1、3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义一、选择题1(2014浙江台州中学期中)设xR，则“x1”是“复数z(x21)(x1)i为纯虚数”的()A充分必要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件答案A解析z是纯虚数x1，故选A.2若复数z满足z(34i)1，则z的虚部是()A2B4C3D4答案B解析z1(34i)24i，故选B.3若z12i，z23ai(aR)，且z1z2所对应的点在实轴上，则a的值为()A3B2C1D1答案D解析z1z22i3ai(23)(1a)i5(1a)i.z1z2所对应的点在实轴上，1a0，a1.4ABCD中，点A、B、C分别对应复数4i、34i、
2、35i，则点D对应的复数是()A23iB48iC48iD14i答案C解析对应的复数为(34i)(4i)(34)(41)i13i，设点D对应的复数为z，则对应的复数为(35i)z.由平行四边形法则知，13i(35i)z，z(35i)(13i)(31)(53)i48i.故应选C.5已知复数z132i，z213i，则复数zz1z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案A解析z132i，z213i，zz1z232i(13i)(31)(23)i25i.点Z位于复平面内的第一象限故应选A.6ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|zz1|
3、zz2|zz3|，则z对应的点是ABC的()A外心B内心C重心D垂心答案A解析由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到ABC的顶点A、B、C距离相等，P为ABC的外心二、填空题7已知关于x的方程x2(k2i)x2ki0有实根，则这个实根以及实数k的值分别为_和_答案或解析方程的实根必然适合方程，设xx0为方程的实根，代入整理后得abi0的形式，由复数相等的充要条件，可得关于x0和k的方程组，通过解方程组可得x及k的值8已知z1cosisin，z2cosisin且z1z2i，则cos()的值为_答案解析z1cosisin，z2cosisin，z1z2(coscos)i(s
4、insin)i，22得22cos()1，即cos().9在复平面内，O是原点，、对应的复数分别为2i、32i、15i，那么B对应的复数为_答案44i解析B()32i(2i15i)(321)(215)i44i.三、解答题10已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是32i与14i，两对角线AC与BD相交于P点(1)求对应的复数；(2)求对应的复数；(3)求APB的面积分析由复数加、减法运算的几何意义可直接求得，对应的复数，先求出向量、对应的复数，通过平面向量的数量积求APB的面积解析(1)由于ABCD是平行四边形，所以A，于是，而(14i)(32i)22i，即A对应的复数是22i.(2)由于，
5、而(32i)(22i)5，即对应的复数是5.(3)由于，于是，而|，|，所以cosAPB，因此cosAPB，故sinAPB，故SAPB|sinAPB.即APB的面积为.点评(1)根据复数加减法运算的几何意义可以把复数的加减法运算转化为向量的坐标运算(2)复数加减法运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能一、选择题11(2015陕西理，11)设复数z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则yx的概率为()A.BC.D答案D解析由题意可得，|z|1，即(x1)2y21，符合条件yx的区域如图中阴影部分所示，可计算得出S阴1212.所以由几何概型可知，所求概率为.故本题正确答案为D.1
6、2若复数(a24a3)(a1)i是纯虚数，则实数a的值为()A1B3C1或3D1答案B解析由条件知a3.13设复数z1、z2满足z121i，z1(a2)(a2a2)为不等于0的实数，则|z2|()A.BC.D答案C解析z1R，a2a20，a1或2，z10，a20，a1，z13，z121i，2z1(1i)4i，z24i，|z2|.14(2014新乡、许昌、平顶山调研)复数z1、z2满足z1m(4m2)i，z22cos(3sin)i(m、R)，并且z1z2，则的取值范围是()A1,1B，1C，7D ，1答案C解析z1z2，4sin23sin4(sin)2，sin1,1，7二、填空题15在复平面内，
7、zcos10isin10的对应点在第_象限答案三解析310，cos100，sin100，z的对应点在第三象限16若|z1|z1|，则|z1|的最小值是_答案1解析解法一：设zabi，(a，bR)，则|(a1)bi|(a1)bi|.，即a0，zbi，bR，|z1|min|bi1|min，故当b0时，|z1|的最小值为1.解法二|z1|z1|，z的轨迹为以(1,0)，(1,0)为端点的线段的垂直平分线，即y轴，|z1|表示，y轴上的点到(1,0)的距离，所以最小值为1.三、解答题17已知关于t的方程t22t2xy(txy)i0(x、yR)，求使该方程有实根的点(x，y)的轨迹方程解析设原方程的一个实根为tt0，则有(t2t02xy)(t0xy)i0.根据复数相等的充要条件有把代入中消去t0，得(yx)22(yx)2xy0，即(x1)2(y1)22.故所求点的轨迹方程为(x1)2(y1)22.点评因为t0为实数，故根据复数相等的充要条件让实部与虚部分别为0，而要求的是点(x，y)的轨迹方程，故应用代入消元法将t0消去整理即可18设zabi(a、bR)，且4(abi)2(abi)3i，又sinicos，求z的值和|z|的取值范围解析4(abi)2(abi)3i，6a2bi3i，zi，z(sinicos)i|z|，1sin1，022sin40|z|2，故所求得zi，|z|的取值范围是0,2
