1、高二月考（四）理科数学试题第 1页共 4 页南宁三中 20192020 学年度上学期高二月考（四）理科数学试题一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给的四个选项中，只有一项符合）1已知集合(25)(3)0,1,2,3,4,5,AxxxB则()RAB=（）A1,2,3B2,3C1,2D 12若双曲线2222103xyaa 的离心率为 2，则 a 等于（）A2B3C 32D13若实数 x，y 满足2211yxyxyx ，则3zxy的最大值是（）A 2B 1C5D34一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A1B 13C 12D 325“xa”是“xa”的（）
2、A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知22log 3a，4logb，30.6c，则 a，b，c 的大小关系为（）AbcaBcbaCbacDcab7某校高一年级从 815 名学生中选取 30 名学生参加庆祝建党 98 周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 815 人中剔除 5 人，剩下的 810 人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（）A不全相等B均不相等C都相等，且为 6163D都相等，且为 127高二月考（四）理科数学试题第 2页，共 4页8设()f x 与()g x 是定义在同一区间ab，上的两个函数，若函数()()yf xg x
3、在xab，上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在ab，上是关联函数，ab，称为关联区间，若2()34f xxx与()2g xxm在0 3，上是关联函数，则 m 的取值范围是（）A94，B924，C(2，D 10，9已知数列na满足11a，*12()nnnaanN，nS 是数列na的前 n 项和，则（）A201820182aB100920183 23S C数列21na是等差数列D数列na是等比数列10已知12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PFPF，椭圆的离心率为1e，双曲线的离心率为2e，若112|PFF F，则2133ee 的最小值为（）A62
4、 3B62 2C8D611设棱锥 MABCD的底面是正方形，且,MAMD MAAB,AMD的面积为1，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为（）A 23B21C212D31312定义在 上的函数()f x 对任意1212,()x x xx都有1212()()0,f xf xxx且函数(1)yf x的图象关于(1,0)成中心对称，若,s t 满足不等式22(2)(2),f ssftt 则当14s时，2tsst的取值范围是（）A13,2B13,2C15,2D15,2二、填空题13已知 x，y 满足方程22(2)1xy，则 yx的最大值为_.14若方程22194xykk表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的
5、取值范围为.15如图，在边长为 2 正方体1111ABCDA B C D中，E 为 BC 的中点，点 P 在正方体表面上移动，且满足11B PD E，则点1B 和满足条件的所有点 P 构成的图形的面积是_.16某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高 h 为 6 米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为8 7 米，如果限制通行车辆的高度不超过 4.5 米，那么隧道设计的拱宽 d 至少应是_米高二月考（四）理科数学试题第 3页共 4 页三、解答题17（10 分）在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.且满足3cossin3abCcB.（)求角 B；（)若ABC的面积为 5
6、34，3 3ac，求边b.18（12 分）已知数列 na为等差数列，nS 为 na的前 n 项和，25852,25.aaa S（1）求数列 na的通项公式；（2）记14nnncaa，其前 n 项和为nT，求证：4.3nT 19某中学为了组建一支业余足球队，在高一年级随机选取 50 名男生测量身高，发现被测男生的身高全部在160cm到184cm之间，将测量结果按如下方式分成六组：第 1 组160,164)，第 2 组164,168)，第 6 组180,184，如图是按上述分组得到的频率分布直方图，以频率近似概率.（1）若学校要从中选 1 名男生担任足球队长，求被选取的男生恰好在第 5 组或第 6
7、 组的概率；（2）现在从第 5 与第 6 组男生中选取两名同学担任守门员，求选取的两人中最多有 1 名男生来自第 5 组的概率.高二月考（四）理科数学试题第 4页，共 4页20在四棱锥 PABCD中，2 3BCBDDC，2ADABPDPBM 为的中点。CD（1）若点 E 为 PC 的中点，求证：/BE平面 PAD；（2）当平面 PBD 平面 ABCD 时，线段 PC 上是否存在一点 E，使得平面 EMB 与平面 ABCD所成锐二面角的大小为 6？若存在，求出点 E 的位置，若不存在，请说明理由。21（12 分）1已知 M 为圆O：221xy上的动点，过点 M 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别
