1、章末整合提升专题一直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系有三种：相离，相交和相切.判定直线l：AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系的方法：(1)几何法：圆心到直线 l 的距离为 d，反之，可根据直线与圆的位置关系得到直线或圆的方程及相关性质.(2)定点 P(x0，y0)在圆外：需采用求轨迹方程的方法求切线方程，注意不要遗漏斜率不存在的切线方程.思维突破：直线与圆有公共点可以是相切或相交，通过数形结合可求出直线的截距的取值范围.答案：D【例 2】已知圆 C 的圆心是直线 xy10 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 xy30 相切，则圆 C 的方程为_.思维突破：令 y0
2、，得 x1，直线 xy10 与 x 轴的交点为(1,0).直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，圆C的方程为(x1)2y22.答案：(x1)2y22【互动与探究】)A线方程的是(A.x0C.xyB.y0D.xy2.已知圆 C 过点(1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l：解析：由题意，设所求的直线方程为 xym0，设圆心1，又因为圆心在 x 轴的正半轴上，所以 a3，故圆心坐标为(3,0)，又圆心(3,0)在所求直线上，所以有 30m0，即m3，故所求直线方程为 xy30.直的直线的方程为_.xy30专题二 弦长问题计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)运用弦心距(即圆心到直线的距
3、离)、弦半径及圆半径构成直角三角形计算.【例3】已知圆C：x2y2x6ym0和直线x2y30 相交于 P，Q 两点，若 OPOQ，求 m 的值.求解本题时，应避免去求 P，Q 两点的坐标的具体数值.除此之外，还应对求出的 m 值进行必要的检验，因为在求解过程中并没有确保有交点存在，这一点很容易被忽略.【互动与探究】A专题三与圆有关的轨迹问题【例 4】已知动点 M 到点 A(2,0)的距离是它到点 B(8，0)的距离的一半，求：(1)动点 M 的轨迹方程；(2)若点 N 为线段 AM 的中点，试求点 N 的轨迹.解：(1)设动点 M(x，y)为轨迹上的任意一点，则点 M 的轨由两点距离公式，平方
4、后再整理，得 x2y216.可以验证，这就是动点 M 的轨迹方程.(2)设动点 N 的坐标为(x，y)，M 的坐标为(x1，y1).由于 A(2,0)，且 N 为线段 AM 的中点，由(1)知，M 是圆 x2y216 上的点，将代入整理，得(x1)2y24.所以 N 的轨迹是以(1,0)为圆心，以 2 为半径的圆.【互动与探究】4.已知圆C：(x1)2(y2)225及直线l：(2m1)x(m1)y7m4(mR).(1)证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆 C 恒相交；(2)求直线 l 与圆 C 所截得的弦长的最短长度及此时直线 l的方程.专题四坐标法在生活中的应用坐标法贯穿解析几何的始终
5、，通过平面直角坐标系，研究直线和圆的有关问题；通过建立空间直角坐标系，刻画点在空间的位置，研究两点间的距离等问题.总之通过建立坐标系，把点与坐标、曲线与方程等联系起来，将几何问题转化为代数问题，优化思维的过程.【例 5】已知一个圆形的公园，其半径为 2 km，有两个村庄 A 和 B，其中村庄 A 在公园的正东方向 4 km 处，村庄 B 在对于公园的中心位置).现在要修一条连接村庄 A 和村庄 B 的公路，但公路不能穿过公园，现有两种方案可供选择：方案一：分别从 A，B 沿与公园相切的方向修路，直至两公路相交；方案二：分别从 A，B 沿与公园相切的方向修路，至切点处，再环绕公园修路，直至连接两
6、个切点.试问两种方案哪种更好？图 41解：如图41，以公园中心O为坐标原点，以连接公园中心与村庄A的直线为x轴建立平面直角坐标系；由已知，圆的方程为x2y24，A(4,0)，B(2，2)，由A向圆作切线，切点为D，由B向圆作切线，切点为E，两切线相交于C；易知E(0,2)，BC所在的直线方程为y2.【互动与探究】5.街头有一片绿地，绿地如图 42(单位：m)，其中 ABC 为圆弧，求此绿地面积(精确到 0.1 m2).图 42图 D44解：如图D44，建立平面直角坐标系，各点坐标分别为A(0,7)，B(3,8)，C(7,6)，所以过A，B，C三点的圆弧方程求得为(x3)2(y3)225(0 x7，y0).
