1、2.1.1合情推理基本练习夯基一、选择题1下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，归纳出所有三角形的内角和都是180教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，由此得出凸n边形的内角和是(n2)180(nN*，且n3)ABCD答案C解析是类比推理；是归纳推理，都是合情推理2平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值a，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为()A.a B.a C.a D.a答案B解析将正三角形一
2、边上的高a类比到正四面体一个面上的高a，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明3类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是()ABCD答案B解析根据立体几何中线面之间的位置关系知，是正确的结论4(2015海南文昌中学高二期中)设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r
3、；类比这个结论可知：四面体PABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体PABC的体积为V，则r()A.BC.D答案C解析将ABC的三条边长a、b、c类比到四面体PABC的四个面面积S1、S2、S3、S4，将三角形面积公式中系数，类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，VS1rS2rS3rS4r，r.5给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：“若a，bR，则ab0ab”类比推出“若a，bC，则ab0ab”；“若a，b，c，dR，则复数abicdiac，bd”类比推出“若
4、a，b，c，dQ，则abcdac，bd”；若“a，bR，则ab0ab”类比推出“若a，bC，则ab0ab”其中类比结论正确的个数是()A0B1C2D3答案C解析在实数集中，abab0，但在复数集中，不全为实数的两个数不能比较大小，如a2i，b1i，有ab10，但ab不成立；a、b、c、dQ，ac，bdQ，abcd，(ac)(bd)0，故正确；由复数相等的定义知，若ax1y1i(x1、y1R)，bx2y2i(x2、y2R)，则由ab(x1x2)(y1y2)i0，ab，故正确6由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab
5、)cacbc”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“”类比得到“”其中类比结论正确的个数是()A1B2C3D4答案B解析由向量的有关运算法则知正确，都不正确，故应选B.二、填空题7可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍你可以从给出的简单图形、中体会这个原理现在图中的两个曲线的方程分别是1(ab0)与x2y2a2，运用上面的原理，图中椭圆的面积为_答案ab解析由于
6、椭圆与圆截y轴所得线段之比为，即k，椭圆面积Sa2ab.8在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，若b91，则有等式_成立答案b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)解析解法1：从分析所提供的性质入手：由a100，可得aka20k0，因而当n19n时的情形由此可知：等差数列an之所以有等式成立的性质，关键在于在等差数列中有性质：an1a19n2a100，类似地，在等比数列bn中，也有性质：bn1b17nb1，因而得到答案：b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)解法2：因为在等差数列中有“和”
7、的性质a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立，故在等比数列bn中，由b91，可知应有“积”的性质b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)成立. (1)证明如下：当n8时，等式(1)为b1b2bnb1b2bnbn1b17n，即：bn1bn2b17n1.(2)b91，bk1b17kb1.bn1bn2b17nb1.(2)式成立，即(1)式成立；当n8时，(1)式即：b91显然成立；当8n17时，(1)式即：b1b2b17nb18nbnb1b2b17n，即：b18nb19nbn1(3)b91，b18kbkb1，b18nb19nbnb1，(3)式成立，即(1)式成立综上可知，当等比数列
8、bn满足b91时，有：b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)成立9(20142015湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射影定理：设ABC的两边ABAC，D是A点在BC上的射影，则AB2BDBC.拓展到空间，在四面体ABCD中，DA平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，ABC、BOC、BDC三者面积之间关系为_答案SSOBCSDBC解析将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到ABC在底面的射影OBC及底面BCD的面积可得SSOBCSDBC.证明如下：如图
