC,AD=AF,BADCAF.BD=CF,ACF=ABD.BAC=2=245=90,AB=AC,ABD=ACB=45,ACF=45.ECF=ACB+ACF=90.EF2=EC2+CF2.BD=CF,DE=EF,DE2=EC2+BD2.(3)还成立.理由如下:如图,点
7、D,F关于直线AE对称,AD=AF,DE=EF,DAE=FAE=.DAF=2=BAC.DAF-DAC=BAC-DAC,即CAF=BAD.又AB=AC,AD=AF,BADCAF.BD=CF,ACF=ABD.BAC=2=245=90,AB=AC,ABD=ACB=45,ACF=45.ECF=180-ACB-ACF=90.EF2=CF2+CE2.EF=DE,CF=BD,DE2=BD2+CE2.类型6实际应用问题7.(凉山中考)如图,若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯,路灯的灯臂BC长2米,且与灯柱AB成120角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直,当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好,此时,路灯的灯柱AB高应该设计为多少米?(结果保留根号)解:如图,延长OC,AB交于点P.ABC=120,PBC=60,OCB=A=90,P=30,AD=20米,OA=12AD=10米,BC=2米,在RtCPB中,PB=2BC=4米,由勾股定理得PC=23米,P=P,PCB=A=90,PCBPAO,PCPA=BCOA,PA=PCOABC=23102=103米,AB=PA-PB=(103-4)米.答:路灯的灯柱AB高应该设计为(103-4)米.
