1、返首页 专题三 概率与统计 解密高考 概率与统计问题重在“辨”辨析、辨型返首页 思维导图返首页 技法指津概率与统计问题辨析、辨型的策略(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么关系，如互斥、对立、相互独立等；(2)理清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰有几个发生等；(3)明确抽取方式，如放回还是不放回、抽取有无顺序等；返首页 技法指津(4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数，或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率；(5)确定随机变量取值并求其对应的概率，写出分布列后再求期望、方差；(6)会套用求b、K2 的公式，再作进一步求值与
2、分析,返首页 母题示例：2019 年全国卷，本小题满分 12 分 为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分
3、甲、乙两种药的治愈率分别记为 和，一轮试验中甲药的得分记为 X.返首页(1)求 X 的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，pi(i0,1，8)表示“甲药的累计得分为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2，7)，其中 aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)假设 0.5，0.8.证明：pi1pi(i0,1,2，7)为等比数列；求 p4，并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理性.返首页 本题考查：相互独立事件的概率、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、数列的递推关系及等比数列的证明等知识，学生的信息提取、转化化归
4、等能力，数学运算、逻辑推理等核心素养.返首页 审题指导发掘条件 (1)看到求分布列，想到概率模型及概率的求法；(2)看到等比数列的证明，想到递推关系的变形；看到求特定项，想到求通项公式；缺首项 p1，借助递推关系补找该条件 返首页 规范解答评分标准 X 的所有可能取值为1,0,1.P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)，辨型：独立事件的概率求法P(X1)(1)，3 分所以 X 的分布列为X101 P(1)(1)(1)(1)4 分返首页(2)由(1)得 a0.4，b0.5，c0.1.因此 pi0.4pi10.5pi0.1pi1，故 0.1(pi1pi)0.4(pipi1)，化归：得出等比数列的
5、递推关系即 pi1pi4(pipi1).6 分又因为 p1p0p10，所以pi1pi(i0,1,2，7)是公比为 4，首项为 p1 的等比数列.7 分返首页 由可得p8p8p7p7p6p1p0p0(p8p7)(p7p6)(p1p0)4813p1.归纳：由数列的递推关系求出p1的值 由于 p81，故 p13481，9 分所以 p4(p4p3)(p3p2)(p2p1)(p1p0)4413p1 1257.10 分返首页 p4 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为 p4 12570.003 9，此时得出错误结论的概率
6、非常小，说明这种试验方案合理.12 分返首页 构建模板六步解法 随机变量分布列类问题的求解策略 第一步 定元第二步 定性第三步 定型第四步 计算第五步列表第六步 求解 根据已知条件确定离散型随机变量的取值明确每个随机变量取值所对应的事件确定事件的概率模型和计算公式计算随机变量取每一个值的概率列出分布列根据公式求期望返首页 母题突破 1：2019 年合肥模拟，本小题满分 12 分 近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用 x 表示活动
7、推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表 1 所示：返首页 表 1x1234567 y611213466101196返首页 根据以上数据，绘制了如下图所示的散点图返首页(1)根据散点图判断，在推广期内，yabx 与 ycdx(c，d 均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次 y 关于活动推出天数 x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)；(2)根据(1)的判断结果及表 1 中的数据，求 y 关于 x 的回归方程，并预测活动推出第 8 天使用扫码支付的人次；(3)推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表 2所示返首页 表 2支付方式现金
8、乘车卡扫码 比例10%60%30%已知该线路公交车票价为 2 元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受 8 折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受 7 折优惠的概率为16，享受 8 折优惠的概率为13，享受 9 折优惠的概率为12.根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用返首页 参考数据：yv7i1xiyi7i1xivi100.54 62.141.542 53550.123.47其中 vilg yi，v177i1vi.返首页 参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直
9、线vau 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：ni1uivinu vni1u2inu 2，avu.返首页 解(1)根据散点图判断，ycdx 适宜作为扫码支付的人次 y关于活动推出天数 x 的回归方程类型.2 分(2)ycdx，两边同时取常用对数得：lg ylg(cdx)lg clg dx，3 分 设 lg yv，vlg clg dx.4 分 x4，v1.54，7i1x2i 140，lg d7i1xivi7x v7i1x2i7x 2 50.12741.54140742 7280.25，5 分 返首页 把样本中心点(4,1.54)代入 vlg clg dx，得：lg c0.54，v0.540.2
10、5x，lg y0.540.25x，6 分 y关 于x的 回 归 方 程 式：y 100.540.25x 100.54(100.25)x3.47100.25x；7 分 把 x8 代入上式，y3.47102347;活动推出第 8 天使用扫码支付的人次为 3 470.8 分 返首页(3)记一名乘客乘车支付的费用为 Z，则 Z 的取值可能为：2,1.8,1.6,1.4，P(Z2)0.1；P(Z1.8)0.3120.15；P(Z1.6)0.60.3130.7；P(Z1.4)0.3160.05.分布列为：Z21.81.61.4 P0.10.150.70.05 11 分 返首页 所以，一名乘客一次乘车的平均
11、费用为：20.11.80.151.60.71.40.051.66(元).12 分返首页 母题突破 2：2019 年成都高新区一诊，本小题满分 12 分 当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施成都 2019 年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1 分钟跳绳三项测试，三项考试满分 50 分，其中立定跳远 15 分，掷实心球15 分，1 分钟跳绳 20 分某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了 100 名学生进行测试，得到下边频率分布
12、直方图，且规定计分规则如下表：返首页 每分钟跳绳个数155,165)165,175)175,185)185，)得分17181920 返首页(1)现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，求两人得分之和不大于 35 分的概率；(2)若该校初三年级所有学生的跳绳个数 X 服从正态分布 N(，2)，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差 s2169(各组数据用中点值代替)根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加 10 个，现利用所得正态分布模型：返首页 预计全年级恰
13、有 2 000 名学生，正式测试每分钟跳 182 个以上的人数；(结果四舍五入到整数)若在全年级所有学生中任意选取 3 人，记正式测试时每分钟跳195 以上的人数为，求随机变量的分布列和期望附：若随机变量 X 服从正态分布 N(，2)，则 P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5，P(3X182)110.682 720.841 35，0.841 352 0001 682.71 683(人)，所以可预计全年级恰有 2 000 名学生，正式测试每分钟跳 182 个以上的人数为 1 683 人.返首页 由正态分布模型，全年级所有学生中任取 1 人，每分钟跳绳个数 195 以上的概率为 0.5，所以 B(3,0.5)，P(0)C03(10.5)30.125，P(1)C130.5(10.5)20.375，P(2)C230.52(10.5)0.375，P(3)C330.530.125.返首页 的分布列为 0123 P0.1250.3750.3750.125 E(X)30.51.5.返首页 规 范 解 答 集 训 点击右图进入 返首页 Thank you for watching!
