1、第三节基本不等式1.基本不等式：（1）基本不等式成立的条件：_.(2)等号成立的条件：当且仅当_时取等号.(3)称为a,b的_，称为a,b的_.(4)语言叙述：两个非负数的_不小于它们的_.算术平均数几何平均数a0,b0a=b算术平均数几何平均数2.基本不等式的变形（1）a+b （a,b0）.（2）ab （a,bR）.（3）a2+b2_（a,bR）.3利用基本不等式求最值（1）两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若x，y为正实数，且abs，s为定值，则等号当且仅当_时成立.简记：和定积最大.2abxy（2）两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若x，y为正实数，且xyp，p为定值，则
2、xy ，等号当且仅当_时成立.简记：积定和最小.xy判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）成立的条件是ab0.()（2）函数的最小值等于4.()（3）x0且y0是的充要条件.()（4）若a0，则的最小值为()（5）若a,bR，则()【解析】（1）错误.当ab0且y0时一定有但当时，不一定有x0且y0，所以x0且y0是的充分不必要条件.（4）错误.虽有但不能说就是的最小值，因为的值与a有关，不是一个定值.（5）正确.由于所以不等式成立.答案：（1）（2）（3）（4）（5）1.下列不等式中正确的是()（A）若aR，则a2+96a（B）若a,bR，则（C）若a,b0，则（D）若xR，
3、则【解析】选C.对于A，a2+9-6a=（a-3）20,a2+96a,故A不正确.由基本不等式成立的条件知B错误.对于C，当a,b0时，有所以故C选项正确.对于D，xR,x2+11,故D错误.2.若x0,y0，且则xy的最大值为()（A）（B）（C）（D）【解析】选D.由基本不等式可得当且仅当时，xy取最大值故选D.3.函数f（x）=3x+3-x的最小值是()（A）2 （B）1 （C）3 （D）【解析】选A.由于3x0,3-x0，所以f（x）=3x+3-x=当且仅当3x=3-x，即x=0时函数取得最小值2.4.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y
4、2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元.那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处.【解析】设仓库到车站的距离为x千米，由题意设y2=k2x，而当x=10时，y1=2，y2=8，于是k1=20,因此 y1+y2=当且仅当x=5时取等号，所以仓库应建在离车站5千米处.答案：55已知a，b为正实数且a+b=1，则的最小值为_.【解析】a0,b0,a+b=1,等号成立的条件为答案：9考向 1利用基本不等式判断命题真假【典例1】（1）（2013抚州模拟）已知0ab，且a+b=1,下列不等式中，一定成立的是()log2a-1；lo
5、g2a+log2b-2;log2(b-a)0;(A)(B)(C)(D)（2）（2012福建高考）下列不等式一定成立的是()（A）（B）（C）x2+12|x|（D）【思路点拨】运用基本不等式和不等式的性质，结合函数知识对每一项进行分析判断，注意基本不等式应用的条件和等号成立的条件是否满足.【规范解答】（1）选C.0ab,a+b=1,错误;0b-a1，log2(b-a)0，正确；正确.故正确.（2）选C.由于所以当且仅当时取等号，故A错误.当sin x1时，lg a+loga102.【变式训练】给出下列结论：若x0，则若a0,b0，则当时，的最小值为6；若a,b0，且ab=2，则其中正确结论的序号
6、是_.【解析】对于，只有当x0时，才有成立，故错误；对于，虽然有a0,b0，但lg a和lg b不一定都是正数，因此不一定有故错误；对于，虽然当时，sin x0，所以但其中的等号成立的条件是即sin x=3，这显然是不可能的，因此不能说的最小值为6，故错误；对于，由于当且仅当a=b=时取等号，所以正确.答案：考向 2利用基本不等式求最值【典例2】（1）若x0，则函数的最小值为_.（2）（2013宿州模拟）已知x0，y0，xy=x+2y，若xym-2恒成立，则实数m的最大值是_.（3）（2013余姚模拟）已知正数a,b满足则a+b的取值范围是_.【思路点拨】（1）因为x0，所以可对利用基本不等式
7、求最小值.（2）利用基本不等式构造关于xy的不等式，求xy的最小值.（3）一种思路是根据将a+b中的b用a表示，然后用基本不等式求范围；另一种思路是对变形，获得a+b与ab的关系，然后利用解不等式消去ab建立a+b的不等式求解.【规范解答】（1）由于x0,b0，可得于是当且仅当时取等号，所以a+b的取值范围是方法二：由得a+b=3ab.即4（a+b）3（a+b）2，所以即a+b的取值范围是答案：【互动探究】本例题（3）中，条件不变，则ab的取值范围是_.【解析】即9（ab）24ab，所以即ab的取值范围是答案：【拓展提升】两个正数的和与积的转化基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”
