1、第二节等 差 数 列1.等差数列的概念从第2项起，每一项与前一项的差是同一个_，我们称这样的数列为等差数列，这个常数为等差数列的_，通常用字母d表示；定义的表达式为：_.2.等差数列的通项公式若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=_.常数公差an+1-an=d(nN+)a1+(n-1)d3.等差中项如果在a与b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，那么_叫作a与b的等差中项.4.等差数列的前n项和公式A已知条件前n项和公式a1,an，nSn=_a1,d,nSn=_5.等差数列的性质（1）在公差不等于零的等差数列an中，m+n=p+q_(m,n,p,qN+);_am+an
2、=2ap(m,n,pN+).(2)若an,bn都是等差数列，k,mR，数列kan+mbn为_.（3）若Sm为等差数列的前m项和，则Sm,S2m-Sm，S3m-S2m为_.am+an=ap+aqm+n=2p等差数列等差数列判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.()（2）数列an为等差数列的充要条件是对任意nN+，都有2an+1=an+an+2()（3）等差数列an的单调性是由公差d决定的()（4）数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()（5）等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()
3、【解析】（1）错误.若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，这个数列就不是等差数列.（2）正确如果数列an为等差数列，根据定义an+2-an+1=an+1-an，即2an+1=an+an+2；反之，若对任意nN+，都有2an+1=an+an+2，则an+2-an+1=an+1-an=an-an-1a2-a1，根据定义数列an为等差数列（3）正确.当d0时为递增数列；d=0时为常数列；d0,d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm【变式训练】（1）等差数列an前n项和为Sn，已知a1=13,S3=S11，当Sn最大时，n的
4、值是()(A)5 (B)6 (C)7 (D)8【解析】选C.方法一：S3=S11得a4+a5+a11=0，根据等差数列性质可得a7+a8=0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a70,a80(D)若对任意nN+，均有Sn0，则数列Sn是递增数列【解析】选C.C项显然是错的，举出反例：-1，0，1，2，3，满足数列Sn是递增数列，但是Sn0不恒成立3.（2013南昌模拟）在等差数列an中，3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48，则等差数列an的前13项的和为()(A)104 (B)52 (C)39 (D)24【解析】选B.根据等差数列性质与已知得6a4+6a10=48,即a
5、4+a10=8,4.（2012北京高考）已知an是等差数列，Sn为其前n项和若则a2=_，Sn=_【解析】S2=a3a1+a2=a3a1+a1+d=a1+2dd=a1=a2=a1+d=1,答案：15.（2012广东高考）已知递增的等差数列an满足a1=1，a3=a22-4，则an=_【解析】由a3=a22-4得到1+2d=(1+d)2-4，即d2=4，因为an是递增的等差数列，所以d=2，故an=2n-1答案：2n-11.若lg 2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列，则x的值等于()(A)1 (B)0或32 (C)32 (D)log25【解析】选D.lg 2+lg(2x+3)=2lg(2x-1),2(2x+3)（2x-1)2，即(2x)2-42x-5=0,2x=5,则x=log25.2在函数yf(x)的图像上有点列(xn，yn)，若数列xn是等差数列，数列yn是等比数列，则函数yf(x)的解析式可能为()(A)f(x)2x1 (B)f(x)4x2(C)f(x)log3x (D)【解析】选D.对于函数上的点列(xn，yn)，有由于xn是等差数列，所以xn1xnd，因此这是一个与n无关的非零常数，故yn是等比数列故选D.
