1、第三章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1.角的有关概念射线旋转象限角正角负角零角+k360,kZ2.弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做_.弧度记作_.(2)公式：1弧度的角rad角的弧度数公式|=_(弧长用l表示)角度与弧度的换算1=_rad 1 rad=(_)弧长公式弧长l=_扇形面积公式S=_=_r|3.任意角的三角函数(1)定义：设角终边与单位圆交于P(x,y)，则sin=_，cos=_，tan=_.yx(x0)(2)三角函数线：如图所示，则正弦线为_(用字母表示)余弦线为_，正切线为_.(3)诱导公式(一)：sin(+k2)=_；co
2、s(+k2)=_；tan(+k2)=_(kZ).(4)同角三角函数的基本关系：平方关系:_,商数关系:_.MPOMATsin cos tan sin2+cos2=1tan=判断下面结论是否正确(请在括号内打“”或“”).(1)小于90的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，反之亦然.()(3)与45角终边相同的角可表示为k360+45，kZ或2k+45，kZ.()(4)将分针拨快10分钟，则分针转过的角度是60.()(5)终边相同的角的同一三角函数值相等.()(6)点P(tan，cos)在第三象限，则终边在第二象限.()【解析】(1)错误.负角小于90但它不是锐角.(2)错误，第一象限角不一定
3、是锐角，如-350是第一象限角，但它不是锐角.(3)错误，不能表示成2k+45，即角度和弧度不能混用.(4)错误,拨快时分针顺时针旋转，应为-60.(5)正确，由诱导公式(一)可知或由三角函数的定义可得.(6)正确，由已知得tan 0，cos 0，所以为第二象限角.答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)1.终边与坐标轴重合的角的集合为()(A)|=k360，kZ(B)|=k180，kZ(C)|=k90，kZ(D)|=k180+90，kZ【解析】选C.k=0时在x轴正半轴.k=1时在y轴正半轴.k=2时在x轴负半轴.k=3时在y轴负半轴，故选C.2.终边落在第二象限的角可表示为()(A)|9
4、0+2k180+2k，kZ(B)|+2k+2k，kZ(C)|90+k180180+k180，kZ(D)|+kkZ【解析】选B.A错，角度与弧度不能混用.C,D错，当k为奇数时不成立，故选B.3.已知sin 0，tan 0，那么是()(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角【解析】选C.由sin 0，则的终边在三、四象限，或y轴负半轴.由tan 0，则的终边在一、三象限，故是第三象限角.4.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是()(A)2 (B)sin 2 (C)(D)2sin 1【解析】选C.5.已知角终边上一点A(2,2)，则tan=_.【解析】
5、答案：16.若tan=2，则=_.【解析】又tan=2，答案：考向 1 三角函数的定义【典例1】(1)若是第三象限的角，则是()(A)第一或第二象限的角(B)第一或第三象限的角(C)第二或第三象限的角(D)第二或第四象限的角(2)(2013淄博模拟)若点P(m，n)是1 110角的终边上任意一点，则的值等于_.(3)已知角的终边上一点P(m)，m0,且sin=求cos,tan 的值.【思路点拨】(1)由为第三象限角可得的范围，对k取不同的值可解.(2)由P点在1 110角的终边上可得m，n的关系式，代入所求式子可解.(3)先由结合三角函数的定义建立关于参数m的方程，求出m的值，再根据定义求co
6、s，tan 的值.【规范解答】(1)选B.由+2k+2k，kZ,得kZ故当k为偶数时在第一象限，当k取奇数时在第三象限，故选B.(2)由1 110=3360+30,tan 1 110=tan 30=答案：(3)由题设知r2=|OP|2=()2+m2,O为原点，得【互动探究】将本例题(3)中“sin=”改为“tan”，如何求sin，cos？【解析】【拓展提升】用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解.(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直
7、线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值.【提醒】三角函数值的大小只与角的终边有关，而与终边上的点的位置无关.【变式备选】已知角的终边在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan 的值.【解析】角的终边在直线3x+4y=0上，在角的终边上任取一点P(4t,-3t)(t0),则x=4t,y=-3t,r=|PO|=当t0时，r=5t,考向 2 弧度制的应用【典例2】(1)已知扇形OAB的圆心角为120，半径r=6，求的长及扇形面积.(2)已知扇形周长为20，当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积，最大面积是多少？【思路点拨】(1)将圆心角化为弧度，再利用弧长、面积公式求解.(2)利用扇形周
