1、第五章数列第4课时数列的求和(对应学生用书(文)、(理)7678页)考情分析考点新知理解数列的通项公式；会由数列的前n项和求数列通项公式，及化为等差数列、等比数列求数列的通项公式掌握等差数列、等比数列前n项和的公式；数列求和的常用方法：分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法等 掌握求数列通项公式的常用方法. 掌握数列求和的常用方法.1. 在数列an中，若a11，an1an2(n1)，则该数列的通项an_答案：an2n1解析：由已知an为等差数列，dan1an2， an2n1.2. 已知数列an中，a11，(n1)an1nan(nN*)，则该数列的通项公式an_答案：an解析：.3. (
2、必修5P44习题2(2)改编) （1+2 n）=_答案：441解析：(12n)1(121)(122)(1220)212441.4. (必修5P60复习题8(1)改编)数列an的前n项和为Sn，若an，则S4_答案：解析：an， S41.5. (必修5P51例3改编) 数列1，2，3，4，的前n项和是 _答案：Sn1解析：Sn(123n)1.1. 当已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.2. 当已知数列an中，满足f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用迭乘法求数列的通项an.3. (1) an(2) 等差数列前n项和Sn，
3、推导方法：倒序相加法(3) 等比数列前n项和Sn推导方法：错位相减法4. 常见数列的前n项和：(1) 123n；(2) 2462nn(n1)；(3) 135(2n1)n2；(4) 122232n25. (1) 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列(2) 拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和(3) 错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和(4) 倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导方法6. 常见的拆项公式有：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ().题型1求简单数列的通项公式例1求下列数列an的通项公
4、式：(1) a11，an1an2n1；(2) a11，an12nan.解：(1) ann2(2) an2求下列数列an的通项公式：(1) a11，an12an1；(2) a11，an1；(3) a12，an1a.解：(1) an2n1(2) an(3) an22n1题型2分组转化求和例2求下面数列的前n项和：1，3，5，7， 解：Sn1357135(2n1)n21.已知an(1) 求数列an的前10项和S10；(2) 求数列an的前2k项和S2k.解：(1) S10(616263646)(222232425)192.(2) 由题意知数列an的前2k项中，k个奇数项组成首项为6，公差为10的等差
5、数列，k个偶数项组成首项为2，公比为2的等比数列 S2k616(10k4)(2222k)5k2k2k12.题型3裂项相消求和例3求下面各数列的前n项和：(1) ，(2) ，解：(1) an()， Sn(1)(1).(2) an11， Snn.求1.解：ak2，Sn.题型4倒序相加求和例4设f(x)，求f(12)f(11)f(10)f(0)f(11)f(12)f(13)的值解： f(x)f(1x)， 原式.一个等差数列前4项之和为26，最末4项之和为110，所有项之和为187，则它的项数为_答案：11解析：a1a2a3a426，anan1an2an3110，a1an34.又Sn187，n11.题
6、型5错位相减求和例5在各项均为正数的等比数列an中，已知a22a13，且3a2，a4，5a3成等差数列(1) 求数列an的通项公式；(2) 设bnlog3an，求数列anbn的前n项和Sn.解：(1) 设an公比为q，由题意得q0，且即解得或(舍)，所以数列an的通项公式为an33n13n，nN(2) 由(1)可得bnlog3ann，所以anbnn3n.所以Sn13232333n3n，所以3Sn132233334n3n1，两式相减得，2Sn3(32333n)n3n1(332333n)n3n1n3n1，所以数列anbn的前n项和Sn.已知数列an的前n项和为Sn3n1.(1) 求数列an的通项公