8、为 A、B，连接 BA 延长至点 P，使得2APBA，记点 P 的轨迹为曲线C.（1）(1)求曲线C 的方程；（2）直线 1l：ykxm与圆O 相切，直线 2l：ykxn与曲线C 相切，求22mn的取值范围.22已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点为12,F F，离心率为33，点 P 在椭圆C上，且12PF F的面积的最大值为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:10l ykxk与椭圆C 交于不同的两点,M N，若在 x 轴上存在点,0G m得 GMGN，求实数 m 的取值范围.高二月考（四）理科数学答案第 1页，共 8页高二月考（四）理科数学试题参考答案1C【解析】依题
9、意得：5(25)(3)03,2Axxxx xx 或所以532RAxx，故()1,2RAB.2B【解析】由2222291323xycabeaaa可知，而离心率，解得3a.3C【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点3,4 处取得最大值为5.4B【解析】由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面积，高，四棱锥的体积，故答案为 B.5B【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确选项.当“xa”时，如1,1xa ，xa，故不能推出“xa”.当“xa”时，必然有“xa”.故“xa”是“xa”的必要不充分条件.6B【解析】采用“0,1”分段法，找到小于 0、在 0 1之间和大于1的数，由
10、此判断出三者的大小关系.因为010.6c ，401log 4b，0a，所以cba.故选 B.7C【解析】抽样要保证机会均等，由此得出正确选项.抽样要保证机会均等，故从815 名学生中抽取30名，概率为 306815163，故选 C.8B【解析】f（x）=x2-3x+4 与 g（x）=2x+m 在0，3上是“关联函数”，故函数 y=h（x）=f（x）-g（x）=x2-5x+4-m 在0，3上有两个不同的零点，故有 0040930202425255400422hmhmmmh 故答案为9,24高二月考（四）理科数学答案第 2页，共 8页9B【解析】由11a，*12nnnaanN 可知数列 na隔项成
11、等比，再结合等比的有关性质即可作出判断.数列 na满足11a，*12nnnaanN，当 n2时，112nnnaa两式作商可得：112nnaa，数列 na的奇数项135aaa，成等比，偶数项246aaa，成等比，对于 A 来说，2018 11008100922018222 22aa，错误；对于 B 来说，2018132017242018Saaaaaa1009100910091122123 231212，正确；对于 C 来说，数列21na是等比数列，错误；对于 D 来说，数列 na不是等比数列，错误，故选：B10C【解析】设12,cceeaa2PFm，则2133ee 33322633322mmcc
12、acccmmcacccc3 26283 2mccmcc，选 C.11B【解析】设球O 是与平面 MAD、平面 AC、平面 MBC 都相切的球，然后找出球心所在的三角形，设 ADEFa，求出内切圆半径然后利用基本不等式即可求出最大值解：ABAD，ABMA，AB 平面 MAD，由此，面 MAD 面 ABCD 记 E、F 分别是 AD、BC 的中点，从而 MEADME 平面 ABCD，MEEF设球O 是与平面 MAD、平面 ABCD、平面 MBC 都相切的球不妨设O平面 MEF，于是O 是 MEF的内心设球O 的半径为 r，则2MEFSrEFEMMF高二月考（四）理科数学答案第 3页，共 8页设 A
13、DEFa，1AMDS所以2MEa，222MFaa 所以2222212 2222raaaa.当且仅当2aa，即2a 时，等号成立.当2ADME时，满足条件的最大半径为21.12D【解析】由已知条件知函数为奇函数且在 上为减函数,由有,所以，,若以 为横坐标,为纵坐标,建立平面直角坐标系,如图所示,阴影部分为不等式表示的平面区域,即及其内部,令,则,求出,所以,解得,的取值范围是,选 D.1333【解析】求出圆的圆心坐标，圆的半径，利用圆心到直线的距离等于半径求出 k 的值即可解：x，y 满足方程（x2）2+y21，圆的圆心（2，0），半径为 1，设 ykx，即 kxy0，要求x，y 满足方程（x
14、2）2+y21，yx的最大值，就是求圆的圆心到直线的距离等于半径，即：2211kk，解得 k33，所求 yx的最大值为：33故答案为：3314【解析】根据椭圆的标准方程及焦点在 轴上，可得 k 的不等式组，解不等式组即可得k 的取值范围。【详解】焦点在 轴上，且满足分母大于 0，所以(9)49040kkkk 解得 k 的范围为542k 即5(4,)2k 高二月考（四）理科数学答案第 4页，共 8页15 92.【解析】点 P 满足11B PD E，且在正方体的表面上，所以点 P 只能在面 ABCD、面11BCC B、面11CC D D、面11ABB A 内。【详解】取1CC，CD 的中点分别为,
15、N M，连结11,AM MN B N AB，由于1/ABMN，所以1AB NM 四点共面，且四边形1AB NM 为梯形，因为11,D EMN D EAM MNAMM，所以1D E 面1AB NM，因为点 P 在正方体表面上移动，所以点 P 的运轨迹为梯形1AB NM，如图所示：因为正方体1111ABCDA B C D的边长为 2，所以112,2 2,5NMABAMB N，所以梯形1AB NM 为等腰梯形，所以11()2SMNAB199(22 2)222h。1632【解析】设椭圆方程为222136xya，当点4 7,4.5 在椭圆上时，22916 72136a，解得16,a车辆高度不超过 4.5
