1、第3章 空间向量与立体几何36 直线与平面、平面与平面所成的角第3章 空间向量与立体几何 1.能用向量方法解决直线和平面所成角的计算问题 2.理解二面角的概念 3能够利用向量方法解决平面与平面所成角的问题栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何1直线与平面所成角的求法设直线 l 与平面 所成角为，直线 l 的方向向量为 v，平面 的法向量为 n，v 与 n 所成的角为 1，则 sin cos 1_2二面角的相关概念(1)半平面：在一个平面上作一条直线，则这条直线将平面分成两部分，其中每部分都称为_|nv|n|v|半平面栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提
2、升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何(2)二面角：从一条直线 l 出发的两个半平面，组成的图形叫作_，记为_这条直线 l 称为这个二面角的_，半平面，都称为这个二面角的面(3)二面角的平面角：过二面角-l-的棱 l 上任意一点 O 作_棱 l 的平面，分别与两个面，相交得到两条射线OA，OB，则AOB 称为二面角-l-的_约定平面角的度数在_范围内(4)度量：二面角的大小用它的_度量二面角-l-棱垂直于平面角0180平面角栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何3二面角与平面法向量的关系设两平面，所成角为，平面、的法向量分别为 n1、n2，n1
3、与 n2 所成的角为 1.则 与 1 的关系为：1，0121，20，则 P(0，0，2)，E4 23，0，23，B(2，b，0)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何于是PC(2 2，0，2)，BE 23，b，23，DE 23，b，23，从而PCBE 0，PCDE 0，故 PCBE，PCDE.又 BEDEE，所以 PC平面 BED.(2)AP(0，0，2)，AB(2，b，0)设 m(x，y，z)为平面 PAB 的法向量，则 mAP0，mAB 0，即 2z0 且 2xby0，令 xb，则 m(b，2，0)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主
4、学习第3章 空间向量与立体几何设 n(p，q，r)为平面 PBC 的法向量，则 nPC0，nBE 0，即 2 2p2r0 且 2p3 bq23r0，令 p1，则 r 2，q 2b，n1，2b，2.因为二面角 A-PB-C 为 90，所以面 PAB面 PBC，故 mn0，即 b2b0，故 b 2，栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何于是 n(1，1，2)，DP(2，2，2)，所以 cosn，DP nDP|n|DP|12，所以n，DP 60.因为 PD 与平面 PBC 所成角和n，DP 互余，故 PD 与平面 PBC 所成的角为 30.栏目导引探究案讲练
5、互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何 求平面与平面所成的角 如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60.(1)证明：平面 ABEF平面 EFDC；(2)求二面角 E-BC-A 的余弦值栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何【解】(1)证明：由已知可得 AFDF，AFFE，所以 AF平面 EFDC.又 AF平面 ABEF，故平面 ABEF平面 EFDC.(2)过 D 作 DGEF，垂足为 G，由(1)知DG平面 AB
6、EF.以 G 为坐标原点，GF 的方向为 x 轴正方向，|GF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何由(1)知DFE 为二面角 D-AF-E 的平面角，故DFE60，则 DF2，DG 3，可得 A(1，4，0)，B(3，4，0)，E(3，0，0)，D(0，0，3)由已知，ABEF，所以 AB平面 EFDC.又平面 ABCD平面 EFDCCD，故 ABCD，CDEF.由 BEAF，可得 BE平面 EFDC，所以CEF 为二面角 C-BE-F 的平面角，CEF60.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主
7、学习第3章 空间向量与立体几何从而可得 C(2，0，3)连接 AC，则EC(1，0，3)，EB(0，4，0)，AC(3，4，3)，AB(4，0，0)设 n(x，y，z)是平面 BCE 的法向量，则 nEC 0，nEB 0，即x 3z0，4y0，栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何所以可取 n(3，0，3)设 m 是平面 ABCD 的法向量，则mAC 0，mAB 0，同理可取 m(0，3，4)则 cosn，m nm|n|m|2 1919.故二面角 E-BC-A 的余弦值为2 1919.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向
8、量与立体几何求二面角的两种思路(1)若 AB，CD 分别是二面角 l 的两个面，内与棱 l垂直的异面直线，则向量AB 与CD 的夹角就是二面角的平面角，如图所示 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何(2)设 n1，n2 分别是二面角 l 的两个半平面，所在平面的法向量，则向量 n1 与 n2 的夹角或其补角就是二面角的平面角，如图所示 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何 已知，如图，PA平面 ABC，ACBC，PAAC1，BC 2，求二面角 A-PB-C 的余弦值解：如图建立空间直角坐标系，则 A(0，0
9、，0)，B(2，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，AP(0，0，1)，AB(2，1，0)，CB(2，0，0)，CP(0，1，1)设平面 PAB 的法向量为 m(x，y，z)，则mAP0，mAB 0，即（x，y，z）（0，0，1）0，（x，y，z）（2，1，0）0，栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何解得y 2x，z0，令 x1，则 m(1，2，0)设平面 PBC 的法向量为 n(x，y，z)，则nCB 0，nCP0，即（x，y，z）（2，0，0）0，（x，y，z）（0，1，1）0，解得x0，yz.令 y1，则 n(0，1，1)，所以 co