7、式；(2) 若bnlog(Sn1)，求数列bnan的前n项和Tn.解：(1) 当n1时，a1S12，当n2时，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1，综上所述，an23n1.(2) bnlog(Sn1)log3nn，所以bnan2n3n1，Tn214316322n3n1，3Tn2314322(n1)3n12n3n，相减，得2Tn2123123223n12n3n2(131323n1)2n3n，所以Tn(131323n1)n3nn3n，nN*.1. 数列an的首项为3，bn为等差数列且bnan1an(nN)若b32，b1012，则a8_答案：3解析：已知bn2n8，an1an2n8，由叠加法
8、(a2a1)(a3a2)(a8a7)64202460a8a13.2. (2013大纲)等差数列an中，a74，a192a9.(1) 求an的通项公式；(2) 设bn，求数列bn的前n项和Sn.解：(1) 设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d，因为所以解得a11，d.所以an的通项公式为an.(2) bn，所以Sn.3. (2013湖南)设Sn为数列an的前n项和，已知a10，2ana1S1Sn，nN(1) 求a1，a2，并求数列an的通项公式；(2) 求数列nan的前n项和解：(1) S1a1. 当n1时，2a1a1S1S1a10，a11.当n1时，anSnSn12an2an1an2
9、an1an是首项为a11公比为q2的等比数列，an2n1，nN*.(2) 设Tn1a12a23a3nanqTn1qa12qa23qa3nqanqTn1a22a33a4nan1，上式左右错位相减：(1q)Tna1a2a3annan1a1nan12n1n2nTn(n1)2n1，nN*.4. 已知等差数列an前三项之和为3，前三项积为8.(1) 求等差数列an的通项公式；(2) 若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和解：(1) 设公差为d，则解得或 an3n5或an3n7.(2) 当an3n5时，a2，a3，a1分别为1，4，2不成等比数列；当an3n7时，a2，a3，a1分别为1，
10、2，4成等比数列，满足条件当|an|3n7|n1，S14；n2时，S25；当n3时，Sn|a1|an|n2n10.又n2满足此式， Sn1. 已知数列an求a1a2a3a4a99a100的值解：由题意得a1a2a3a4a99a1000224498981002(24698)10021005 000.2. 已知各项均为正数的数列an的前n项的乘积Tn(nN*)，bnlog2 an，则数列bn的前n项和Sn取最大时，n_答案：3解析：当n1时，a1T145210，当n2时，an2144n，此式对n1也成立，所以an2144n，从而bnlog2an144n，可以判断数列bn是首项为10，公差为4的等差
11、数列，因此Sn2n212n，故当n3时，Sn有最大值3. 已知数列an的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn(n，Sn)都在函数f(x)x22x的图象上，且在点Pn(n，Sn)处的切线的斜率为kn.(1) 求数列an的通项公式；(2) 若bn2knan，求数列bn的前n项和Tn.解： (1) 点Pn(n，Sn)在函数f(x)x22x的图象上， Snn22n(nN*)，当n2时，anSnSn12n1，当n1时，a1S13满足上式，所以数列an的通项公式为an2n1.(2) 由f(x)x22x，求导得f(x)2x2. 在点Pn(n，Sn)处的切线的斜率为kn， kn2n2， bn2knan4(2
12、n1)4n， Tn434454247434(2n1)4n，用错位相减法可求得Tn4n2.4. 已知等差数列an是递增数列，且满足a4a715，a3a88.(1) 求数列an的通项公式；(2) 令bn(n2)，b1，求数列bn的前n项和Sn.解：(1) 根据题意：a3a88a4a7，a4a715，知：a4，a7是方程x28x150的两根，且a4a7，解得a43，a75，设数列an的公差为d，由a7a4(74)d，得d.故等差数列an的通项公式为ana4(n4)d3(n4).(2) 当n2时，bn.又b1， Snb1b2bn.1. an的两种常见变形ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)(累加法)ana1(累乘法)2. 数列求和的方法技能 倒序相加 错位相减 分组求和 拆项相消3. 方程思想、函数思想、化归思想、整体思想、分类讨论等数学思想在数列中均得到广泛应用，尤其是运用化归的思想将问题转化为等差、等比数列问题来研究是解决数列综合问题的最基本思维方法备课札记
