1、第四节简单线性规划1.二元一次不等式（组）表示的平面区域（1）直线l：ax+by+c=0平面区域一侧平面区域直线上另一侧平面区域满足条件ax+by+c0_ax+by+c=0ax+by+c0(2)二元一次不等式ax+by+c0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧的_且不含边界，作图时边界直线画成_，当我们在坐标系中画不等式ax+by+c0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，此时边界直线画成_.平面区域虚线实线(3)由于对直线ax+by+c=0同一侧的所有点（x,y），把点的坐标（x,y）代入ax+by+c,所得到实数的符号都_，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（x0,y0
2、），从ax0+by0+c的_即可判断ax+by+c 0（0）表示直线哪一侧的平面区域.当c0时，常取_作为特殊点.相同正负原点2.线性规划的有关概念名称意义约束条件由x，y的_不等式组成的不等式组目标函数关于两个变量x，y的一个_函数可 行 解满足约束条件的_可 行 域所有可行解组成的_ 最优解使目标函数取得_或_的可行解二元线性规划问题在约束条件下求目标函数的_或_问题一次线性解(x，y)集合最大值最小值最大值最小值3.解二元线性规划问题的一般步骤（1）在平面直角坐标系中画出_.（2）分析_的几何意义，将目标函数进行变形.（3）确定_.（4）求出_.可行域目标函数最优解最值或范围判断下面结论
3、是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）不等式Ax+By+C0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方.()（2）任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域.()（3）线性目标函数的最优解可能是不唯一的.()（4）线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.()（5）目标函数z=ax+by(b0)中，z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.()（6）目标函数z=(x-a)2+(y-b)2的几何意义是点(x,y)与(a,b)的距离.()【解析】（1）错误.不等式Ax+By+C0表示的平面区域也可能在直线Ax+By+C=0的下方，这要取决于A与B的符号.（2）错误
4、.不一定，如果二元一次不等式组的解集为空集，它就不表示任何区域.（3）正确.当目标函数对应的直线与可行域的某一条边界直线平行时，最优解可能有无数多个.（4）正确.线性目标函数都是通过平移直线，在与可行域有公共点的情况下，其最值即在边界或端点处取到，因此其取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.（5）错误.由ax+by-z=0可得才是该直线在y轴上的截距.（6）错误.其几何意义应该是点(x,y)与(a,b)的距离的平方.答案：（1）（2）（3）（4）（5）（6）1.若点(m,1)在不等式2x+3y-50所表示的平面区域内，则m的取值范围是()(A)m1 (B)m1(C)m1【解析】选D.依题意有
5、2m+3-50，解得m1.2.若x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值是()(A)-2 (B)-3 (C)-4 (D)-5【解析】选C.z=3x-yy=3x-z,作出可行域，由图可知过A点时z取最小值，把点A(0,4)代入，可得z=-4.3.已知点P（x,y）的坐标满足条件则x2+y2的最大值为()(A)(B)(C)8 (D)10【解析】选D.画出不等式组对应的可行域如图所示：易得A（1，1），OAB（2，2），C（1，3），故|OP|的最大值为即x2+y2的最大值等于10，故选D.4.某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元
6、，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为()(A)2 000元(B)2 200元(C)2 400元(D)2 800元【解析】选B.设甲型货车使用x辆，乙型货车使用y辆.则所花运费为z=400 x+300y.画出可行域（如图），由图可知当直线z=400 x+300y经过点A(4,2)时，z取最小值，最小值为zmin=2 200，故选B.5.已知实数x，y满足则此不等式组表示的平面区域的面积为_.【解析】作可行域为所求面积为答案：3考向 1平面区域的相关问题【典例1】（1）（2013太原模拟）已知不等式组(a0)表示的平面区
7、域的面积是则a等于()(A)(B)3 (C)(D)2(2)(2012福建高考)若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为()【思路点拨】（1）先画出不等式组所表示的平面区域，由于a0，其形状基本确定，是一个三角形，然后根据三角形的面积公式求解.(2)画出不等式组所表示的平面区域，然后结合指数函数y=2x的单调性及图象特征确定区域边界点的位置，从而求出m的值.【规范解答】（1）选A.画出平面区域，可知该区域是一个三角形，设该三角形高为h，其面积等于所以解方程组选A.(2)选B如图，当y=2x经过且只经过x+y-3=0和x=m的交点时，即三条曲线有唯一公共点时，m取到最大值
8、，此时，即(m,2m)在直线x+y-3=0上，由选项知，m的最大值为1【互动探究】本例题（2），若约束条件中的m=0，那么当函数y=2x+h的图象上存在点满足约束条件时，实数h的取值范围是_.【解析】画出可行域，由图形可知，当函数y=2x+h的图象经过点（0,3）和点(3,0)时，和区域只有一个公共点，此时h的值分别等于2和-8，因此要使函数图象上存在点满足约束条件，实数h的取值范围应是-8h2.答案：-8h2【拓展提升】平面区域问题的求解思路求解平面区域与函数图象、曲线方程等一些综合问题时，要以数形结合思想方法为核心，充分利用函数图象与方程曲线的特征（增减性、对称性、经过的定点、变化趋势等）
9、，与平面区域的位置和形状联系起来，对参数的取值情况分析讨论，进行求解.【变式备选】若不等式组表示的平面区域为M，当抛物线y2=2px(p0)与平面区域M有公共点时，实数p的取值范围是()(A)(0,2(B)(C)(D)【解析】选D.作出平面区域（如图），可以求得A(1,2),B(2,1)，代入抛物线方程可得p=2,所以考向 2线性规划的相关问题【典例2】（1）（2013望江模拟）设点M（x，y）是不等式组表示的平面区域内一动点，则（O为坐标原点）的最大值为()(A)8 (B)6 (C)4 (D)2（2）设变量x,y满足约束条件：则的最大值为()(A)(B)(C)1 (D)不存在（3）（2013
10、宁波模拟）已知实数x,y满足目标函数z=ax-y的最小值和最大值分别为-2和2，则a的值为_.【思路点拨】（1）将用x，y表示后，利用解决线性规划问题的一般步骤解题.（2）非线性目标函数，借助斜率模型进行求解.（3）线性规划逆向性问题，可行域已经确定，可对目标函数中的参数a进行分类讨论，确定最优解，从而求出a的值.【规范解答】（1）选B.作出可行域为当直线l：过点时z取最大值（2）选B.画出可行域（如图），又表示(x,y)与定点P(-2,0)连线的斜率，所以当(x,y)在点A(0,1)时取到最大值（3）画出可行域（如图所示）.由z=ax-y得y=ax-z，显然当a=0时，z的最大值和最小值分别为0和-2，不合题意.若a0，则z=ax-y在A(2,2)处取得最大值2，在处取得最小值-2，因此有解得a=2，符合题意；若a0）表示的平面区域的面积为5，且直线mx-y+m=0与该平面区域有公共点，则m的最大值是()(A)(B)(C)0 (D)【解析】选A.画出可行域（如图），可求得A(a,2a)，三角形区域的面积为所以解得a=2，这时A(2,4).而直线mx-y+m=0可化为y=m(x+1)，它经过定点P(-1,0)，斜率为m，由图形知，当直线经过点A时，斜率m取最大值，且故m的最大值是