9、，设直线OD与BC相交于点E，AD平面ABE，ADAE，ADBC，又AO平面BCD，AODE，AOBC.ADAOA，BC平面AED，BCAE，BCDE.SABCBCAE，SBOCBCOE，SBCDBCDE.在RtADE中，由射影定理知AE2OEDE，SSBOCSBCD.三、解答题10先解答(1)，再根据结构类比解答(2)(1)已知a、b为实数，且|a|1，|b|ab.(2)已知a、b、c均为实数，且|a|1，|b|1，|c|abc.解析(1)ab1(ab)(a1)(b1)0.(2)|a|1，|b|1，|c|abc，abc2(ab)c11(abc)1(ab1)cabc.点评(1)与(2)的条件与
10、结论有着相同的结构，通过分析(1)的推证过程及结论的构成进行类比推广得出：(ab)c1abc是关键用归纳推理可推出更一般的结论：ai为实数，|ai|1，i1、2、n，则有：a1a2an(n1)a1a2an.拓展应用提能一、选择题11下列类比推理恰当的是()A把a(bc)与loga(xy)类比，则有loga(xy)logaxlogayB把a(bc)与sin(xy)类比，则有sin(xy)sinxsinyC把(ab)n与(ab)n类比，则有(ab)nanbnD把a(bc)与a(bc)类比，则有a(bc)abac答案D解析选项A，B，C没有从本质属性上类比，是简单类比，从而出现错误12如图所示，椭圆
11、中心在坐标原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于()A.BC.1D1答案A解析如图所示，设双曲线方程为1(a0，b0)，则F(c,0)，B(0，b)，A(a,0)，(c，b)，(a，b)，又，b2ac0，c2a2ac0，e2e10，e或e(舍去)，故应选A.13(2013辽师大附中期中)类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边(2)中位线长等于底边长的一半(3)三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的
12、面面积的(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有()A(1)B(1)(2)C(1)(2)(3)D都不对答案C解析以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确二、填空题14(2014阜阳一中模拟)若等差数列an的前n项和为Sn，则S2n1(2n1)an.由类比推理可得：在等比数列bn中，若其前n项的积为Pn，则P2n1_.答案b解析将等差数列前n项和类比到等比数列前n项的积，将等差中项的“倍数”类比到等比中项的“乘方”因为等差数列an的前n项和为Sn，则S2n1(2n1)an.所以类比可得：在等比数列
13、bn中，若其前n项的积为Pn，则P2n1b.15在以原点为圆心，半径为r的圆上有一点P(x0，y0)，则圆的面积S圆r2，过点P的圆的切线方程为x0xy0yr2.在椭圆1(ab0)中，当离心率e趋近于0时，短半轴b就趋近于长半轴a，此时椭圆就趋近于圆类比圆的面积公式得椭圆面积S椭圆_.类比过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程，则过椭圆1(ab0)上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为_答案abxy1解析当椭圆的离心率e趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a，b都趋近于圆的半径r，故由圆的面积Sr2rr，猜想椭圆面积S椭ab，其严格证明可用定积分处理而由切线方程x0xy0yr2变形得xy1，则过
14、椭圆上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为xy1，其严格证明可用导数求切线处理三、解答题16我们知道：121，22(11)212211，32(21)222221，42(31)232231，n2(n1)22(n1)1，左右两边分别相加，得n22123(n1)n123n.类比上述推理方法写出求122232n2的表达式的过程解析我们记S1(n)123n，S2(n)122232n2，Sk(n)1k2k3knk (kN*)已知131，23(11)313312311，33(21)323322321，43(31)333332331，n3(n1)33(n1)23(n1)1.将左右两边分别相加，得S3(n)S
15、3(n)n33S2(n)n23S1(n)nn.由此知S2(n).17(2015隆化县高二期中)在RtABC中，ABAC，ADBC于D，求证：，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由分析利用平面中的射影定理证明；将平面中的三角形类比成空间的三棱锥，三角形的两边垂直类比成三棱锥的三棱垂直，得到类比性质通过作辅助线将空间的证明问题转化为三角形中的性质解析如图(1)所示，由射影定理AD2BDDC，AB2BDBC，AC2BCDC，.又BC2AB2AC2，.类比ABAC，ADBC猜想：四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE平面BCD.则.如图(2)，连接BE延长交CD于F，连接AF.ABAC，ABAD，AB平面ACD.而AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，故猜想正确