8、长得半径与弧长的关系，再利用面积公式化为关于半径r的二次函数求最值.【规范解答】(1)=120=(2)由已知得l+2r=20，【互动探究】本例题(1)中若求扇形的弧所在的弓形面积,又将如何求解?【解析】由S弓=S扇形-S=故弓形的面积为【拓展提升】角度与弧度制下的弧长、面积公式(1)弧度制下,弧长l=r,扇形面积S=lr，此时为弧度.角度制下，弧长l=扇形面积S=此时n为角度，它们之间有着必然的联系.(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形.【变式备选】已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角的大小.(2)求所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形
9、的面积S.【解析】(1)由O的半径r=10=AB，知AOB是等边三角形，=AOB=60=(2)由(1)可知r=10，弧长l=r=S扇形=考向 3 同角三角函数关系式的应用【典例3】(1)(2012辽宁高考)已知sin-cos=(0，)，则tan=()(2)已知tan=2.求：4sin2-3sin cos-5cos2.【思路点拨】(1)利用平方关系与已知条件联立方程可解.(2)将所求式子“弦”化“切”，代入已知可求;将所求式子分母看作“1”,再利用平方关系“1”的代换而后转化为“切”代入已知求解.【规范解答】(1)选A.(2)4sin2-3sin cos-5cos2故4sin2-3sin cos
10、-5cos2=1.【拓展提升】求解关于sin，cos 的齐次式问题的关注点(1)如果三角函数式不是关于sin，cos 的齐次式，可通过化简转化为齐次式.(2)因为cos 0,所以可用cosn(nN*)除之，这样可以将被求式化为关于tan 的表达式，可整体代入tan=m，从而完成被求式的求值运算.(3)注意1=sin2+cos2的应用.【变式训练】已知(1)求sin x-cos x的值.(2)求tan x的值.【解析】(1)由sin x+cos x=平方得sin2x+2sin xcos x+cos2x=即2sin xcos x=(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=又 x0，
11、sin x0，cos x0，sin x-cos x0，故sin x-cos x=(2)由(1)得sin x-cos x=故由得【易错误区】三角函数定义中忽略分类讨论致误【典例】(2013天津模拟)已知角的终边上一点P(3a，4a)(a0),则sin=_.【误区警示】本题易出现的错误是：由终边上一点求三角函数时，由于没有考虑参数的取值情况，没有分类讨论，从而求出r=5a，导致结果错误.【规范解答】x=3a,y=4a,答案：【思考点评】1.任意角三角函数的定义对于三角函数的定义，如果不是在单位圆中，设角的终边经过点P(x，y)，|OP|=则2.分类讨论思想的应用对于三角函数定义中，如果含有参数，一
12、定要考虑运用分类讨论.在分类讨论时要注意统一分类标准，明确分类的对象，逐类讨论，最后归纳总结.1.(2013揭阳模拟)已知点P(sin，cos)在第四象限，则角的终边在()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【解析】选B.P(sin，cos)在第四象限，的终边在第二象限.2.(2013广州模拟)设则sin-cos 的值为()【解析】选A.可在第三象限角的终边上取点则点P到原点的距离为|OP|=根据三角函数的定义可知：sin=cos=sin-cos=3.(2012江西高考改编)若则sin cos=()【解析】选D.4.(2013阳江模拟)设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm
13、2，则扇形的圆心角的弧度数是_.【解析】设扇形半径为r cm，弧长为l cm，答案：21.设则x的取值范围是()【解析】选B.由|sin x+cos x|=sin x+cos x，sin x+cos x0.由三角函数线可知，当x0，时显然成立，故排除C，D，又当x时sin x+cos x0，故排除A，故选B.2.已知则sin2-sin cos=()【解析】选A.由3.已知是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两个根,且则sin+cos=_.【解析】3sin 0，cos 0，k0，k=2，sin cos=2sin cos=1,sin2+cos2+2sin cos=2,(sin+cos)2=2,又sin+cos 0，sin+cos=答案：