10、sm，n mn|m|n|33.故二面角 A-PB-C 的余弦值为 33.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何 向量法求夹角的综合应用 如 图 所 示，已 知 长 方 体ABCD-A1B1C1D1，AB2，AA11，直线 BD 与平面 AA1B1B 所成的角为 30，AE 垂直 BD 于 E，F 为 A1B1 的中点(1)求直线 AE 与 BF 所成角的余弦值；(2)求平面 BDF 与平面 A1B 所成二面角(锐角)的余弦值；(3)求直线 AB 与平面 BDF 夹角的正弦值栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何
11、【解】在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，以AB、AD、AA1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图 由已知 AB2，AA11，可得 A(0，0，0)，B(2，0，0)，F(1，0，1)，又 AD平面 AA1B1B，从而 BD 与平面 AA1B1B 所成的角即为DBA30，又 AB2，AEBD，AE1，AD2 33，从而易得 E(12，32，0)，D(0，2 33，0)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何(1)因为AE(12，32，0)，BF(1，0，1)，所以 cosAE，BF AE BF|AE|BF|122 24.即直
12、线 AE、BF 所成角的余弦值为 24.(2)易知平面 A1B 的一个法向量 m(0，1，0)，设 n(x，y，z)是平面 BDF 的一个法向量，又BD(2，2 33，0)，栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何由nBF，nBDnBF 0，nBD 0.xz0，2x2 33 y0 xz3xy，取 n(1，3，1)，所以 cosm，n mn|m|n|31 5 155.即平面 BDF 与平面 A1B 所成二面角(锐角)的余弦值为 155.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何(3)因为AB(2，0，0)，平面 BDF
13、 的一个法向量为 n2(1，3，1)，所以 cos AB，n2 AB n2|AB|n2|2002 5 55.设直线 AB 与平面 BDF 的夹角为，则 sin|cos AB，n2|55，即直线 AB 与平面 BDF 夹角的正弦值为 55.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何无论直线与直线的夹角，平面与平面的夹角，还是直线与平面的夹角，夹角的范围都是0，2，所以夹角的正弦值或余弦值都是非负值 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何1利用空间向量求线线角、线面角的关键是转化为直线的方向向量之间、直线的方向向量与平
14、面的法向量之间的角，通过数量积求出，通常方法分为两种：坐标方法、基向量方法，解题时要灵活掌握2利用向量方法求二面角的方法分为二类：一类是找到或作出二面角的平面角，然后利用向量去计算其大小；另一类是利用二面角的两个平面的法向量所成的角与二面角的平面角的关系去求后一类需要依据图形特点建立适当的空间直角坐标系栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何1若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120，则直线 l 与平面 所成的角等于()A120 B60C30D以上均错答案：C栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何
15、2若平面 的一个法向量 n(4，1，1)，直线 l 的方向向量 a(2，3，3)，则直线 l 与平面 夹角的余弦值为()A 1111 B.1111C 11011D.91333解析：选 D.因为 cosa，n an|a|n|83318 22 43 11，所以 直 线 l 与 平 面 夹 角 的 正 弦 值 为43 11，则 余 弦值 为143 112 91333.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何3正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 为侧面 BCC1B1 的中心，则AO 与平面 ABCD 所成角的正弦值为()A.33B.12C.66D.32栏
16、目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何解析：选 C.以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在直线为 x 轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)，令 AB2，则 A(2，0，0)，O(1，2，1)，所以AO(1，2，1)又DD1(0，0，2)为平面 ABCD 的法向量，设 AO 与平面 ABCD所成角为.则 sin|cosAO，DD1|AO DD1|AO|DD1|262 66.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何4底面是等腰直角三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，C90，AA1AC，D 为 CC1上的点，
17、且 CC13C1D，则平面 BB1D 与平面 B1DA 夹角的余弦值为_解析：以 C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设 AA1AC3，则 A(0，3，0)，B1(3，0，3)，D(0，0，2)所以AD(0，3，2)，AB1(3，3，3)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何设平面 ADB1 的法向量为 n(1，)，则nAD 0，nAB1 0，所以0320，3330，解得2，3.所以 n(1，2，3)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何又平面 BB1D 的法向量CA(0，3，0)，所以 cosn，CA nCA|n|CA|6143 147.由图知，平面 BB1D 与平面 B1DA 夹角的余弦值为 147.答案：147栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