8、转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解.【变式备选】（1）若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是_【解析】令xy=t2（t0）,可得注意到t0，解得故xy的最小值为18.答案：18（2）（2013海口模拟）函数f（x）=（0 x）的最小值是_.【解析】因为0 x，所以00得x4（x-4舍去），所以函数在（4,+)上单调递增，于是当x=5时，y取得最小值13 180元.【拓展提升】注意变量的取值范围在利
9、用基本不等式解决实际应用问题时，一定要注意问题中所涉及变量的取值范围，即函数的定义域，分析在该范围内是否存在使基本不等式的等号成立的变量值，若存在，则可利用基本不等式求解，若使基本不等式的等号成立的变量值不在函数定义域内，则应利用导数研究函数的单调性，根据单调性求最值.【变式备选】某种汽车，购车费用为10万元，每年的保险费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元.这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？【解析】由于“年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，因此，汽车使用x年时
10、总的维修费用为万元.设汽车的年平均费用为y万元，则有当且仅当即x=10时，y取得最小值.答：汽车使用10年时，它的年平均费用最少.【易错误区】忽视基本不等式成立的条件致误【典例】（2012浙江高考）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是()（A）（B）（C）5 （D）6【误区警示】本题在求解中容易出现的错误是：对x+3y运用基本不等式得到的范围，再对3x+4y运用基本不等式，然后通过不等式的传递性得到3x+4y的最值，忽视了基本不等式中等号成立的条件，没有注意到两次运用基本不等式时等号成立的条件不一致，从而导致错误.【规范解答】选C.由x+3y=5xy可得当且仅当x=1,时取
11、等号，故3x+4y的最小值是5.【思考点评】1.连续运用基本不等式应注意等号成立的条件连续使用基本不等式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致因此尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等.2.妙用“1”的代换求代数式的最值在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本不等式求最值.1.（2013安庆模拟）“a1”是“对任意的正数x，不等式成立”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
12、(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选A.若a1，则故成立.若则必有 a1不成立.故选A.2.（2013太原模拟）函数的最小值为()(A)6 (B)7 (C)8 (D)9【解析】选B.当且仅当x=1时取等号.3.（2013九江模拟）某厂的某种产品的产量去年相对于前年的增长率为p1，今年相对于去年的增长率为p2，且p10，p20，p1+p2=p，如果这种产品在这两年中的年平均增长率为x，则()(A)x (B)x=(C)x (D)x【解析】选A.由题意，设前年的产量为a，则a(1+x)2=a(1+p1)(1+p2),(1+x)2=(1+p1)(1+p2)当且仅当p1=p2时取等号.4.
13、（2013上饶模拟）若不等式对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是_.【解析】当x0时，当x0时，|2a-1|2,-22a-12,答案：1.已知正整数a,b满足4a+b=30，则使得取得最小值的有序数对（a,b）是()(A)（5，10）(B)（6，6）(C)（7，2）(D)（4，14）【解析】选A.依题意得当且仅当时取最小值，即b=2a且4a+b=30，即a=5,b=10时取等号.使得取得最小值的有序数对（a,b）是（5，10）.故选A.2.已知a,b都是正实数，函数y=2aex+b的图像过（0,1）点，则的最小值是()（A）（B）（C）4 （D）2【解析】选A.依题意得2a+b=1，于是当且仅当3.已知x0，y0，若不等式m2+6m-x-y0恒成立，则实数m的取值范围是_.【解析】x0,y0,当且仅当即y2=9x2时取等号，x0,y0，此时x=4,y=12.m2+6m-x-y0恒成立,即m2+6mx+y恒成立，只要使m2+6m(x+y)min=16，由m2+6m16可得-8m2.答案：（-8，2）