16、 米，16,232ada，即拱宽至少32，故答案为32.17（)3B；（)2 3b【解析】（）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tan3B，结合范围(0,)B，可得3B（）由已知利用三角形的面积公式可得：5ac，进而根据余弦定理可得b 的值【详解】（)由3cossin3abCcB得：3sinsincossinsin3ABCCB3sin()sincoscossinsincossinsin3BCBCBCBCCB高二月考（四）理科数学答案第 5页，共 8页3sin()sincoscossinsincossinsin3BCBCBCBCCB3cossinsinsin
17、3BCCB又sin0C 3cossin3BB，即 tan3B.又0,B，3B（)ABC的面积为 5 34，1135 3sinsin22344acBacac5ac 又22222()2cos22acbacacbBacac，3 3ac227 101102b，即2 3b 18(1)21nan(2)见证明【解析】（1）先根据已知求出112ad，即得数列 na的通项公式；（2）先利用裂项相消求出12 121nTn，再证明43nT.【详解】（1）设公差为 d，则由25852,25aaa S得，11235 45252addda 解得112ad.所以21nan.（2）144112(21)(21)2121nnnc
18、aannnn1111112 12 1335212121nTnnn易知nT 随着 n 的增大而增大，所以1142 133nTT高二月考（四）理科数学答案第 6页，共 8页19（1）0.12；（2）35.【解析】（1）由直方图可得，被选取的男生恰好在第 5 组或第 6 组的概率0.020.0140.12P；（2）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数；（3）利用列举法，从第 5 与第 6 组男生中选取两名同学担任守门员共有 15 种情况，其中选取的两人中最多有 1 名男生来自第 5 组的情况有 9 种，由古典概型概率公式可得结果.【
19、详解】（1）被选取的男生恰好在第 5 组或第 6 组的概率0.020.0140.12P.（2）第 5 组有50 0.084人，记为 a，b，c，d，同理第 6 组有 2 人记为 A，B，所有的情况为,a b、,a c、,a d、,a A、,a B、,b c、,b d、,b A、,b B、,c d、,c A、,c B、,d A、,d B、,A B，共 15 种，选取的两人中最多有 1 名男生来自第 5 组的有,a A、,a B、,b A、,b B、,c A、,c B、,d A、,d B、,A B 共 9 种，所以所求概率为93155P.20证明：()取CD 的中点为 M，连结 EM，BM.由已知
20、得，BCD为等边三角形，BMCD.2ADAB，2 3BD，30ADBABD ，90ADC，/BMAD.-1 分又 BM 平面 PAD，AD 平面 PAD，BM 平面PAD.-2 分 E 为 PC 的中点，M 为CD 的中点，EM PD.又 EM 平面 PAD，PD 平面 PAD，EM 平面 PAD.-3 分 EMBMM，平面 BEM 平面 PAD.-4 分 BE 平面 BEM，BE 平面 PAD.-5 分()连结 AC，交 BD 于点O，连结 PO，由对称性知，O 为 BD 的中点，且 ACBD，POBD.-6 分平面 PBD 平面 ABCD，,BD且交线为POBD，,PBDPO面 PO 平面
21、ABCD，-7 分1POAO，3CO，以O 为坐标原点，OC的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.则D(0，3，0)，C(3，0，0)，P(0，0，1),B(0，3，0),M(23，23，0),-8 分高二月考（四）理科数学答案第 7页，共 8页),0,33(,ECPCE则可得设易知平面 PBD 的一个法向量为11 0 0n，.设平面CBM 的法向量为2nxyz，33 3(,0),(33,3,)22BMBE,-9 分由22233 3004 3(3,1,3 3),220(33)30nBMxynnBExyz 得得-10 分1212233cos,24 33 1(3 3)nnCMBPBD
22、nn 设平面与平面所成锐二面角为，则化简得244924160,.33CECP-12 分21.（1）22194xy；（2）1 1,9 4【解析】(1)设(,)P x y，00(,)M xy，则0(,0)A x，0(0,)By，且22001xy，因为2APBA，即000(,)2(,)xx yxy，0032xxyy，代入22001xy，得22194xy，故曲线C 的方程为22194xy.(2)1l 与圆O 相切，圆心O 到 1l 的距离12|11mdk，得221mk，联立22194ykxnxy，消去 y 整理得222(49)189360kxknxn，由0，得2294nk，由得222221151949
23、9 94mknkk，22119440944kk，故2211(,94mn 高二月考（四）理科数学答案第 8页，共 8页22（1）22132xy（2）6,012【解析】（1）当点 P 在上下顶点时，三角形12PF F的面积最大，再根据离心率求得 a、b、c 的值，可得方程；（2）联立方程，解方程组，再由题 x 在轴上存在点,0G m得 GMGN，转化为GQMN，可得直线的斜率乘积为-1，再利用基本不等式可得取值范围.【详解】由题，当点 P 在上下顶点时，三角形12PF F的面积最大，可得2bc，即可得222233bccaabc，解得321abc 椭圆C 的方程为22132xy.（2）由221132ykxxy消去 y 整理22(23)630kxkx得，且2223612 2324 1 30kkk设1122,M x yN xy，线段 MN 的中点为00,Q xy则12122263,2323kxxx xkk.12023,223xxkxk0022123ykxk 在 x 轴上存在,0G m点，使得|,GMGNGQMN，001GQMNykkkxm，即222231323kkkmk，212233kmkkk因为0k 11602122323kkkk，当且仅当 23kk 且0k，即63k 时等号成立.6012m ，故6012m，实数 m 的取值范围为6,012.